147. Вычисление значений ак1

		Оптимальные планы
Целевые функции	X,	^	X,	хг
1\	«11 «21	012 й22	«1/ а21	0\г а2г
1к	°к\	ак2	аш	акг
1г	ал	аЛ	аГ1	агг

Первый оптимальный план Х\ войдет в компромиссное ре­шение с коэффициентом Х_{; он привнесет с собой такую же долю относительного отклонения первого функционала от экстре­мального значения, то есть величину а_пХ\. Второй частный опти­мум Х2 будет включен в эффективный план с коэффициентом А.₂, относительное отклонение в нем первого критерия от своего экстремума войдет в эффективный план с той же долей Х₂ и со­ставит а₁₂Х₂. Продолжая рассуждения, получаем отклонение пер­вого критерия из-за третьего частного оптимума а₁₃\₃, из-за чет­вертого — а₁₄А.4 и т. д.

486

Сумму указанных величин будем считать относительным от­клонением V! первого критерия в компромиссном плане от его экстремального значения:

а_иХ\ + «12^2 + ... + С1}_ГХ_Г= V).

Аналогичное выражение можно составить для второго, третьего и всех последующих функционалов. В итоге получим систему

а*:1^) ⁺ а_к2Х₂ + ... + а_кг\_г = ч_ь к= 1, 2, ..., г.

В случае предпочтительности каких-либо критериев левая часть нужных уравнений умножается на соответствующий коэф­фициент.

Из приведенных выражений видно, что все отклонения м_к неотрицательны:

^>0,/с=1,2, ..., г.

Выберем из них наибольшее отклонение

тах м_к = V

и согласно сформулированному выше требованию будем его ми­нимизировать.

Целевая функция II но вой задачи имеет вид

11= тт (тах) у_к,

или

11= V -> тт.

Заменяя во всех уравнениях правые части наибольшим откло­нением V, приходим к системе нестрогих неравенств:

%)А,1 + а_к21₂ + - + а_кгХ_г<у, к=1,2, ..., г. г

Добавив условие ^Х_к=1, получаем следующую задачу линей-

ного программирования: найти минимум функции

Ш= V -> Ш

487

при ограничениях

апХ1+ап^2 + -	..+й]гХ/.-у<0
#21^1 +й22/^2 "*■	.. + (32ГХГ-У<С
ЯГ]Л| +0^2^-2 "'"•	..+о/.гЛ,г-у<0
Л| +Л2 +...+лг =	= 1
ХГ>0Д=1,2,...	г;у>0

Приведем пример задачи по установлению сочетания отрас­лей и структуры земельных угодий на одном из сельскохозяй­ственных предприятий, которая решалась по следующим четы­рем критериям оптимальности (максимумам):

чистого дохода;

производственных затрат;

валовой продукции;

товарной продукции.

На первом этапе решения задачи было получено четыре опти­мальных плана с перечнем переменных.

На втором этапе значения этих переменных поочередно под­ставлялись в каждую целевую функцию, в результате чего опре­делились 16 значений функционалов, на основании которых было вычислено 16 коэффициентов а_к1 (табл. 148).