148. Числовые значения ак1*

	Оптимальные планы
Целевые функции	Максимум чистого дохода	Минимум затрат	Максимум валовой продукции	Максимум товарной продукции
	*.	*2	х,	Х4

Чистый доход 0 0,0392 0,0620 0,0685

Затраты 0 0 0,0292 0,0334

Валовая продукция 0,0296 0,0330 0 0

Товарная продукция 0,0340 0,0392 0 0

'Применение математических методов при внутрихозяйственном землеус­тройстве. Заключительный отчет ГИЗР. — Б. Вяземы, 1975. — С. 267.

На основании данных таблицы была построена следующая за­дача линейного программирования.

Необходимо найти минимум функции:

11= Г—> тт.

488

При ограничениях:

0Л.1 + 0,0392Х₂ + 0,0620Аз + 0,0685^ - У< 0; •

0Я, + 0Х₂ + 0,0292А.₃ + 0,0334Я₄ - У< 0;

0,0296^ + 0,0330Л₂ + 0Х₃ + 0А₄ - У< 0;

0,0340а., + 0,0392А.₂ + 0Я₃ + 0А,₄ - У<0;

Х₁+Х₂ + Хз+Х₄= 1-

Решение данной задачи дало следующие результаты:

У= Кит = 0,0218; Я, = 0,6458; Я₂ = 0; А₃ = 0,3542; А₄ = 0.

На третьем этапе вычислялись значения неизвестных субоп­тимального плана. Например, значение х₁ определялось по фор­муле

х,°=0,6458х,⁽¹⁾ + 0х(²⁾ + 0,3542х{³⁾+0х,⁽⁴⁾. Учитывая, что х,⁽¹⁾=90, х{²⁾=103, х}³⁾ = 129, х{⁴⁾=90,

х₁°=0,6458-90+0,3542-129=103,8.

Так же производился перерасчет значений других перемен­ных.

По аналогичной методике нами проводились расчет субопти­мального плана и решение многокритериальной задачи по уста­новлению состава культур в севооборотах различных типов на примере одной из бригад колхоза «Ленинец» Алексеевского рай­она Белгородской области.

В бригаде были выделены три массива пахотных земель. Пер­вый массив площадью 293 га размещался вблизи населенного пункта и фермы на землях I категории. Второй массив площадью 232 га примыкал непосредственно к балкам и оврагам и разме­щался на землях IV и V категорий. Третий массив площадью 941 га размещался на землях II и III категорий.

По проекту землеустройства первый массив предполагалось выделить под кормовой севооборот, на втором ввести почвоза­щитный севооборот, а на остальных пахотных землях запроекти­ровать полевой севооборот. Результаты решения задачи по опре­делению оптимального состава культур в севооборотах, найден­ные по сравниваемым критериям, приведены в таблице 149.

Из таблицы видно, что состав культур в севооборотах соответ­ствует целевому назначению последних. Так, в кормовом сево­обороте преобладают культуры, идущие на корм скоту, в почво­защитном — эрозионно устойчивые.

489

149. Площади культур в севооборотах, вычисленные по проекту и различным критериям оптимальности, га '

Севообороты

По различным критериям оптимальности

Максимум	Максимум	Средневзве-	Коэффициент
валовой	чистого	шенное	эрозионной
продукции	дохода	покрытие	опасности

Субопти­мальный план

		Кормовой
Озимые	27	27	—
Яровые	—	—	27
Свекла	59	59	59
Кукуруза	59	59	118
Зернобобовые и одно-	59	59	—
летние травы
Овощи	30	30	30
Картофель	59	59	59
Итого	293	293 Почвозащитный	293
Озимые	58	58	58
Яровые	29	29	29
Кукуруза	_	—	—
Зернобобовые	29	—	—
Многолетние травы	116	145	145
Итого	232	232 Полевой	232
Озимые	230	230	212
Яровые	113	113	106
Свекла	116	116	116
Кукуруза	212	212	237
Зернобобовые и одно-	106	106	—
летние травы
Многолетние травы	—	—	106
Подсолнечник	106	106	106
Кориандр	58	58	58
Итого	941	941	941

27	26
27	6
59	59
32	57
59	56
30	30
59	59
293	293
58	58
29	29
145	145
232	232
230	229
113	113
116	116
106	194
106	102
106	23
106	106
58	58
941	941

Сравнение показателей оптимальных планов, найденных по различным критериям оптимальности, приводится в таблице 150.

