3. Уравнение гиперболического типа. Поперечные колебания струны.

Рассмотрим натянутую струну, закрепленную на концах. Будем рассматривать только поперечные колебания, т.е. такие, когда движение всех точек струны происходит в одной плоскости и в направлении, перпендикулярном положению равновесия. Если положение равновесия принять за ось Ox , то процесс будет характеризоваться одной скалярной величиной u = u(x,t ) - отклонением от положения равновесия точки струны x в момент времени t . Поэтому, чтобы знать положение любой точки x струны в произвольный момент времени t , нужно найти зависимость u от x и t , т.е. найти функцию u(x,t ). При каждом фиксированном значении t график функции u(x,t) представляет форму струны в этот момент времени. Частная производная ∂u/∂x=ux(x,t) дает при этом угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x. При постоянном значении x функция u(x,t) дает закон движения точки с абсциссой x вдоль прямой, параллельной оси Ou , производная t ′ ∂u/∂t=u′x(x,t) скорость этого движения, а вторая производная ∂^2u/∂t^2 - ускорение. Задача состоит в том, чтобы составить уравнение, которому должна удовлетворять функция u(x,t). Будем считать струну абсолютно гибкой, упругой; Пренебрегаем толщиной струны; На струну в плоскости колебания действуют силы, параллельные оси Ou. Плотность распределения g( t,x )=−ρg, ρ - плотность струны, а g - ускорение силы тяжести. Будем рассматривать только малые колебания струны. Выделим произвольный участок (x1x,2) струны, который при колебании струны деформируется в участок M1∪M2. Длина S′ дуги в момент времени t равна: S′=∫(от x1 до x2)(1+(∂u/∂x)^2) ∂x≈∫(от х1 до х2) ∂х=x2-x1=S.→ в процессе колебания удлинения участков струны не происходит. Согласно принципу Даламбера сумма проекций на ось Ox всех сил равна нулю. Cos(α)=1/(1+tg^2cosα(x))^1/2=1/(1+(∂u/∂x)^2) ≈1.Тогда получим, что T(x1)≈T(x2). Отсюда следует, что величина натяжения не зависит от x. можно считать, что T≈T0 при всех значениях x и t. Если струна однородная, т.е. ρ = const,то уравнение обычно записывается в виде: ∂^2/∂t^2=a^2 ∂^2u/∂x^2+f(x,t), где а=(T0/ ρ0)^1/2,f(x,t)=g(x,t)/ ρ. Неоднородное уравнение называется уравнением вынужденных колебаний струны. если f(x,t) ≡ 0,то уравнение однородное.

4.Постановка краевых задач для УГТ.

Условия ulx=0 =0,ulx=1 =0. называются граничными условиями; они показывают, что происходит на концах струны на протяжении процесса колебания. В начальный момент времени (t = 0) всем точкам струны сообщаются некоторые смещения и скорости: u( 0,x ) = f(x), ∂u(x,0)/∂t=F(x), где f(x) и F(x) - заданные функции.Простейший пример УГТ:Uxx-Uyy=0 (y=at).Если в точке х0(х1<x0<x2) приложена сосредоточенная сила f0(t), то уравнение запишется так: ∫(от х1 до х2) ρ(ӡ)(Ut(ӡ,t2)-Ut(ӡ,t1))∂ӡ- ∫(от х1 до х2) ∫(от t1 до t2)f(ӡ,τ)∂ӡ∂τ=∫(от t1 до t2)T0(Ux(x2,τ))-Ux(x1, τ)∂τ+ ∫(от t1 до t2)f0(τ)∂τ. Поскольку скорости точек струны ограничены, то при x1→x0 и x2→x0 интегралы в левой части стремятся к 0, и равенство принимает значение: ∫(от t1 до tτ)T0(Ux(x0+0, τ)-Ux(x0-0,τ))∂τ=-∫f0(τ)∂τ.Пользуясь теоремой о среднем(если функция f(x)непрерывна,то .), сокращая обе части равенства на ∆t и переходя к пределу при t2→t1, получим:Ux(x,t)l(x0+0) и (x0-0) в интеграле=-f0(t)/T0.→в точке приложения сосредоточенной силы 1е производные претерпевают разрыв, и дифференциальное уравнение теряет смысл. В этой точке должны выполнятся 2 условия сопряжения:U(x0+0,t)=U(x0-0,t), Ux(x0+0,t)-Ux(x0-0,t)= f0(t)/ T0.1е выражает непрерывность струны, 2е определяет величину излома струны в точке х0, зависящую от f0(t) и натяжения T0.

5.Задача Коши для волнового уравнения. Формула Д`Аламбера.

Решение одномерного волнового уравнения (здесь   — фазовая скорость)

 (функция   соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

имеет вид

Интересно заметить, что решение однородной задачи

,

имеющее следующий вид

может быть представлено в виде

где

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции   и   — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

6.Решение задачи Коша для неоднородного волнового уравнения.

неоднородное волновое уравнение ,

где   — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы). Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Пуассона(уравнение имеет вид: 

где   — оператор Лапласа или лапласиан, а   — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии). Задача нахождения нормальных колебаний системы приводит к нахождению решений уравнения Гельмгольца. в трёхмерном случае   фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:

,когда воспользуемся равенствами:

и формулой, доказываемой в курсе математической физики:

-в двумерном. -в одномерном.

7. Задача Коши для полубесконечной струны.

