27.Цилиндрические ф-и.Ф-и Бесселя.
Функции
Бесселя в математике —
семейство функций,
являющихся каноническими
решениями дифференциального
уравнения Бесселя
где 
—
произвольное вещественное
число,
называемое порядком.Наиболее
часто используемые функции Бесселя —
функции целых порядков.Хотя
и 
порождают
одинаковые уравнения, обычно договариваются
о том, чтобы им соответствовали разные
функции (это делается, например, для
того, чтобы функция Бесселя
была гладкой по
).
функции
Бесселя первого рода[править | править
вики-текст].Функциями
Бесселя первого рода, обозначаемыми 
,
являются решения, конечные в точке 
при
целых или неотрицательных
.
Здесь 
—
это гамма-функция
Эйлера(
).Если
не
является целым числом, функции
и 
линейно
независимы и, следовательно, являются
решениями уравнения. Но если
целое,
то верно следующее соотношение:
определение
функции Бесселя для целых значений
,
используя интегральное представление:
.
28.Рекуррентные форм-лы для ф-ий Бесселя.(4.05.15)
Установим соответствие между ф-ми Бесселя 1го рода раздичных порядков: (1)
Формулы проверяются дифф-нием рядов бесселевых ф-ий. Частные случаи реккурентных фор-ул: при ν=0 : (2) .при v=1 (3)
Установим рекуррентные формулы, связывающие (4)
Производя дифф-е в 1ых,получим (5)
Складывая и вычитая,находим рекуррентные форм-лы: (6)
С их помощью можно вычислить (7)
29.Ф-и Бесселя полуцелого порядка.
Найдем выражения для ф-ий (8) (9)
Пользуясь св-ом г-функций: (10)
Подставив в 1е формулы,получим: (11)
Сумма 1го представляет собой разложение синуса, а 2го- разложение косинуса по степеням х.→
(12)
Ф-я, где n- целое число: (13)
, где Pn-многочлен степени n относительно 1/x,Qn- многочлен степени n-1.Pn(0)=Qn(0)=0.
30.Ф-я Ханкеля и Неймана.
Установим связь между ф-ми бесселя,неймана,ханкеля.т.к. всякое реш-е ф-и Бесселя при нецелом v можно представить в виде линейной коминации ф-ий (14) ,то (15)
,где с1 и с2- постоянные, подлежащие определению.Для главных членов асимптотических разложений имеет место рав-во:
(16)
Преобразуем аргумент 2го слагаемого к виду: (17) : (18)
Сокращая обе части и пользуясь форм-ой Эйлера для левой части, получим: (19)
Откуда ()20 Из этого находим: (21)
Пользуясь форм-ой (22)
, получим (23)