КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
(практика)
Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть
некоторая кривая, является т.н. криволинейный интеграл.
Криволинейный интеграл I рода (по длине кривой)
1.1. Основные понятия и определения
Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) длины l.
Рассмотрим непрерывную функцию f ( x, y ), определенную в точках дуги АВ.
Разобьем кривую АВ точками А=M0, M1, M2, ... , Mn= B на n произвольных
дуг M i-1M i c длинами li. Выберем на каждой дуге M i-1M i произвольную
т
очку
(
i
,
i
) и составим
сумму
Рис.1.
i = 1,2,..., n ( рис. 1). Ее называют интегральной суммой (или интегральной суммой I рода) для функции f ( x, y) по кривой АВ.
Условие существования криволинейного интеграла I рода представляет следующая теорема
Теорема 1. Если функция f ( x, y), непрерывная в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них. |
Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от функции f ( x, y, z ) по пространственной кривой L.
1.2. Основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода)
Вычисление криволинейного интеграла I рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграла.
Желательно делать рисунок кривой!
Параметрическое представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), t [ , ], где
x
( t
)
и y
( t
) – непрерывно
дифференцируемые функции параметра
t,
причем точке А
соответствует t
= ,
точке В
- значение t
= ,
то
Аналогичная
формула имеет место для криволинейного
интеграла от функции f
(
x,
y,
z
) по
пространственной кривой АВ,
задаваемой параметрическими уравнениями
x
= x
( t
),
y
= y
( t
),
z = z ( t ), t [ , ]
Пример 1.
Вычислить криволинейный интеграл от
функции с тремя переменными
,
где L
– дуга
кривой, заданной параметрически x = t cos t, у = t sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ π.
Дифференциал
дуги dl
для данной кривой
(см.(4)): dl
=
dt
=
dt
=
=
dt
=
=
dt
=
dt
.
Т.о.,
=
)
dt
=
dt
=
=
d
( 2 + t2)
= ( 2 + t2)
=
–
2
.
/
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая АВ
задана уравнением y
=
( х ),
х
[ a,
b
], где
( х )
– непрерывно дифференцируемая функция,
то
Подынтегральное выражение в правой части формулы (5) получается из формулы (3), если в качестве параметра t взять х.
Пример 2.
Вычислить криволинейный интеграл
,
где L
– дуга параболы у2
= 2х,
заключенная между точками (2, 2) и (8, 4).
Найдем
дифференциал дуги dl
для кривой
у =
.
Имеем:
у′
=
,
dl
=
dx
=
dx.
Следовательно,
данный интеграл равен (см.
(5)):
=
dx
=
dx
=
dx
=
∙
(1
+ 2х)3/2
|
=
(17
–
5
).
Полярное представление кривой интегрирования
Если плоская
кривая L
задана уравнением r
= r
(
),
[ ,
] в полярных
координатах, где r
(
) – непрерывно
дифференцируемая функция, то
Замечание. Нижний предел определенного интеграла в формулах (3) - (6) должен быть меньше верхнего.
П
ример
4. Вычислить
криволинейный интеграл
,
где L
– окружность х2
+ у2
= ах
(a
> 0) (рис.3).
Введем полярные координаты x = r cos φ, y = r sin φ. Тогда, т.к. х2 + у2 = ах, то уравнение
окружности в полярных координатах примет вид r2 = а r cos φ, т.е. r = а cos φ, а дифференциал
дуги dl
=
= =
=
a
dφ.
При этом φ
.
Следовательно, данный интеграл равен (см. (6)):
= а
dφ
= а2
sin
φ
|
= а2
(1 + 1) = 2 а2.
Рис.3.
Задания для самостоятельного решения
Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода:
1.
,
где L
– контур квадрата | x
| + | y
| = a.
2.
,
где L
– отрезок ОА
и О
(0, 0), А(1,
2).
3.
,
где L
– отрезок АВ
и А
(2, 4), В(1,
3).
4.
,
где L
– отрезок MN
и M
(0, -2), N(4,
0).
5.
,
где
L
– дуга
циклоиды
x
= a
(
t
– sin t
),
y
= a
(
1 – cos t
),
0 ≤ t
≤ 2π.
6.
,
где
L
– дуга
цепной
линии
x
= a
cos
t,
y
= a
sin t,
z
= b
t,
0 ≤ t
≤ 2π.
7.
,
где L
– правый лепесток лемнискаты r2
= a2cos
2φ.
8.
,
где L
– окружность х2
+ у2
= a2.
(Указание:
перейти к полярным координатам).
Приложения криволинейного интеграла I рода