136. Вероятностный и детерминированный планы

Показатель

Вероятностный план

Детерминированный план

Переменные величины

х{ — картофель	10,31	22,14
х2 — зерно	26,75	0
хъ — мясо	2,68	11,62
х4 — осенняя капуста	32,35	57,54
Вектор цен
у\ — земля (период 1)	0	0
у2 — (период 2)	32,93	34,72
у3 — капитал (период 1)	65,96	94,01
у4 — (период 2)	0	0
у5 — (период 3)	0	0
Уб — трудовые ресурсы (период 1)	0	0
у1 — (период 2)	0	0
у8 — (период 3)	0	6,10
Ожидаемое значение дохода, долл.	7209	9131
Среднее квадратическое отклонение	2195	4225

Из таблицы видно, что при учете вероятностного характера вектора выпуска х ожидаемый чистый доход уменьшается по сравнению с детерминированным аналогом примерно на 20 %, но возрастает гарантия получения этого дохода. Коэффициент вариации для вероятностной модели К_{в в} = 30,4%, для детер­минированной У_ЯВ=46,2 %. Очевидно, что для собственника земли лучше иметь меньший, но устойчивый доход, что обеспе­чит стабильность производства и его гарантированную эффек­тивность.

Классификация задач и методов стохастического программиро­вания. В настоящее время разработано большое число матема­тических моделей задач стохастического программирования, что требует их классификации. В агроэкономических исследо­ваниях наиболее распространенной является классификация стохастических оптимизационных моделей, разработанная Ю. И. Копенкиным, которая не претерпела существенных из­менений с середины 70-х годов до настоящего времени (Крав-

412

ченко Р. Г. Математическое моделирование экономических про­цессов в сельском хозяйстве. — М.: Колос, 1978. — С. 407—411; Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Гатаулина. — М.: Агропром-издат, 1990.-С. 384-389).

Согласно этой классификации стохастические модели задач делятся на два основных класса: одноэтапные и двухэтапные.

Одноэтапные задачи характеризуются тем, что принимается только одно решение (априорное), которое затем не корректиру­ется. Это решение имеет вид детерминированного вектора:

х = (хь х₂, ..., х„).

Оно не поддается корректировке при уточнении производ­ственной ситуации. Например, априорным (предварительным) может быть решение, которое получают при усредненных значе­ниях случайных параметров.

Двухэтапные задачи основаны на применении двух последова­тельно получаемых решений. На первом этапе определяется ап­риорное (предварительное) решение, которое уточняется на вто­ром этапе в зависимости от изменения параметров случайных ус­ловий производства (исходов).

Решение, получаемое на втором этапе, называется апостери­орным. В моделях эти решения имеют вид стохастического век­тора у_г = (у\_г, У2г, Укг)> применяемого с вероятностью р_п где г— номер исходов (реализации случайных условий, г= 1, 2, ..., Л).

Термин «двухэтапная задача» имеет условный характер, так как разделение на этапы относится лишь к ее постановке. С точ­ки зрения математического программирования это единственная задача, включающая одновременно переменные двух этапов, объединенные единой целевой функцией и системой ограниче­ний.

В настоящее время выделяют следующие постановки одно-этапных задач стохастического программирования.

1. Примитивная постановка задачи заключается в определении оптимального плана на основе решения обычной детерминированной задачи линейного программирования, коэф­фициенты которой рассчитаны путем усреднения случайных па­раметров и считаются условно детерминированными.

Если случайным является только вектор (О-коэффициентов целевой функции, то для решения задачи достаточно заменить

коэффициенты с,- их средними значениями су. Тогда целевая функция задачи примет вид

Р(х)=М{Сх)=М(Сх)-> тах,

где М— символ математического ожидания эффекта.

413

2. Жесткая постановка задачи требует, чтобы при любых конкретных реализациях (исходах) случайных параметров выполнялись все ограничения, то есть

А_гх <Д.для всех ге Я; х>0;

Р{х)=Сх-^тзх,

где г — индекс возможной реализации (исхода) случайных параметров задачи; К — множество значений г, С — вектор средних значений целевой функции.

