1.4.1. Длина кривой

Длина l плоской или пространственной кривой АВ вычисляется по формуле

Задания для самостоятельного решения

Вычислить длины заданных дуг:

1. ау² = х³, 0 ≤ х ≤ 5. 2. r = a sin³ . 3. y = , 0 ≤ х ≤ 4 . 4. y = 1 – ln cos x, , 0 ≤ х ≤ .

1.4.2. Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая АВ, лежащая в плоскости Оху, а образующая параллельна оси Oz, то площадь поверхности, задаваемой функцией z = f (х, у), находится по формуле

Задания для самостоятельного решения

Вычислить площади цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью Оху, а сверху поверхностью z = f (x, y), при условии, что известна направляющая L этой цилиндрической поверхности:

1. f (x, y) = , у² = 2х. 2. f (x, y) = , х² + у² = R².

3. f (x, y) = 2 – , у² = (х – 1)³ . 4. f (x, y) = x, у = x² ( x [0, 4] ).

1.4.3. Масса кривой

Пример 6. Найти массу четверти эллипса + = 1, расположенной в первой четверти, если линейная плотность в

каждой точке пропорциональна ординате этой точки с коэффициентом k.

Т.к. μ (х, у) = kу, то m = , L – четверть эллипса + = 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

Переходим к параметрическим координатам эллипса x = a cos t, y = b sin t. Напомним, что с = – фокусное расстояние эллипса, а = ε – эксцентриситет эллипса.

Находим дифференциал дуги dl. Имеем: dl = dt = =

= = = = a .

Переходим к вычислению массы m = kab = – d (ε cos t).

Воспользуемся формулой = ( u + arcsin u), где u = ε cos t (данный интеграл можно взять по частям или с помощью тригонометрической подстановки u = sin t). Получаем

m = – ∙ = – .

Учитывая, что ε = , = , получим окончательно m = .

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить массу четверти эллипса x = 5 cos t, y = 4 sin t, расположенную в первой четверти, если ее линейная плотность μ равна у.

2. Найти массу контура эллипса + = 1, если его линейная плотность в каждой точке М(х, у) равна | у |.

3. Найти массу первого витка винтовой линии x = а cos t, y = а sin t, z = bt, если плотность в каждой точке равна радиусу-вектору этой точки.

1.4.4. Статические моменты , центр тяжести

Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты центра тяжести материальной кривой АВ с линейной плотностью μ (х, у) равны

Пример 7. Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды

x = a ( t – sin t ), y = a ( 1 – cos t ), 0 ≤ t ≤ 2π.

Имеем х_с = , у_с = , где m = , S_y = , S_x = .

dl = dt = = = Рис.4. a = a = a = 2a sin dt.

Т.о., m = = 2a dt = –4a cos = 8a.

Из рис.4 видно, что циклоида симметрична относительно прямой х = πа , поэтому х_с = πа . Т.о., S_y можно не вычислять, хотя учитывая равенство х_с = , можно предположить, что S_y = 8πа². Вычислим теперь S_х:

S_х = = dt = 2a² dt = 4a² dt = – 8a² =

= – 8a² = a².

Окончательно получаем: m = 8a, S_х = a², S_y = 8πа², х_с = πа , у_с = а .

Задания для самостоятельного решения

1. Найти координаты центра тяжести дуги однородной кривой y = а ch от точки А(0, а) до точки В(b, h).

2. Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = a ( t – sin t ), y = a ( 1 – cos t ), 0 ≤ t ≤ π.

3. Найти координаты центра тяжести кривой у² = а х³ – х⁴.

4. Найти координаты центра тяжести кривой х^2/3 + y^2/3 = a^2/3, y ≥ 0.

5. Найти координаты центра тяжести кривой + = , 0 ≤ x ≤ a.