19Метод Фурье для ур-я Лапласа. Ф-ла Пуассона.

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению: внутри круга

и граничному условию на границе круга

где  -заданная функция,  -полярный угол.

.

Введем полярную систему координат   с началом в центре круга.

-полярные координаты.

Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид

.

(3)

Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать частное решение уравнения (1), вида

.

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (3), получим

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

(4) (5)

- решение уравнения, где C и D –постоянные.

Для решения внутренней задачи надо положить  , так как, если  , то

функция   обращается в бесконечность при   и не является

гармонической функцией внутри круга. Итак, частные решения нашей задачи найдены:

,

-вид общего решения. 20.Формулы Грина.

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция с непрерывными частными производными первого порядка  . Тогда справедлива формула Грина

где символ   указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки. Если  , то формула Грина принимает вид где S − это площадь области R, ограниченной контуром C.  Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией Ротором  векторного поля   называется вектор, обозначаемый   или   и равный Формула Грина в векторной форме записывается в виде

31.Определение классических ортогональных полиномов (коп).

Системы полиномов lpn(x)l ортогональных с весом ρ(x)>0 на (a,b): (1)

Где d-квадрат нормы.Задание ρ определяет полином pn(x),

удовлетворяющий ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормированного множителя. Для pn(x) справедливо выражение в виде определителя: (2)

Ап-нормированная постоянная.(3)

-момент весовой функции ρ. Классические О. п.

- полиномы Якоби, Лагеррa и Эрмита.Удовлетворяют уравнению вида: (4)

δ-полином степени не выше 2, τ не выше 1го.λ-пост-я.При значениях (5)

ур-е имеет полиномиальные решения y=yn(x), которые можно представить в виде ф-лы Родрига (6) Bn-нормировочная пост-я.

При помощи линейной замены независимой переменной, полиномы можно привести к каноническому виду. Если полином δ имеет кратные корни, т.е. δ(х)=(x-a)^2, то полиномы y можно выразить через полиномы Лаггера: (7)

Системы классич. О. п. замкнуты для непрерывных ф-ций f(x), удовлетворяющих условию квадратичной интегрируемости, т. е. из равенств (8)

следует, что f(x) = 0 при х (а, b)для любых непрерывных ф-ций f(x), удовлетворяющих условию ()9