1.5. Путь минимальной суммарной длины во взвешенном графе с произвольными весами для всех пар вершин

Процедура находит пути минимального веса в графе G=(V,E) заданном весовой матрицей w у которой элемент w_{i j} равен весу ребра соединяющего i-ую и j-ую вершины. При этом полагаем, что W[i,i]=0 для всех i. Путь ищется для всех пар вершин графа. Для бесконечности используется число GM его можно задавать в зависимости от конкретной задачи.

Следует заметить, что если в графе существует контур отрицательной сумарной длины, то вес любого пути, проходящего через вершину из этого контура, можно сделать сколь угодно малой, "прокрутившись" в контуре необходимое количество раз. Поэтому поставленная задача разрешима не всегда. В случае описанном выше, алгоритм Флойда прекращает свою работу. Останавливаясь подробнее надо заметить, что если граф неориентированный (W[i,j]- симметрична), то ребро с отрицательным весом является как раз таким контуром (туда-сюда можно бегать пока не сделаем вес достаточно малым)

Алгоритм Флойда предполагает последовательное преобразование матрицы весов W. В конечном итоге получаем матрицу, элементы d[i,j] которой представляют из себя вес минимального пути соединяющего i и j вершины. Рассмотрим преобразования матрицы весов:

D⁰=W

d^m+1[i,j]=min{d^m[i,j], d^m[i,(m+1)] + d^m[(m+1),j]}, где i<>j; d^m+1[i,i]=0.

преобразование проделывается для m=1..n, где n - мощность множества вершин графа. Если на некотором шаге получим отрицательное d^m[i,m]+d^m[m,i] для какого-нибудь i, то в графе существует контур отрицательного веса, проходящий через вершину i и задача не разрешима.

На выходе получаем матрицу D минимальных весов и матрицу P при помощи которой можно востановить путь минимального веса следующим образом: значение p[i,j] будет равно номеру предпоследней вершины в пути между i и j (либо p[i,j]=i, если путь не существует). Переменная s на выходе равна 1, если алгоритм отработал полностью, и нулю, если в ходе работы алгоритма найден контур отрицательного веса.

Заметим, что если граф неориентированный, то W а также все матрицы получаемые в результате преобразований симметричны и следовательно достаточно вычислять только элементы расположенные выше главной диагонали.

2. Поиск кратчайших путей. Алгоритм Флойда

2.1. Задача Флойда

Дано: непyстой взвешенный гpаф G=(V, E) с пpоизвольными весами ребер (дуг). Требуется найти длины кpатчайших пyтей между всеми парами вершин графа, если в графе нет циклов (контуров) отрицательной суммарной длины, либо обнаружить наличие таких контуров.    Инициализация:    1. Построим матрицу D⁰ размерности |V| x |V|, элементы которой определяются по правилу:

1. d_ii⁰= 0;

2. d_ij⁰= Weight(v_i, v_j), где i<>j, если в графе существует ребро (дуга) (v_i, v_j);

3. d_ij⁰= бесконечность , где i<>j, если нет ребра (дуги) (v_i, v_j).

2. m:=0.    Основная часть:    1. Построим матрицу D^m+1 по D^m, вычисляя ее элементы следующим образом:

d_ij^m+1=min{d_ij^m, d_i(m+1)^m + d_(m+1)j^m}, где i<>j; d_ii^m+1=0 (*).

Если d_im^m + d_mi^m < 0 для какого-то i, то в графе существует цикл (контур) отрицательной длины, проходящий через вершину v_i; ВЫХОД.    2. m:=m+1; если m<|V|, то повторяем шаг (1), иначе элементы последней построенной матрицы D^|V| равны длинам кратчайших путей между соответствующими вершинами; Если требует найти сами пути, то перед началом работы алгоритма построим матрицу P с начальными значениями элементов p_ij=i. Каждый раз, когда на шаге (1) значение d_ij^m+1 будет уменьшаться в соответствии с (*) (т.е. когда d_i(m+1)^m + d_(m+1)j^m<d_ij^m), выполним присваивание p_ij:=p_(m+1)j. В конце работы алгоритма матрица P будет определять кратчайшие пути между всеми парами вершин: значение p_ij будет равно номеру предпоследней вершины в пути между i и j (либо p_ij=i, если путь не существует).    Примечаниe: если граф - неориентированный, то все матрицы D^m являются симметричными, поэтому достаточно вычислять элементы, находящиеся только выше (либо только ниже) главной диагонали.