Таким образом, решение одноэтапной стохастической задачи сводится к решению громоздкой детерминированной задачи ли­нейного программирования при условиях:

А_{х<В_у А₂х<В₂

Арс< В_г

А^х < 5дг х>0

и целевой функции Р(х)=Сх->тах,

где г — номер возможной комбинации значений А и В, появляющихся с некоторой вероятностью (г= 1, 2, ..., Л^.

Исходя из этого следует, что решение данной задачи в стохас­тической постановке может быть сведено к задаче линейного программирования с «пессимистическими» значениями, то есть наихудшими величинами параметров технико- экономических коэффициентов и объемов ограничений.

Жесткая постановка должна применяться тогда, когда нужно исключить риск. Этого требуют ситуации, когда выполнение хотя бы одного из ограничений задачи приводит к катастрофическим последствиям (например, к разорению и ликвидации сельскохо­зяйственного предприятия).

3. Вероятностная постановка задачи (с вероятностными ограничениями) — вероятность выполнения /-го

ограничения должна быть не менее заданной величины й}'', то есть:

^г0

^ауХ_]<Ь₁

и⁼¹

>А^(/\0<А^(/)<1, /=1,2 /я.

Задача с вероятностными ограничениями обычно решается для ситуаций, когда случайным является вектор В, а матрица А и вектор С — детерминированы.

414

Эта задача может быть также сведена к детерминированной задаче линейного программирования следующего вида:.

Р(х)=Сх-^тах, Ах<В, х>0.

Элемент случайного вектора В=Ь^1=1,2,...,т) вычисляют по уравнению вида

Ь; где ф/(6,) — плотность распределения случайной величины Ь₁.

Если Р^-\, данная постановка переходит в жесткую.

Методы постановки двухэтапных задач стохастического про­граммирования делятся на непрямые и прямые.

Непрямыми методами стараются свести зависимость Р(х, со), где со —вероятностный элемент, к зависимости Р(х), а затем применить один из известных методов математического программирования. Иными словами, стохастическую задачу сво­дят к ее детерминированному аналогу, а последний решают изве­стными методами линейного или нелинейного программирова­ния.

К прямым методам относят методы, основанные на ин­формации только о функции Р(х, со): методы стохастической ап­проксимации, проектирования стохастических квазиградиентов и др. (Ермольев Ю. М. Стохастические модели и методы оптими­заций. — Киев: Кибернетика, 1974. — № 4).

Рассмотрим рекомендуемые непрямые приемы сведения двухэтапных стохастических задач к задачам линейного про­граммирования (Копенкин Ю. И. Стохастические задачи мате­матического программирования. — В кн.: Математическое мо­делирование экономических процессов в сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Гатаулина. — М.: Агропромиздат, 1990. — С. 388—389).

1. Если случайным является вектор В (свободные члены ограничений Ь_ь обозначающие наличие ресурсов), а матрица А детерминированная, то двухэтапная стохастическая поста­новка допускает возникновение невязок в ограничениях (не­хватку ресурсов) при отдельных исходах, однако им соответ­ствует определенный штраф, который вычитается из целевой функции. Задача линейного программирования при этом имеет вид

415

Ах -В^

Ах +Ду1 =5₁

Ах +ДУ2 =^2

Ах +Оух=Вх

х>0, _У1>0, ..., у_м>0 Р{х,у) = Сх + р₁уу₁ + р₂уу₂ + ... + р_муу_м,

где х = {х\, х₂, ..., х„) — вектор основных переменных (управляющих переменных первого этапа); у_г = {у_Хп у_2г, ..., у_тг] — вектор вспомогательных переменных (управ­ляющих переменных второго этапа), обозначающих невязки в /-м ограничении при г-м исходе (/- = 1, 2, ..., ЛО; В_г = {Ь_1п Ь_2п ..., Ь_тг) — вектор свободных членов ограни­чений, обозначающих наличие /-го ресурса при г-м исходе (г = 1, 2, ..., ЛО; А — мат­рица размерностью тп неизменяющихся технико-экономических коэффициентов ау, обозначающих затраты /-го ресурса за единицу у-го вида деятельности; О — вспомогательная матрица, элементы которой служат для ввода в ограничения невя­зок (например, диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны —1); У ⁼ (Уь Уъ —, У_т} — вектор, элементами которого являются размеры штрафа за единицу невязки по /-му ресурсу; р_г — вероятность /--го исхода (г = 1, 2, ..., Л); С= {с_и с₂,.,., с„] — вектор коэффициентов целевой функции; блок Ах = В₀ предназ­начен для отображения всех условий, не зависящих от случайностей.

