2. Диференціальні рівняння

2.1 Диференціальні рівняння 1-го порядку

2.1.1 Аудиторне заняття

1. Довести, що надані функції задовольняють відповідним диференціальним рівнянням.

1)

2)

3) 

2. Розвязати диференціальні рівняння першого порядку (ДР-1) з відокремлюваними змінними

1) ; Відповідь:

2) ; Відповідь:

3) ; Відповідь:

4) ; Відповідь:

5) ; Відповідь:

6) Відповідь:

3. Розвязати однорідні ДР-1

1) ; Відповідь:

2) Відповідь:

3) Відповідь:

4) Відповідь:

5) Відповідь:

6) Відповідь:

4. . Розвязати лінійні ДР-1.

1) ; Відповідь:

2) Відповідь:

3) Відповідь:

4) Відповідь:

5)

Відповідь:

6)

Відповідь:

5. Розвязати ДР-1 Бернуллі.

1) Відповідь:

2) ; Відповідь:

3) Відповідь:

4) Відповідь:

5) Відповідь:

6) Відповідь:

6. Розвязати ДР-1 в повних диференціалах.

1) Відповідь:

2) Відповідь:

3) Відповідь:

4) Відповідь:

5)

Відповідь:

6)

Відповідь:

7. Розвязати задачі.

1) Знайти криву, яка проходить через точку М( 1; 3) і для якої відрізок дотичної між точкою дотику та віссю Ох ділиться навпіл у точці перетину з віссю Оу. Відповідь: .

2) Знайти криву, яка проходить через точку М (0; 3) , за умови, що кутовий коефіцієнт дотичної у довільній її точці дорівнює ординаті цієї точки, що зменшена на дві одиниці. Відповідь:

3) Знайти криву, яка проходить через точку М (1; 1) за умови, що відстань від початку координат до будь-якої її дотичної дорівнює абсцисі точки дотику. Відповідь:

4) Знайти криву, яка проходить через точку М ( 1; 2) . Кожна дотична до цієї кривої перитинає пряму у=1 в точці з абсцисою, що дорівнює подвоєнній абсцисі точки дотику. Відповідь: .

5) Знайти криву, яка проходить через точку М (0; 1) і має властивість, що у кожній її точці тангенс кута дотичної до цієї кривої дорівнює подвоєному добутку координат точки дотику. Відповідь:

2.1.2 Індивідуальні завдання.

Зясувати тип диференціальних рівнянь першого порядку. Знайти загальні, або частинні розвязки.

Варіант 1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку М (0 ; 2). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої, дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 3 рази. Знайти рівняння кривої.

Варіант 2.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку А (4 ; 1). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 3.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку В (2 ; 3). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 4

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку D(0 ; 4). Довжина відрізка, який відтинає на осі ординат нормаль, що проведена в будь-якій точці кривої, дорівнює відстані від цієї точки до початку координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 5.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку С (2 ; 5). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої в 8 раз більше кутового коефіцієнта прямої, яка зєднує цю точку з початком координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 6.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку D (9 ; -4). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює половині суми координат цієї точки . Знайти рівняння кривої

Варіант 7.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку М (0 ; 5). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 7 раз. Знайти рівняння кривої.

Варіант 8.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку А (-2 ; 5). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 9.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку В (-4 ; 1). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 10.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку D(0;-8). Довжина відрізка, який відтинає на осі ординат нормаль, що проведена в будь-якій точці кривої, дорівнює відстані від цієї точки до початку координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 11.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку С (3 ; -1). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої в 3/2 раза більше кутового коефіцієнта прямої, яка зєднує цю точку з початком координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 12.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку D (4 ; 10). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює половині суми координат цієї точки. Знайти рівняння кривої

Варіант 13.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку М (-1 ; 3). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшенїй в 2 рази. Знайти рівняння кривої.

Варіант 14.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку А (3 ; -2). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 15.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку В (1 ; -2). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 16.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку D(0 ;1). Довжина відрізка, який відтинає на осі ординат нормаль, що проведена в будь-якій точці кривої, дорівнює відстані від цієї точки до початку координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 17.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.Крива проходить через точку С (-6 ; 4). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої в 9 раз більше кутового коефіцієнта прямої, яка зєднує цю точку з початком координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 18.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку D (18 ; -2). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює половині суми координат цієї точки. Знайти рівняння кривої.

Варіант 19.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку М (-2 ; 4). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 6 раз. Знайти рівняння кривої.

Варіант 20.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку А (-2 ; -4). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 21.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку В (-2 ; 2). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 22.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку D(0 ;-3). Довжина відрізка, який відтинає на осі ординат нормаль, що проведена в будь-якій точці кривої, дорівнює відстані від цієї точки до початку координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 23.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку С (-2 ; -8). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої в 3 рази більше кутового коефіцієнта прямої, яка зєднує цю точку з початком координат. Знайти рівняння кривої.

Варіант 24.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку Р (1 ;-7). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює половині суми координат цієї точки. Знайти рівняння кривої

Варіант 25.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. Крива проходить через точку М (-2 ; 1). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 5 раз. Знайти рівняння кривої.

Варіант 26.

1.
2.
3.
4.	,
5.
6.
7.
8.
9.

10. Крива проходить через точку А (3 ; 0). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 27.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10. Крива проходить через точку В (4 ; -3). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 28.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10. Крива проходить через точку М (3 ;-2). Кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює ординаті цієї точки, збільшеній в 4 рази. Знайти рівняння кривої.

Варіант 29.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10. Крива проходить через точку А (2 ; 8). Відрізок, який дотична в будь-якій точці кривої відтинає на осі ординат, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.

Варіант 30.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10. Крива проходить через точку В (5 ; 0). Довжина перпендикуляра, який опущений із початку координат на будь-яку дотичну до кривої, дорівнює абсцисі точки дотику. Знайти рівняння кривої.