Глава 21

КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

21.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

Выбор критерия оптимальности — один из наиболее важных и ответственных этапов моделирования. Даже при самой тщатель­ной постановке и математической формулировке землеустрои­тельной проектной задачи, обосновании системы переменных и условий, адекватно отражающих действительность, неудачно выбранный критерий оптимальности может привести к неудов-

474

летворительным решениям и исказить целевую установку проек­та землеустройства.

Возникновение понятия «критерий оптимальности» было обус­ловлено разработкой оптимизационных моделей, в которых зада­валось достижение экстремального (максимального или мини­мального) значения какого-то экономического результата. В этой связи требовалось не только качественно определить показатели экономической функции, но и аналитически выразить их в виде конкретной математической функции. Поэтому в теории модели­рования возникло такое понятие, как целевая функция.

Целевая функция (функционал, целевая установка, функция цели) — это аналитическая форма выражения критерия опти­мальности задачи.

В связи с тем что развитие экономико-математического моде­лирования в землеустройстве началось с постановки и решения частных задач по оптимизации трансформации угодий, проекти­рованию севооборотов, планированию структуры посевов и т.д., в качестве критериев оптимальности использовались простейшие показатели оценки эффективности (эффекта) землеустройства. При этом эффективность землеустройства сводилась к экономи­ческой эффективности развития сельскохозяйственного произ­водства на конкретных сельскохозяйственных предприятиях, а в качестве целевых установок задач применялись критерии:

максимизирующие валовую и товарную продукцию в сто­имостном и натуральном выражении, валовой, чистый доход, прибыль, рентабельность производства, производительность труда и др.;

минимизирующие приведенные затраты, затраты труда, мате­риально-денежных средств, некоторые виды ресурсов (пашни, кормов и т. д.), себестоимость продукции;

обусловленные порайонными особенностями землеустрой­ства (минимум коэффициента эрозионной опасности культур, максимум оленеемкости пастбищ, максимум проектного покры­тия почв растениями, минимум смыва почвы, максимум накоп­ления в почве органического вещества и т. д.), отображаемые, как правило, в натуральном или безразмерном выражении.

При математическом моделировании экономических процес­сов в целом по народному хозяйству выделяют так называемые глобальный, а также отраслевой и локальные критерии опти­мальности.

Глобальный критерий оптимальности — это критерий функци­онирования народного хозяйства как целостной экономической системы общества. В настоящее время проблема построения ко­личественного значения глобального критерия оптимальности как математической функции цели не решена.

Математики-экономисты выделяют две основные концепции при решении этой задачи:

475

глобальный критерий — это максимум совокупного обще­ственного продукта или важных его составных частей (нацио­нального дохода, фонда накопления, фонда потребления и т. д.);

глобальный критерий должен максимизировать благосостоя­ние общества (его материальные и духовные потребности).

Однако сторонники и противники концепций понимают, что выбрать и обосновать глобальный критерий оптимального функ­ционирования народнохозяйственной экономической системы формально, математическими методами невозможно. Это слож­ная социально-экономическая проблема.

Отраслевой критерий оптимальности характеризует эффектив­ность отрасли или определенной сферы деятельности, каковой и является землеустройство.

Любая отрасль или сфера деятельности как подсистема народ­нохозяйственного комплекса имеет иерархическую структуру, элементы которой обладают определенной самостоятельностью, специфичностью, локальными целями, поэтому отраслевые кри­терии оптимальности могут реализовываться через локальные критерии оптимальности.

Экономические процессы, направленные на решение частных технико-экономических задач в землеустройстве, преследуют конкретные цели и оптимизируются с помощью частных крите­риев оптимальности, подчиняющихся требованиям локальных критериев.

Проблема эффективности землеустройства более подробно рассматривается в курсе «Экономика землеустройства».

В общем виде целевая функция линейной оптимизационной задачи записывается так:

я

2~Р(х)= ХсуХу-»тах(пип)

У = 1

или в расширенной постановке

Г(х) = С|Х) + с₂х₂ + ... + с„х„ —> тах (тш),

где с, — коэффициент целевой функции при переменных величинах; значение с,-в данной постановке должно быть известно.

Если задача предполагает определение оптимального плана, в котором за счет имеющихся производственных ресурсов должно быть произведено максимальное количество валовой продукции, то коэффициентами в целевой функции с^ будет стоимость вало­вой продукции, полученной в расчете на единицу принятой раз­мерности для переменных величин. Оптимальное решение сис­темы обеспечит достижение максимально возможного значения избранного показателя решения задачи, то есть максимума про­изводства валовой продукции в стоимостном выражении.