Данные таблицы свидетельствуют о том, что оптимальные планы, полученные по различным критериям в анализируемой задаче, способствуют росту стоимости валовой продукции и чис­того дохода по сравнению с традиционным проектом землеуст­ройства в среднем на 8—10% при улучшении противоэрозион-ной структуры посевов в севооборотах. Уменьшается коэффици­ент эрозионной опасности культур, увеличивается средневзве­шенное проективное покрытие.

Вместе с тем значения чистого дохода, учитывающие сто­имость питательных элементов в результате сокращения смыва почвы, изменяются не только в зависимости от критерия опти­мальности, но и от характера проявления эрозии. В условиях эрозии, вызываемой таянием снега, наибольший экономический эффект имеют севообороты, состав культур в которых определен

490

150. Сравнение результатов вычислений с проектными данными (в сопоставимых ценах 1983 г.)

	На год земле­устройства	По проекту землеустрой­ства	По	различным критериям оптимальности
Показатели			Максимум валовой	Максимум чистого	Максимум проективного	Минимум коэффициента эрозионной опасности	В субопти­мальном плане
			продукции	додхода	покрытия
1. Стоимость валовой про-	278,5	364,5	402,2	402,1	395,4	397,1	400,8
дукции, тыс. руб.
В том числе на 1 га пашни,	190	248	274	274	269	271	273
руб.
К данным проекта, %	76,7	100	ПО	ПО	108	109	ПО
2. Чистый доход, тыс. руб.	61,3	164,0	180,9	181,0	177,9	178,7	180,4
В том числе на 1 га пашни,	42	111	123	124	121	121	123
руб.
К данным проекта, %	37,8	100	109	ПО	108	108	109
3. Проективное покрытие, %	47,3	50,6	51,2	52,1	55,0	53,2	52,7
К данным проекта, %	97	100	101	103	109	105	104
4. Коэффициент эрозион-
ной опасности культур:
в полевом севообороте	0,54	0,53	0,49	0,49	0,52	0,44	0,47
в кормовом севообороте	—	0,63	0,63	0,63	0,67	0,54	0,62
в почвозащитном сево-	—	0,17	0,17	0,17	0,17	0,17	0,17
обороте
5. Коэффициент эрозионной
опасности с учетом рельефа:
в полевом севообороте	0,27	0,26	0,23	0,23	0,25	0,21	0,22
в кормовом севообороте	—	0,11	0,11	0,11	0,12	0,09	0,11
в почвозащитном сево-	—	0,12	0,13	0,12	0,12	0,12	0,12
обороте
6. Стоимость питательных	0	2,9	7,0	7,5	3,8	12,0	9,4
элементов в результате со-
кращения смыва в период
снеготаяния, тыс. руб.
В том числе на 1 га пашни,	0	2,0	4,9	5,1	2,7	8,1	6,4

^О руб.

Продолжение

Максимум

валовой продукции

Показатели

На год земле­устройства

По проекту землеустрой­ства

По различным критериям оптимальности

Максимум чистого додхода

Максимум

проективного

покрытия

Минимум

коэффициента

эрозионной

опасности

В субопти­мальном плане

7. Эффективность введения севооборотов в условиях весеннего снеготаяния (стр. 2 + стр. 6), руб. на 1 га Разница по отношению

к лучшему варианту, руб

8. Стоимость питательных элементов в результате сокращения смыва в период ливней, тыс. руб.

В том числе на 1 га пашни, руб.

9. Эффективность введения севооборотов в условиях лив­ невой эрозии (стр. 2 + стр. 8), руб. на 1 га

Разница по сравнению с луч­шим вариантом, руб. на 1 га

10. Эффективность введения севооборотов в условиях одновременного проявления ливневой и паводковой эро­ зии, руб. на 1 га

Разница по сравнению с луч­шим вариантом, руб. на 1 га

113

-16

4,7

3,3

114

-15 116

-15

128

5,7

3,8

127

-2 132

129

6,0

4,0

128

138

129

129

124

8,6

7,9

11,3

5,3

5,9

7,8

127

128

129

0 -2 -1

132 135 134

-3 0 -1

с использованием следующих критериев: минимума эрозионной опасности культур и максимума чистого дохода (129 руб. на 1 га пашни).

