32. Дифференциальное ур-е для коп.
важный
класс ортогональных многочленов
возникает при решении дифференциального
уравнения вида(10)
Q,L-заданные
многочлены 2го и 1го порядка
f,λ-неизвестные
ф-я и к-ент. Это уравнение называется
задачей Штурма
— Лиувилля.
Решение этого уравнения приводит к
множеству собственных
чисел 
и
множеству собственных
функций 
,
обладающих следующими свойствами:1) pn-
полином ,зависящий от λ.
2) последовательность p
ортогональна с весовой фун-ейW(х)
3) промедуток орт-ти зависит от корней
многочлена Q.4)
λn
могут быть получены из формул: (11)
Дифференциальное
уравнение имеет нетривиальные решения
только при выполнения одного из следующих
условий. Во всех этих случаях при
изменении масштаба или/и сдвига области
определения многочлены решения сводятся
к ограниченному набору классов, которые
называются классическими
ортогональными полиномами: 1. Якобиподобные
многочлены.Q —
многочлен второго порядка, L —
первого. Корни Q различны
и действительны, корень L лежит
строго между корнями Q. При
помощи линейного преобразования
уравнение сводится к 
с
интервалом ортогональности 
.
Решениями являются многочлены Якоби 
2.
Лягерроподобные
многочлены.Q и L —
многочлены первого порядка.
Корни Q и L различны. Сводится
к 
и
интервалу ортогональности 
.
Решениями являются обобщённые
многочлены Лягерра 
.
3.
Эрмитоподобные многочлены.Q —
ненулевая константа, L —
многочлен первого порядка. Первые
коэффициенты Q и L имеют
противоположный знак. Сводится к 
и
интервалу ортогональности 
.
Решениями являются многочлены Эрмита 
.
33.Ортогональность произвдных от коп.
Обозначим
как m-ую
производную полинома 
Производная
является
полиномом степени 
и
обладает следующими свойствами: 1)
ортогональность.
Для заданного m последовательность
полиномов 
ортогональна
с весовой функцией 
.
2)
формула
Родрига:
.
3) дифференциальное
уравнение
,
где 
.
4) дифференциальное уравнение второго
вида
,
где
.
5)
рекуррентные
соотношения (для удобства у
коэффициентов a, b и c опущены
индексы n и m).
34.Квадрат нормы коп.
(12) К-ты можно выразить через квадрат нормы dn^2 и к-ты an,bn при старших степенях полинома: (13)
Из соотношения (14)
Видно,что (15)
Так как (16)(17)
С другой стороны, сравнивая к-ты при старших сепенях в левой и правой частях рав-ва (18)
, имеем (19)
Отсюда(20)
Т.о.,зная к-ты a,b и квадрат нормы полиномов pn,можно последовательно определить эти полиномы.
35.Формула Родриго.
Форм-ла Родриго для yn(z) имеет вид: (21)
, где (22)
Так как (23) ,то (24)
1)Из формулы Родрига для полиномов yn(z) и их производных y`n вытекают следующие формулы Якоби,легерра и Эрмита: (25)(26)
2) С помощью фор-лы (21) при m=n-1 легко вычислить к-ты a,b при старших степенях z в разложении (27) →(28)
3) численные значения полиномов Якоби,Лаггера при некоторых значениях zмогут быть найдены с помощью фор-лы Р-га , если воспользоваться правилом Лейбница для вычесления производных от произведения ф-ий: (29)
(30)