15.Задача Коши для однородного уравнения теплопроводности.
Рассмотрим
задачу Коши для уравнения теплопроводности: 
Считаем, что u(x,t)
и φ(x)
функции для которых существует интеграл
Фурье.Обозначим U(λ
,t) = R [u];
Ф(λ)
= R [φ].
Применяем преобразование Фурье к нашей
задаче.В силу свойства линейности можем
применить к левой и правой части уравнения
и начальные условия: 
Решаем новую задачу в образах: λ входит
как параметр, в уравнении производных
по λ нет
(только по t);
его
решение: 
.
Используя начальное условие,
определяем С: U(λ ,0)
= С = Ф(λ).
Тогда: 
,
т.е. U(λ
,t) = Ф(λ) 
G(λ)
= R [φ(x)]
R [g(x,t)]
= R(φ
g).
Функция φ(x)
- известна. Надо найти g(x,t)
- оригинал функции G(λ).Воспользуемся
табличными значениями: 
.
В
последнем равенстве выяснено, что из
себя представляет "табличный"
коэффициент λ в
нашей задаче:
;
.
Мы
нашли функцию g(x,t).
(5) 
-
формула Пуассона. Функция 
-
является фундаментальным решением
уравнения теплопроводности. G* (x
,ξ ,t) - представляет
температуру стержня в точке х в
момент времени t
.Тогда u(x,t)
- можем рассматривать как результат
суперпозиции температур, возникающих
в точке х в
момент времени t вследствие
непрерывно распределенных по стержню
тепловых источников "интенсивности" φ(х)cp
в точке λ,
приложенных в момент времени t =
0.
16.Задача Коши для неоднородного уравнения теплопроводности.
Сведем
эту задачу к задаче с нулевыми граничными
условиями:
-
удовлетворяет граничным условиям
.
Задача для 
имеет
вид:
где 
Пусть 
.
Рассмотрим 2 задачи:
Нужно
решить задачу 
:
Будем искать 
.
Подставим
в уравнение
:
-
неоднородное линейное дифференциальное
уравнение 
.Решение
: 
Подставим
в
: 
.Проинтегрируем
с учетом нулевого условия:
Если
-
достаточно гладкая функция, то ряд
сходится и он будет решением задачи
для 
.
17.Уравнения эллиптического типа. Постановка краевых задач.
Наиболее расп-ым ур-ем этого типа является ур-е Лапласа: ΔU=0.Ф-я u называется гармонической в области T, если она непрерывна в области вместе с производными до 2го порядка и удовлетворяет ур-ю Л-са.Рассмотрим стационарное поле.В нём устанавливается распределение t-ры u(x,y,z), не меняющееся с течением времени и удовлетв-щее ур-ю Л-са. При наличии источников: Δu=-F/k, F-плотность тепловых источников,k-к-ент теплопроводности.Рассмотрим объем T,ограниченный поверхностью Σ.Нужно найти ф-ю u(x,y,z) ,удовлетворябщую внутри T ур-ю:Δu=-f(x,y,z) и граничному условию, которе может быть взято в одном из след.видов:1.u=f1 на Σ(1я краевая задача) 2.du/dn=f2 наΣ(2я краевая) 3.du/dn+h(u-f3)=0 на Σ,где f1,f2,f3,h- заданные ф-и,du/dn-производная по внешней нормали к пов-ти Σ.1ю задачу наз-ют задачей Дирихле,2ю-задачей Неймана.Если ищется реш-е T0, внутренней по отношению к пов-ти Σ,то эту задачу наз-ют внутренней.
18.Преобразование обратных радиус-векторов и простейшие решения ур-ий Лапласа.
Преобразованием обратных р-векторов в сфере радиуса a наз-ся такое преобразование,при котром всякой точке M ставится в соответствие точка M`, лежащая на том же луче из начала координат,что и точка M,радиус-вектор которой r` связан с р-в-ом r точки M соотношение:r`r=a^2.Считаем a=1,чего можно всегда добиться, изменив масштаб.Покажем,что гармоническая ф-я2х независимых пер-ых u(ρ,φ) преобразованием обратных р-векторов переводится в гармоническую ф-ю:V(ρ`,φ)=U(ρ,φ),ρ=1/ρ`. В самом деле, ф-и U и V, как ф-и пер-ых ρ,φ удовлетворяют ур-ям:ρ^2ΔU=ρ d/dρ(ρ dU/dρ)+d^2u/dφ^2=0 и
ρ^2ΔV=ρ d/dρ(ρ dV/dρ)+ d^2V/dφ^2=0.Переходя к пер-ым ρ`и φ, получим:
ρ dV/dρ=ρ dV/dρ` * dρ`/dρ=-ρ`/dV/dρ`.Отсюда следует,что V(ρ`,φ) удовлетворяет ур-ю ΔV=0, т.к.
ρ`^2ΔV=ρ` d/dρ`(ρ` dV/dρ`)+d^2V/dφ^2=0.Переходя к случаю 3х независимых пер-ых,покажем,что ф-я V(r`,θ,φ)=ru(r,φ,θ), где r=1/r` удовл-ет ур-ю Л-са Δu=0.При дифференцировании 1е слагаемое в операторе Л-са преобрах-ся к виду:
1/r^2 * d/dr(r^2 du/dr)=d^2u/dr^2+2/r * du/dr=1/r * d^2(ru)/dr^2.Отсюда:
Δru=d^2(ru)/dr^2+1/r(1/sinθ d/dθ*(sinθ dV/dθ)+1/sin^2θ d^2u/dφ^2)=0.Замечаем,что
dV/dr=dV/dr` * dr`/dr=-r`^2 dV/dr`.Находим,что V удовлетворяет ур-ю ΔV=0, т.к.
r`^2 d/dr` (r`^2 dV/dr`)+ r`^2(1/sinθ d/dθ * (sinθ dV/dθ)+ 1/sin^2θ d^2V/dφ^2)=0, или r`ΔV=0