476

Таким же образом в качестве с,- могут использоваться извест­ные, рассчитанные заранее значения стоимости товарной про­дукции, валового или чистого дохода и т. д., что соответствует та­ким критериям оптимальности, как максимум стоимости товар­ной продукции, максимум валового дохода, максимум чистого дохода. То есть коэффициенты с* могут иметь как прямой харак­тер, например стоимость валовой продукции, так и быть расчет­ными (производными) величинами. Такими будут коэффициен­ты при решении экономико-математической задачи с целевыми функциями по максимуму прибыли (где с, — прибыль, получен­ная в расчете на единицу размерности, принятой по объекту, обозначенному х,), минимуму приведенных затрат (где с,- рассчи­тывается как $ + ЕК/, $ — себестоимость продукции по у'-й пере­менной; 2?—нормативный коэффициент эффективности капи­таловложений; А} —удельные капиталовложения на единицу раз­мерности, принятой по переменной х_у).

В последнее время для решения землеустроительных задач, имеющих природоохранный характер, используют и такой кри­терий оптимальности, как максимум чистого дохода в расчете на единицу приведенных затрат по каждой конкретной переменной Ху Тогда значение с_у- рассчитывают по следующей формуле:

с-=—^ ^{1 5}^^ЕК/

где Р/ — чистый доход по/-му объекту.

Многие землеустроительные задачи решаются по комбиниро­ванным (смешанным) критериям оптимальности, то есть по та­ким, которые предполагают вычисление целевой функции в про­цессе решения задачи.

Например, значение чистого дохода может вычисляться и так:

п Р(х)= X С'Х;-х₍;->тах,

где с₇ — стоимость валовой продукции на единицу вводимой переменной; х-, — сум­ марные производственные затраты (вычисляются в процессе решения задачи, ис­ ходя из ограничения ^ 5 ос,--:*,■ = 0, где 5) — себестоимость продукции на единицу переменной). ■'⁼¹

В целевую функцию значение х-, вводится с коэффициентом (—1). Таким образом, первая часть функционала представляет со­бой стоимость валовой продукции, вторая — производственные затраты, а все вместе — чистый доход, который и максимизиру­ется.

477

В ряде случаев используют критерии оптимальности, в кото­рых целевая функция имеет дробно-линейный вид. В числе таких критериев производительность труда и т. д. Так, в качестве оцен­ки переменных величин при названных критериях будет дробь

С -X ■

./ ./_; а общая величина показателя качества решения задачи бу-

й:Х; '

дет определена как —_п , которая должна достичь макси­ му*/

У = 1

мального значения.

Решения, которые учитывают одновременно действие несколь­ких критериев оптимальности, называются субоптимальными.

При решении землеустроительных задач могут применяться и другие критерии оптимальности. Например, при оптимизации структуры посевных площадей в районах водной эрозии почв предлагалось использовать такие критерии оптимальности, как минимальный суммарный коэффициент эрозионной опасности культур (в условиях эрозии, вызываемой весенним снеготаяни­ем), а также максимум проективного покрытия почв растениями (в условиях ливневой эрозии).

Рассмотрим, как строится целевая функция с использованием первого критерия оптимальности.

Обозначим коэффициент эрозионной опасности культур че­рез К_к. Известно, что для зяби (пара) К_к~\, для пропашных культур 0,7—0,85, для яровых зерновых 0,4—0,6, для озимых 0,3, для многолетних трав 0,01—0,06 в зависимости от года использо­вания.

Данные коэффициенты соответствуют участкам с крутизной склона от 3° до 8° (в среднем 6°). На ровной местности опасность смыва при любом составе культур близка к 0. Поэтому в К_к вво­дится поправка 8_Ь учитывающая крутизну склона:

где ^ — коэффициент эрозионной опасности с учетом рельефа местности; Гт — средняя крутизна склона по севообороту.

Опасность эрозионного разрушения зависит также от проти-воэрозионной устойчивости почв, поэтому в К_к1 вводится по­правка 8₂, учитывающая устойчивость почв к смыву:

где К_п = 5₂ — коэффициент, учитывающий противоэрозионную устойчивость почв.

478

При известных площадях пашни или севооборотов значение Су в целевой функции выглядит следующим образом:

_ К_к5ф₂

■V

где Р/— площадь пашни или севооборота.

