22.Решение задачи Дирихле для круга. Интеграл Коши.

Покажем, как методом разделения переменных можно решить задачу Дирихле для круга.

Решение должно быть периодическим по   с периодом, укладывающимся в   и ограниченияРешаем методом разделения переменн

23.Функция Грина.

Фу́нкция Гри́на используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Функция Грина G(x, s) линейного дифференциального оператора L = L(x), действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства Rⁿ в точке s — это любое решение уравнения: ,где   — это дельта-функция Дирака( обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие). Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

Функция Грина — это обратный оператор к  . Поэтому ее нередко символически обозначают как  .Если ядро L нетривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий и/или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. функция Грина — обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний.

24.Метод электростатических изображений. Интеграл Коши для сферы.

Пусть V − шар, ограниченный сферой S: x^2+y^2+z^2=R^2. с центром в начале координат. Поместим единичный заряд в точку P, расположенную внутри сферы S. Покажем, что действие этого заряда на S может быть уничтожено некоторым зарядом, помещенным в точке , P1 являющейся инверсией точки P относительно сферы S; точка , P1 лежит на прямой ОР вне шара, причем ρ op*ρ op1=R^2(1). Пусть P − произвольно зафиксированная точка сферы S. Рассмотрим два треугольника OPP и OPP1. . OP1P Эти треугольники подобны, так как они имеют общий угол при вершине О и стороны, образующие этот угол, пропорциональны в силу (1).

1. Из подобия треугольников следует

(2)откуда

(3)

25.Гамма и Бета-функции.

 Бета-функцией Эйлера называется интеграл(4)

Гамма-функцией Эйлера называется интеграл (5)

Свойства   функции:

1. 1.Область определения  . Доказательство. Разобъем интеграл на сумму двух интегралов точкой  . Тогда при  выполнено  . Но интеграл   сходится. Аналогично доказывается для второго интеграла.

2. (Доказательство через замену переменных).

3. Формулы понижения  . Доказательство(6)

После выполнения переноса в левую часть и деления на соответствующий множитель получим требуемое равенство.

4.  получается заменой  .

Свойства   функции:

1. Область определения  . Доказательство. Разобъем интеграл на сумму двух интегралов точкой  . Тогда при   выполнено . Но интеграл   сходится.На   имеем  . А   сходится.

2. 3. Формулы понижения 

4. . 5. ,  ,  ,  . Отметим связь между Гамма- и Бетта-функциями (без доказательства):

26.Функциональные соотношения для Г-ф-и.

Г-ф-я удовлетворяет 3м соотношениям: 1) Г(z+1)=zГ(z). Док-во: пусть R(z)>0; воспользуемся интегральным представлением. Интегрируя по частям , находим (1

При z>0.;

2) Г(z)Г(1-z)=π/sinπz;Док-во:Пусть 0<R(z)<1.воспользуемся равенством (2)

Тогда получим (3)

Введя новые переменные, получим (4)

z-любое число

3)2^(2z-1) * Г(z)Г(z+1/2)=Г(2z)π^1/2.Док-во: пусть R(z)>0.На основании (2),имеем:

(5)