В условиях ливневой эрозии наибольший экономический эф­фект имеют севообороты, структура посевов в которых вычисле­на с использованием максимального проективного покрытия (129 руб. на 1 га пашни). В условиях одновременного проявления эрозии лучшие результаты дает критерий минимум коэффициен­та эрозионной опасности (135 руб. на 1 га).

Учитывая, что при вычислении по противоэрозионным кри­териям в оптимальный план вводят культуры, защищающие по­чвы от эрозии и дающие значительный эффект, такие планы можно рекомендовать для применения в условиях водной эрозии почв.

21.3. ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Дробно-линейные критерии оптимальности обусловливают появление еще одного класса задач математического программи­рования — дробно-линейного программирования.

В общем виде задача дробно-линейного программирования имеет следующий вид:

найти экстремум функции

п

2_х{х) 2₂(х)

— > шах (гшп)

п

при условиях Е^уХ/ <Ъ_и х;>0, 2₂{х)фЩ= 1,2,..., т),

У'=1

где 2_х{х) и 2,(х) — некоторые функции эффективности производства; а_/у —техни­ко-экономические коэффициенты модели.

Предполагается, что в области решений дробно-линейной за­дачи знаменатель функционала не обращается в нуль, а следова­тельно, сохраняет свой знак.

К такому виду приводятся задачи, в которых критерием опти­мальности служат себестоимость продукции, рентабельность производства, производительность труда.

В учебниках по экономико-математическим методам реко­мендуется следующий способ преобразования дробно-линейных задач в задачи линейного программирования.

493

Введем следующие обозначения:

*У 1

У]=-Т^—кУп+\= —

У=1 У=1

Следовательно,

*/' =

Уу

У/1+Г

Кроме того, в первом уравнении Е^-Уу = 1-

У=1

Разделив первое выражение на 2₂{х) и введя новое ограниче­ние Е^уУу⁼1' получим следующую задачу линейного програм­мирования:

п

найти экстремум функции Хс/Уу при условиях ^]~

^аЦУ1+^а12У2+- + ^а1пУп^^Ь[Уп₊Ь

а_т\У\ + а_т2Уг + - + «тЛ ^ Ь_ту„₊₁;

^У\+^2У2+- ^{+ с1}пУп=¹У

_У]>Ъ.

Оптимальное решение находят по соотношению

^х]

У]

Ун+1

Задачи с дробно-линейной целевой функцией по описанной методике решают с использованием обычных программ линей­ного программирования, что сводится к следующему:

в матрицу задачи вводят (и + 1)-й столбец, содержанием кото­рого являются свободные члены исходной системы, взятые с противоположными знаками;

столбец свободных членов матрицы исходной задачи заменя­ют нулями;

494

и

вводят дополнительное ограничение (равенство) ^(1;у;=\;

У=1 коэффициенты при переменных этого уравнения соответствуют коэффициентам знаменателя целевой функции, а свободный член равен 1;

задачу решают по программе симплексного метода линейного программирования, в результате чего определяют вектор У;

вычисляют вектор X, то есть оптимальный план, делением значений у на величину у„ + \ (по формуле x^■=у^:у_п+^) (Мате­матическое моделирование экономических процессов в сельс­ком хозяйстве/Под ред. А. М. Гатаулина. — М.: Агропромиздат, 1990.-С. 140).

Примеров решения землеустроительных задач, имеющих дробно-линейный характер, в научных работах по землеустрой­ству в настоящее время нет. Алгоритм данного метода рассмат­ривался только И. Ф. Полуниным на условном примере (Полу­нин И. Ф. Математическое программирование в землеустрой­стве. — Минск: Вышэйшая школа, 1972. — С. 81—84). Однако при развитии землеустроительных исследований в этом направ­лении применение дробно-линейного программирования может стать перспективным.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое критерий оптимальности задачи и целевая функция?

1. Опишите способы моделирования целевой функции.

1. Какие основные критерии оптимальности применяются при решении раз­личных оптимизационных задач в землеустройстве?

1. Как классифицируются критерии оптимальности?

1. Что такое субоптимальное решение?

1. Каковы методы определения субоптимальных решений?

7. Раскройте алгоритм нахождения субоптимального решения по способу И. Ф. Полунина.

8. Что такое дробно-линейное программирование и чем оно отличается от ли­нейного?