Целевая функция примет вид

/=1у=1 /=1у=1 ^

Для удобства вычисления значений А* умножают на 10 000. Для сахарной свеклы (А* =0,85), выращиваемой в полевом сево­обороте площадью Р= 1000 га, со средней крутизной склона

3 3°5]=-=0,5 при противоэрозионной устойчивости почв К_п =

о = 8₂ = 2 значение сд определится следующим образом:

_0,85-0,5-2-10000 ^св 1000

Для многолетних трав в том же севообороте

0,03-0,5-210000

^смн.трав- ^₀д -^и>->-

При решении задач на максимум с использованием коэффи­циента эрозионной опасности культур значение целевой функ­ции будет выглядеть следующим образом:

/=1у=1

5 п (\-{К_к\Ьфу

V Ъ

Ху—>тах.

Почвозащитное значение сельскохозяйственных культур в пе­риод ливневых дождей сказывается иначе, чем в период снегота­яния. В этом случае значительную роль играют пропашные куль­туры (особенно в период сентябрьских ливней) и многолетние травы, образующие растительный полог, хорошо защищающий почву от эрозии. Поэтому в условиях ливневого стока в качестве критерия оптимальности целесообразно использовать максимум проективного покрытия.

479

Обозначим проективное покрытие культур в 1-й месяц вегета­ции через а. Средневзвешенное проективное покрытие /-и куль­туры будет определяться по формуле

** = —'

где /—число месяцев вегетационного периода.

Функция цели будет выглядеть следующим образом: 8 п 8 п а,-

где Р— площадь пашни.

Значение с_/у- для пропашных культур при площади пашни 1000 га и значениях проективного покрытия в мае 5%, июне— 20, июле — 50, августе — 80, сентябре — 100 % определяется так:

5+20+50+80+100 255 .,„ а,/= =——=51%.

21.2. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

Известно, что при землеустроительном проектировании ре­шают многие вопросы. Во-первых, оптимизируется размещение объектов производственной и социальной инфраструктуры хо­зяйств; во-вторых, устанавливаются объемы производства сельс­кохозяйственной продукции, сочетание отраслей на предприяти­ях и размещение производства с учетом особенностей землеуст-раиваемой территории; в-третьих, определяются основные на­правления использования земель и организуется земельная площадь сельскохозяйственных предприятий. Поэтому составле­ние землеустроительного проекта — многоцелевая задача.

Правильно составленный и экономически обоснованный проект землеустройства должен обеспечивать получение макси­мального количества валовой и товарной продукции, прибыли, способствовать снижению (минимизации) издержек производ­ства, обеспечивать высокую производительность труда, низкую себестоимость продукции, а также создавать условия для посто­янного повышения плодородия почв.

Качество проекта землеустройства оценивается по многим по­казателям. Поэтому проектное предложение, получаемое в ре-

480

зультате оптимизации только по одному критерию, может ока­заться нелучшим. Использование других критериев оптимально­сти в отдельности создает аналогичную ситуацию, так как в каж­дом оптимальном плане значение выбранного в качестве целевой функции показателя экстремальное, а значения других —хуже, чем могли бы быть.

Известны примеры, когда план, максимизирующий объемы товарной продукции в стоимостном выражении, дает наиболь­шие издержки производства и, как следствие, наименьший чис­тый доход. В то же время план, максимизирующий чистый доход, может значительно снизить объем товарной или валовой продук­ции. Поэтому оба этих плана могут быть непригодны при состав­лении проекта землеустройства в реальной экономической ситу­ации.

В связи с этим возникает задача поиска такого решения, кото­рое было бы наилучшим (компромиссным) по выполнению всех критериев оптимальности. В теории экономико-математических методов и моделирования такое решение называется субопти­мальным.

Таким образом, субоптимальиое решение — это план, который учитывает одновременно действие всех критериев оптимальнос­ти данной задачи и отражает все реально поставленные условия, то есть субоптимальный план является или может быть неопти­мальным по каждому отдельно взятому критерию, но должен быть наилучшим с точки зрения выполнения всех критериев од­новременно (рис. 30).

В общей модели проекта землеустройства система ограниче­ний представлена линейными неравенствами и уравнениями, выделяющими в евклидовом «-мерном пространстве некоторый

А Область тимыхр		Максимум дохода
		допус- ^•**У*~^
		*\ • ^\
		>ч Субоптимальный тк план \	}§ Максимум валовой '\ продукции
	.	Ф Эмпирический ^ЯЛ план ^>^"^ 1111 0-'^
Минш затрс	11П		►

Рис. 30. Геометрическая интерпретация многокритериальных землеустроительных

задач

481

выпуклый многогранник. Величина этого многогранника сильно влияет на точность планов, полученных разными способами.

Если многогранник мал, любое допустимое решение будет близко по своему экономическому эффекту к оптимальному. В этом случае поиск субоптимального решения необязателен.

