14. Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясы және оның ішкі сыртқы күш жұмыстарымен байланысы.

Мех. жүйенің Кинетикалық энергиясы сол жүйе құрамындағы нүктелердің Кинетикалық энергияларының қосындысы бойынша анықталады: , мұндағы k – жүйе құрамындағы нүктелердің саны. Мех. жүйенің Кинетикалық энергиясын түрінде де өрнектеуге болады, мұндағы M – бүкіл жүйенің массасы, с – массалар центрінің жылдамдығы, Ec – жүйенің массалар центрі маңында қозғалғандағы Кинетикалық энергиясы. Ілгерілемелі қозғалыс жасайтын қатты дененің Кинетикалық энергиясы, массасы сол дененің массасындай, материалдық нүктенің Кинетикалық энергиясына тең. Белгілі бір осьтің (z) маңында -ға тең бұрыштық жылдамдықпен айналатын қатты дененің Кинетикалық энергиясы былай есептеледі:  𝐸= , мұндағы Қ – инерция моменті. Кез келген жүйенің Кинетикалық энергиясы сыртқы әсердің не сол жүйенің жеке бөліктерінің әсерлесуі салдарынан өзгереді. Бұл өзгерістің шамасы (E₂-E₁) ішкі және сыртқы күштер тарапынан істелген жұмыстардың қосындысына тең: E₂-E₁=. К. э-ның өзгеруі туралы теореманы өрнектейтін бұл теңдіктің көмегімен динамиканың көптеген есептері шешіледі

 Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема. Механикалық жүйеге ішкі және сыртқы күштер әсер етсін.  Онда бұл жүйе үшін:

 

          Бұл теңдеулерді өзара қосып және дифференциалдың белгісін қосындының белгісінің алдына шығарып, алатынымыз:

,                                         немесе

                                      (15.9)

         Бұл формула жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теоремасының дифференциал түрін өрнектейді: механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының дифференциалы жүйеге әсер ететін барлық сыртқы және ішкі күштердің элементар жұмыстарының қосындысына тең болады.

Соңғы теңдеудің екі жағын да  -ге бөлейік.   Онда

.                                      (15.10)

        Сонымен, жүйенің кинетикалық энергиясының уақыт бойынша алынған бірінші туынды жүйеге әсер  ететін барлық сыртқы және ішкі күштердің қуаттарының қосындысына тең болады.

        Жүйе өзінің   алғашқы орналасу жағдайынан  ақырғы орналасу жағдайына ауысып көшкенінде  интеграл алайық. Алған өрнектерді қосып, алатынымыз

,                                   (15.11)

мұнда   - сәйкестеп алынған жүйенің алғашқы орналасу және ағымды орналасу жағдайындағы кинетикалық энергиясы;  ,  және     k – нүктесіне әсер ететін сыртқы және ішкі күштерінің жұмысы.

         Жүйенің кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теореманың интегралдық түрдегі өрнегі былай айтылады: жүйенің бір орналасу жағдайынан екінші бір орналасу жағдайына көшу кезінде жасаған орын ауыстыруындағы кинетикалық энергиясының өзгеруі жүйеге әсер ететін барлық сыртқы және ішкі күштердің сол орын ауыстыруындағы жұмыстарының қосындысына тең болады.

15.Сыртқы күш өрісіндегі материалдық нүтенің потенциалдық энергиясы және оның материалдық күшке әсер ететін күшпен байланысы.

Материалдық нүктелер жүйесі деп, олардың аяқталған санының жиынтығын айтамыз. Жуйенің әрбір нүктесіне екі түрлі сипаттағы күштер әсер етеді. Біріншіден, жүйеден тыс жерден әсер ететін сыртқы күштер, екіншіден, жүйе ішінде әcер ететін ішкі күштер.

Материалдық нүктелер жүйесіне әсер ететін барлық күштердің қосындысы былай анықталады:

, (1.1)

мұндағы

жүйенің iиндексімен белгіленген материалдық нуктесіне әсер ететін күш, ол сыртқы күш пен осы нүктеге әсер ететін ішкі күштердің қосындысына тең.

Ньютонның үшінші заңы (3.1) өрнегін ықшамдауға кометеседі:

,

яғни, материалдық нүктелер жүйесіне әсер ететін күш тек сыртқы күштердің қосындысымен анықталады.

Күштерді қасиеттеріне қарай екі класқа бөлуге болады.

Жұмысы тек траекторияның бастапқы және соңғы нүктелеріне ғана байланысты, оның түріне байланыссыз күштерді потенциалдық (консервативті).күштер деп атайды.Оған тартылу күштері жатады.

Потенциалды өріс деп жұмысы тек траекторияның бастапқы және соңғы нүктелеріне ғана байланысты, оның түріне байланыссыз өрісті , жұмысы мына интегралға тең:

(5.6)

Енді мына бір математикалық теоремаға сәйкес: егер F_x , F_y , F_z потенциалдық күштің проекциялары болса, ондамынандай функция E_n(x, y, z) көмегімен осы проекциялар мына формулалармен беріледі:

(5.7)

функции E_nфункциясы көмегімен күш жұмысын (5.5) өрнегінің оң жағынан табуға болады:

.

Интегралдап,1 нүктеден 2 нүктеге көшкен кездегі жұмысты анықтауға болады:

, (5.8)

мұндағыE_n1 жәнеE_n2 – E_nфункциясының 1 және 2нүктелердегі мәндері. (5.8) бен (5.5) ескере отырып аламыз:

. (5.9)

Сонымен 1 және 2 арасындағы кинетикалық энергия E_nшамасының кері мәніне өзгереді. Теңдікті мына түрде жазған ыңғайлы:

.

Осыдан кинетикалық энергия менE_n–нің қосындысы қозғалыс кезінде тұрақты болып қалады:

. (5.10)

E_nшамасы материалдық нүктенің потенциалдық энергиясы , ал теңдік –энергияның сақталу заңы.

Күшті вектор ретінде жазалық:

,

мұндағы – координат остері бойындағы бірлік векторлар. Потенциалдық күштердің проекциясын ескере отырып:

табамыз:

набла операторын қолдана отырып ,

мынаны аламыз

. (5.11)