19Метод Фурье для ур-я Лапласа. Ф-ла Пуассона.

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению: внутри круга

и граничному условию на границе круга

где  -заданная функция,  -полярный угол.

.

Введем полярную систему координат   с началом в центре круга.

-полярные координаты.

Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид

.

(3)

Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать частное решение уравнения (1), вида

.

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (3), получим

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

(4) (5)

- решение уравнения, где C и D –постоянные.

Для решения внутренней задачи надо положить  , так как, если  , то

функция   обращается в бесконечность при   и не является

гармонической функцией внутри круга. Итак, частные решения нашей задачи найдены:

,

-вид общего решения. 20.Формулы Грина.

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция с непрерывными частными производными первого порядка  . Тогда справедлива формула Грина

где символ   указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки. Если  , то формула Грина принимает вид где S − это площадь области R, ограниченной контуром C.  Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией Ротором  векторного поля   называется вектор, обозначаемый   или   и равный Формула Грина в векторной форме записывается в виде

21.Основные св-ва гармонических фун-ий.

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция  , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве   , удовлетворяющая уравнению Лапласа:

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Св-ва:1.Принцип максимума.Функция U, гармоническая в области  , достигает своего максимума и минимума только на границе  . Таким образом, гармоническая функция не может иметь вовнутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в   функции. 2. Теорема Лиувилля.Гармоническая функция, определённая на   и ограниченная сверху или снизу, постоянна.3. Свойство среднего.Если функция   гармонична в некотором шаре   с центром в точке  , то её значение в точке   равно её среднему значению по границе этого шара или по шару: где   — объём шара   и   — площадь его границы.4. Дифференцируемость.Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней. 5. Теорема Гарнака.Пусть   - положительные гармонические функции в некоторой области  . Если ряд   сходится хотя бы в одной точке области  , то он равномерно сходится внутри  .