Пусть струна находится в состоянии покоя на положительной оси Ox и ее конец, совпадающий с началом координат, неподвижно закреплен. Тогда к уравнению колебаний струны. (1) и нач. условиям (2)

заданным при x ≥ 0, необходимо добавить еще одно граничное условие (3) Из этих условий следует,что f(0)=0. Решение уравнения получаем

из формулы Д`Аламбера.Пусть f(x) и F(x) определены на 0<x<0. Тогда (4)

Чтобы оно было =0 при всех t,нужно ф-и f(x) и F(x) определить так:f(-x)=-f(x) и F(-x)=-F(x). т.е. функции продолжить в область отрицательных значений нечетным образом. Тогда 1е слагаемое из (4) =0, как и 2е, потому что берется интеграл от нечетной функции в интервале, симметричном относительно начала координат. Продолжив ф-и f(x) и F(x) на всю числовую ось, напишем фор-лу Д`Аламбера: (5)

Теперь это выражение определено для всех точек x и t и при x ≥ 0 дает решение поставленной задачи.

8.Метод Фурье для 1й краевой задачи.

Изложение этого метода проведем для задачи о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача сводится к решению однородного уравнения

(6) при однородных граничных условиях (7)

и начальных условиях (8):

Выделим две части метода Фурье. Первая часть заключается в отыскании частных решений уравнения (6), удовлетворяющая граничным условиям. Вторая часть - нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям. Будем искать частные решения в виде произведения двух функций (9)

Дифференцируя дважды по x и по t,получим(10)

Подставляя найденные производные в уравнение и деля обе части равенства на a^2 XT

(11)

Равенство возможно, когда обе части его не зависят от x и t. Обозначим эту постоянную через – λ. получим два обыкновенных дифференциальных уравнения (12)

Поскольку мы ищем решения, не равные тождественно нулю, то мы должны считать, что

(13)

Нужно найти такие значения параметра λ , при которых существуют нетривиальные решения уравнения, удовлетворяющие граничным условиям(задачу Штурма-Лиувилля).Мы рассматриваем линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения надо составить характеристическое уравнение

(14)

Теперь нужно рассматривать случаи,когда λ>0;<0;=0. Например, если λ>0,то Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны и общее решение уравнения (15)

Удовлетворяя граничным условиям, получим ()16

Определитель: (17)

система имеет единственное решение c1=0 и c2=0.Отсюда X(0)=0.

9.Решение общей краевой задачи для волнового уравнения.

Волновое уравнение (18)

Описывает малые поперечные колебания однородной струны.U(x,t)-перемещение точки x при изменении времени t.f-плотность внешних сил.при f=0 колебания являются свободными. В случае конечного промежутка 0<x<l задача формируется так: Найти дважды непрерывно дифференцируемую ф-ю U(x,t),удовлетворяющую начальным условиям (19):

(20) Здесь (21) - заданные ф-и.

Задачу с неограниченными условиями для неограниченной области (22)

называют задачей Коши. Решение задачи можно записать в виде :

(23)

10. Общая схема метода разделения переменных.

мы будем предполагать, что струна может быть неоднородной, т.е. ее линейная плотность меняется от точки к точке: p = p(x), а также и сила натяжения - функция координаты k = k(x). введем в уравнение член, описывающий наличие внешних упругих сил, которые также будем считать меняющимся от точки к точке: [-q(x)u]. Уравнение, описывающее процесс колебаний: (1)

Введем в рассмотрение дифференциальный оператор L[u], так что L[u] равен сумме некоторых производных функции  с коэффициентами, являющимися функциями независимых переменных.Пусть (2)

тогда наше уравнение примет вид (3)

найти решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям:

(4)

и нормальным условиям(5)

предполагаем, что k(x), q(x) и p(x) - непрерывны на [0;l] ,h₁ + h₂ > 0 и H₁ + H₂ > 0 (т.е.   одновременно). нетривиальное (т.е. тождественно  ) решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям ищется в виде произведения: (6)

Подставим предполагаемую форму решения(7)

Поделим левую и правую части уравнения на p(x)X(x)T(t): (8)

Для всех значений независимых переменных 0< x< l , t>0.

Видим, что обе части при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение. (9)

где λ - постоянная. получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для определения функций X(x) и T(t) (10)

(T тождественно  ). Отсюда следует, что функция Х(х) должна удовлетворять дополнительным условиям (11)

Таким образом, в связи с нахождением функции Х(х) мы приходим к задаче о собственных значениях называемой задачей Штурма-Лиувилля.

11. Решение 1й краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний.

Решить начально-краевую задачу для неоднородного волнового уравнения (12)

С однородными граничными и начальными условиями(13)

(14)

Решение: решим вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля, которая получается в результате разделения переменных в однородном уравнении (15) (16)

Решение исходной задачи будем искать в виде разложения в функциональный ряд по собственным функциям с неизвестными коэффициентами  (17

предполагая, что его можно дважды дифференцировать по переменной х и дважды по переменной t. Разложим функции   , в ряд по собственным функциям (18)

Разложим остальные функции в ряд по собственным функциям, Подставим полученные выражения в (17)

(19) и в исходное уравнение

(20)

Подставим (19) В начальное условие (21)

Учтем, что (22)

Решаем по очереди (23)

аналогично (24)

(25)

Подставим найденные значения функций и получим ответ: (26)