2.2 Диференціальні рівняння вищих порядків та системи диференціальних рівнянь
2.2.1 Аудиторне заняття
1. Розвязати диференціальні рівняння, які припускають зниження порядку.
1. |
а) |
Відповідь:
|
|
б) |
Відповідь:
|
2. |
а) |
Відповідь:
|
|
б) |
Відповідь
:
|
3. |
а) |
Відповідь
:
|
|
б) |
Відповідь
:
|
4. |
|
|
5. |
а) |
Відповідь:
|
|
б) |
Відповідь
:
|
Відповідь
:
;
2. - Знайти визначник Вронського для заданих систем функцій. Встановити, чи буде вона фундаментальною системою розвязків деякого лінійного однорідного диференціального рівняння ( ЛОДР ).
а)
б)
в)
- Для заданих коренів характеристичного рівняння ЛОДР, записати його загальний розвязок .
а)
б)
в)
г)
- Знайти загальний розвязок ЛОДР.
а)
Відповідь:
б)
Відповідь:
в)
Відповідь:
г)
Відповідь:
д)
Відповідь:
- Розвязати задачу Коші:
а)
Відповідь:
б)
0,
Відповідь:
3. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку (лндр-II ).
- розвязання ЛНДР методом варіації довільних сталих (метод Лагранжа).
а)
Відповідь:
у=
б)
Відповідь:
- визначити вигляд частинного розвязку ЛНДР, якщо відомі корні характеристичного рівняння, та загальний вигляд правої частини ЛНДР.
а)
б)
в)
г)
- Знайти загальний та частинний розвязок ЛНДР ( у випадку д ) – частинний розвязок у загальному вигляді).
а)
Відповідь:
б)
Відповідь
:
в)
Відповідь:
г)
Відповідь:
д)
Відповідь:
4. Розвязати системи диференціальних рівнянь.
1)
Відповідь:
2)
Відповідь:
3)
Відповідь:
4)
Відповідь:
5)
Відповідь:
6)
Відповідь:
7)
Відповідь:
2.2.2 Індивідуальні завдання
1. Диференціальні рівняння, які допускають зниження порядку.
2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами ( ЛОДР).
1) Знайти визначник Вронського для заданих систем функцій. Установити, чи буде вона фундаментальною системою розвязків деякого однорідного диференціального рівняння.
2) Для заданих коренів характеристичного рівняння ЛОДР, знайти його загальний розвязок ЛОДР.
3) Знайти загальний розвязок ЛОДР.
4) Знайти частинний розв¢язок ЛОДР ( задача Коші).
3. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку (ЛНДР-11).
1) Розв¢язати рівняння методом варіації довільних сталих.
2) Визначити вигляд частинного розв¢язку ЛНДР, якщо відомі корні характеристичного рівняння та загальний вигляд правої частини ЛНДР.
3) Знайти загальний та частинний розвязок ЛНДР ( у випадку д)-
частинний розв¢язок у загальному вигляді) .
4. Розв¢язати системи диференціальних рівнянь.
Варіант 1.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
,
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
,
,
б)
Варіант 2.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
,
,
,
,
,
б)
Варіант 3.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
,
,
б)
Варіант 4.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б)
,
|
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
б)
Варіант 5.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б)
,
|
|
|
в) |
|
3) |
а) |
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
б)
Варіант 6.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
,
,
,
б)
Варіант 7.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а)
,
|
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д) |
4. |
а) |
|
,
,
,
,
б)
Варіант 8 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а)
,
|
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
б)
Варіант 9.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а) |
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
,
,
б)
Варіант10 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д) |
4. |
а) |
|
,
,
,
б)
Варіант 11 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д) |
4. |
а) |
|
,
,
,
,
б)
Варіант 12.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
,
,
б)
Варіант13.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
,
б)
Варіант 14.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а) |
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д) |
4.
|
а) |
|
,
,
,
б)
Варіант 15.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б) |
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
б)
Варіант 16 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д) |
4. |
а) |
|
,
,
,
,
,
б)
Варіант 17 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а)
,
|
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а) |
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д) |
4. |
а) |
|
,
,
б)
Варіант 18 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
б)
Варіант 19 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) , |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
,
б)
Варіант 20.
1. |
1)
2) |
|
|
3) |
|
|
4)
5) |
|
2. |
1)
2) |
|
|
3)
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в)
,
|
|
3) |
а)
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д) |
4. |
а) |
|
,
б)
Варіант 21.
1. |
1)
2) |
|
|
3) |
|
|
4)
5) |
|
2. |
1)
2) |
|
|
3)
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а)
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
д) |
|
4. |
а) |
|
,
,
,
,
,
б)
Варіант 22 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б)
,
|
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
,
,
б)
Варіант 23 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
3) |
а) |
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д) |
4. |
а) |
|
,
,
,
,
б)
Варіант 24.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) , |
|
|
б)
,
|
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г) |
|
|
д) |
4. |
а) |
|
,
,
,
,
,
б)
Варіант 25 .
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б)
,
|
|
|
в) |
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в) |
|
|
г)
|
|
|
д) |
4. |
а) |
|
,
,
,
б)
Варіант 26.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
|
г)
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
б)
Варіант 27.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
|
г) |
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
б)
Варіант 28.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а) |
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
|
г)
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
,
б)
Варіант 29.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
|
г)
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
б)
Варіант 30.
1. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
5) |
|
2. |
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
3. |
1) |
|
|
2) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
3) |
а)
|
|
|
б)
|
|
|
в)
|
|
|
г)
|
|
|
д)
|
4. |
а) |
|
б)