Если многогранник вырождается в точку, то план, найденный любым способом, будет оптимальным, поскольку он в задаче единственный.

В случае, если многогранник допустимых решений имеет зна­чительные размеры, произвольный допустимый план, например полученный традиционными методами (эмпирический), может отличаться от оптимального по любому критерию весьма суще­ственно. Будет он отличаться и от субоптимального плана.

При отыскании минимума целевой функции с положительны­ми коэффициентами при неизвестных оптимум получается в вершине, достаточно близкой к началу координат, при нахожде­нии максимума — в наиболее удаленной вершине. Точка, соот­ветствующая субоптимальному плану, располагается в области допустимых решений где-то между минимальной и максималь­ной вершинами в зависимости от значимости критериев.

Учитывая это, для поиска субоптимальных решений были предложены методы, учитывающие различную предпочтитель­ность критериев оптимальности: последовательных уступок, штрафных функций, равных и наименьших относительных от­клонений, линейного мультипрограммирования, выпуклой ком­бинации. Обзор этих методов дан в научной работе А. М. Они-щенко (Критерии оптимизации сельскохозяйственного произ­водства и методы нахождения наиболее эффективных планов по нескольким критериям. — Киев, 1970), а также в учебнике про­фессора А. М. Гатаулина (Математическое моделирование эко­номических процессов в сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Га­таулина. — М.: Агропромиздат, 1990. — С. 134—139).

Получение субоптимальных планов в экономике называют еще решением многокритериальных задач, многоцелевой опти­мизацией или решением задач с векторным критерием качества.

Исследования показали, что при решении таких задач необхо­димы:

обоснование набора (перечня) критериев, подлежащих рас­смотрению в данной модели;

оценка относительной предпочтительности критериев или по­строение некоторой шкалы предпочтительности;

определение условий возможного компромисса (выбор схемы компромисса) и обоснование метода нахождения компромиссно­го варианта решения (выбор схемы расчета обобщенного крите­рия).

Набор (перечень) возможных критериев определяется характе­ром исследуемого экономического процесса и устанавливается

482

на основе логического анализа. На практике редко встречаются задачи, когда необходимо одновременно рассматривать более трех-четырех критериев.

При оценке предпочтительности различных критериев опти­мальности землеустроительных задач с использованием эксперт­ных оценок можно построить специальную шкалу. В шкале усло­вия предпочтительности могут быть выражены в баллах оценки каждого к-то критерия из некоторого множества ^ или в виде не-

5 которых весовых коэффициентов р_к; при р_к > О ^р_к=1.

к=\

При невозможности установить шкалу предпочтительности исходят из предположения экономической равнозначности кри­териев, и их ранжирование не производится:

р_к=±(к=1,2,...,5).

Условия возможного компромисса определяют путем:

минимизации относительных отклонений от оптимальных значений по всем рассматриваемым критериям;

фиксирования одного из критериев на некотором заданном уровне и оптимизации по следующему критерию и т. д.

В соответствии с различными условиями компромисса разра­ботаны методы нахождения многокритериальных компромис­сных или субоптимальных решений.

Метод последовательных уступок состоит в отыскивании опти­мума наиболее предпочтительного критерия, затем экстремаль­ная величина уменьшается (или увеличивается) посредством вве­дения в задачу нового ограничения. В расширенной задаче нахо­дится экстремум второго критерия, после чего вводится допол­нительное ограничение на его величину (делается вторая уступка). В новой задаче оптимизируется третий критерий и т. д., пока все критерии не будут использованы. Метод обладает тем недостатком, что степень приближения окончательного решения к каждому отдельному оптимуму, кроме первого, остается нео­пределенной, и решение может оказаться ближе к экстремуму по менее важному критерию.

Метод штрафных функций заключается в том, что к основному критерию прибавляются некоторые специальные функции, сформулированные по остальным критериям. Эти так называе­мые штрафные функции ухудшают значение функционала тем больше, чем больше отклоняются от своих экстремальных значе­ний учитываемые ими показатели. Решив задачу по новому кри­терию, получим субоптимальный план.

Если связать два критерия в одной целевой функции посред-

483

ством некоторого параметра, то компромиссный план может быть найден путем решения задачи параметрического програм­мирования. Иногда оказывается возможным по тем же исходным данным составить дробно-линейный критерий, который также оптимизируется. Из полученной совокупности оптимальных пла­нов выбирают наилучший по выполнению всех трех критериев. (Применение математических методов при внутрихозяйственном землеустройстве. Заключительный отчет ГИЗР. —Б. Вяземы, 1975.-С. 159-160).

