36.Производящие ф-ции для коп.

Будем называть производящей ф-ей для системы полиномов гипергеометрич-го типа yn(z)такую ф-ю Ф(z,t), разложение которой в ряд по степеням t при достаточно малых t имеет вид: (31) , где y- полином гипергеометрич-го типа,для которого постоянная Bn в формуле Родрига (32)

, т.е. (33)

Очевидно,что (34)

(35)

, где с-замкнутый контур, охватывающий точку s=z.Подставим в (31) выражение (35) и поменяем местами интегрирование и суммирование: (36)

Подыинтегральная ф-яимеет внутри контура C один полюс1го пор-кас вычетом (37)

В рез-те для Ф(z,t): (38)

37. Производящая ф-я для полиномов лежандра

Получим производящую ф-ю для полиномов Лежандра : (39)

И (40)

Т.к. для полиномов Лежандра (41)

,то (42)

Выражение часто применяется в теор.физике в виде : (43)

Действительно, (44)

Отсюда (45) (46)

38. Присоединенные ф-ции Лежандра.

Полином Лежандра степени   можно представить через формулу Родрига в виде(47)

Это ур-е можно получить из ч.с. гипергеометрич-го ур-я, называемого полиномом Лежандра : (48)

где  ,   — произвольные комплексные постоянные.Интересны решения при   . Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра. Подстановка вида  даёт уравнение Гаусса, решение которого в области   принимает вид (49)

где F — гипергеометрическая функция.

39.Норма присоединенных ф-ий Лежандра.

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При   функция   совпадает с  .

40.Сферические ф-ции.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение  ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере:

(50)

где ^* обозначает комплексное сопряжение,   — символ Кронекера (51)   функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и

0, если нет. Сферические функции имеют вид ,где функции   являются решениями уравнения и имеют вид Здесь   — присоединённые многочлены Лежандра( ), а   — факториал.

41.Ортогональность системы сферических ф-ий.

Докажем, что сферические ф-ции, соответствующие различным значениям λ,ортогональны на пов-ти сферы Σ. Пусть Y1 и Y2 удовлстворяют ур-ям: (52)

(53)

Имеет место формула: (54)

Интегрированием по частям ,получаем (55)

На пов-ти сферы (56)

Так что (57)

Меняя местами в (54)ф-ции Y1 иY2 и вычитая полученную формулу из форм-лы (54),будем иметь (58)

Формулы являются формулами Грина для оператора сферических ф-ий. Ортогональность сф. Ф-ий (59)