Метод равных и наименьших относительных отклонений, пред­ложенный И. Ныковским (Польша), состоит в следующем. Ис­ходная задача решается по каждому критерию отдельно, для всех критериев вычисляют экстремальные значения. После этого ста­вится требование, чтобы компромиссному плану соответствова­ли равные и минимальные относительные отклонения всех кри­териев от своих экстремальных значений. Равенство отклонений обеспечивается дополнительными ограничениями, вводимыми в задачу, минимизация — новой целевой функцией. Предпочти­тельность критериев можно учесть путем введения поправочных коэффициентов. Решение такой «замещающей» задачи дает ком­промиссный план.

Способ линейного мультипрограммирования, разработанный чешским ученым И. Саской, по характеру математических опера­ций лучше назвать способом минимакса. После отыскания опти­мума для каждого рассматриваемого критерия в многограннике решений определяется точка, максимальное удаление которой от всех гиперплоскостей, соответствующих экстремальным значе­ниям функционалов, было бы минимально. Эта точка и считает­ся субоптимальной (Математическое моделирование экономи­ческих процессов в сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Гатаули-на. — М.: Агропромиздат, 1990. — С. 136—137).

По методу выпуклой комбинации, предложенному немецким исследователем X. Юттлером, сначала отыскивают оптимальные планы по каждому критерию, а затем составляют их выпуклую линейную комбинацию, коэффициенты которой определяют из решения дополнительной задачи (Юттлер X. Линейная модель с несколькими целевыми функциями// Экономика и математичес­кие методы, 1967. — № 3).

Рассмотренные методы разработаны для решения только ли­нейных задач. Однако общая модель землеустроительного проек­та, в которую целесообразно включение нескольких функциона­лов, содержит задачу размещения производственных центров, вызывающую разрыв почти всех целевых функций. Кроме того, некоторые важнейшие экономические показатели (например, рентабельность) имеют дробно-линейную структуру. Поэтому в Государственном научно-исследовательском институте земель­ных ресурсов (ГИЗР) на основе метода выпуклой комбинации в

484

1970—1975гг. И.Ф.Полуниным был разработан и апробирован для землеустроительных задач специальный способ получения субоптимальных решений без привлечений теории игр, как это имело место у X. Юттлера (Полунин И. Ф. Субоптимальные ре­шения при обосновании землеустроительных проектов. — В сб.: Вопросы землепользования и землеустройства. Научные труды ГИЗР. - М., 1974. - № 10. - С. 56-63).

Рассмотрим порядок применения этого метода для решения землеустроительных задач.

Пусть требуется найти максимум (минимум) г показателей:

Ъс⁼Рк(Х1, ^х2, ■■; ^х„), к=\,2, ..., Г

при условиях

Мх[,х₂, ..., х„)>0, /= 1, 2, ..., т.

Решим задачу отдельно по каждому критерию и вычислим со­ответствующие оптимальные планы:

Х[(хр,_хр,...,х1Р), /=1,2, ...,г.

Будем считать компромиссным планом вектор Х₀(Х[,х₂,...,х®),

являющийся выпуклой линейной комбинацией найденных опти­мальных решений:

Х§-Х\Х\ +Х2Х2 + ---+Х_ГХ_Г',

ЪМ=1, \_к>0,к = 1,2,...,г.

к = \

Если область определения исходной задачи выпуклая, то та­кой план всегда окажется допустимым. Следовательно, данная задача заключается в определении значений X.

Используя значения X, можно вычислить все переменные суб­оптимального плана следующим образом:

х?=Х₁х1¹⁾+Х₂х[²⁾ + ...+Х_гх1^г) _х^=Х₁х^⁾+Х₂х^⁾ + ...+Х_гх^{₂^г)

х®=Х_{х^+Х₂х^ + ...+Х_гх^

Коэффициенты Х_к выпуклой комбинации И. Ф. Полунин

485

предложил определить, исходя из условия минимума наибольше­го относительного отклонения величины каждого критерия в компромиссном плане от его экстремального значения. Для это­го предлагалось использовать следующий путь. Подставим каж­дый оптимальный план Х[ в каждую целевую функцию г_к. Полу­чим численные значения функционалов:

4/=^(*Л ^к= Ь ²> -■->^г' ¹⁼¹>²> ■■■>^г>

которые при к=1 будут экстремальными. Вычислим коэффициенты а_ш по формуле

^акГ

*№)-*№)

*№>

1к1-1кк

1кк

к=\,2,...,г, /=1,2,..., г.

Они представляют собой модули относительных отклонений величин критериев в разных оптимальных планах от их экстре­мальных значений. При к = 1 имеем а_кк=ац=0. Все коэффици­енты сведены в таблицу 147.