2. Если случайной является матрица А технико-экономичес­ких коэффициентов ау, обозначающих размеры затрат ресурсов и выход продукции на единицу ./-го вида деятельности, а вектор В детерминированный, то соответствующая задача линейного про­граммирования также имеет блочную структуру:

Аох = В₀

А\Х+ А^1 = В\ }

А₂х + Б₂у₂ = В₂

А_мх+ 0мун= В_м

х>0, у,>0, ...,ук>0

Дх, У) = СХ + ряу_{ +р₂т + ...+Р№м,

где х = [х_ь х_ъ ..., х_п) — вектор управляющих переменных первого этапа; у_г= {у_1п у_2п •••> Утг) — вектор управляющих переменных второго этапа, соответствующих г-му исходу (г=1, 2, .,., Л⁷); А\, А₂, ..., Ац— матрицы {тп) технико-экономических коэф­фициентов, соответствующие возможным исходам; О_ь Л, ..., ^—вспомогатель­ные матрицы технико-экономических коэффициентов, необходимые для отобра­жения связи управляющих переменных г-го исхода с управляющими переменными первого этапа; В = {й_ь Ь₂, ..., Ь_т] — вектор неизменяющихся свободных членов ог­раничений; С= {с,, с₂,..., с„} — вектор коэффициентов целевой функции при пере­менных первого этапа; у = {у_ь у₂, ..., у} — вектор коэффициентов целевой функции при переменных второго этапа; д. — вероятность г-го исхода (г=\, 2, ..., IV).

Блок Л(>х:=5₀ предназначен для отображения всех условий, не зависящих от случайностей.

416

Второй случай имеет большое значение для тех стохастичес­ких землеустроительных моделей, технико-экономические ко­эффициенты которых связаны с урожайностью сельскохозяй­ственных культур, обусловливающей случайный характер мат­рицы А. К этим моделям относятся задачи оптимизации транс­формации земель, определения оптимального сочетания отраслей и структуры земельных угодий, соотношения орошае­мых и богарных земель и т. д. Элементы вектора В в таких зада­чах могут рассматриваться в большинстве случаев как детерми­нированные величины (площади сельскохозяйственных угодий, трудовые ресурсы, планы производства и реализации продук­ции). Эти элементы не зависят от конкретных результатов года по урожайности.

Если случайный характер имеют одновременно параметры матрицы А и вектора В, то задачу линейного программирования можно построить путем комбинирования описанных выше при­емов.

В агроэкономических исследованиях рекомендуется исполь­зовать определенные критерии оптимальности для решения за­дач стохастического программирования. Эти же критерии могут применяться и для поиска оптимальных планов в землеустрои­тельных задачах. В качестве основных целевых функций (крите­риев) могут быть использованы следующие.

1. Максимум или минимум математического ожидания эф­ фекта:

р(х) = М{Сх) -> тах (тт),

где М— символ математического ожидания.

При этом дисперсия эффекта не учитывается. Данный крите­рий соответствует задачам, в которых критерием оптимальности является максимум стоимости валовой и товарной продукции, максимум прибыли и т. д. В стохастических задачах показателями качества решения будут соответственно математические ожида­ния названных величин. Этот критерий является наиболее рас­пространенным.

2. Минимум дисперсии эффекта:

ДСх)=1>

г „ л ЕС/*/

->тт.

Задача сводится к выбору такого плана, при котором дис­персия эффекта будет минимальной. Для многих землеустро-

417

ительных задач уменьшение колеблемости результативного показателя весьма важно. Например, желательно выбирать та­кой план кормопроизводства, при котором колеблемость (дис­персия) объема производимых кормов является минимальной. При использовании этого критерия оптимальности устанавли­вают некоторое пороговое значение математического ожида­ния эффекта т₀, условие достижения которого вводится в мо­дель в качестве ограничения. В этом случае требуется опреде­лить

1шп ДСх) при М(Сх) > т₀.

Пороговое значение устанавливается на основе соответствую­щих нормативов, плановых заданий и т. д.

3. Линейная комбинация математического ожидания и дис­ персии линейной формы:

Сх-АхДх-> тах,

где Л — штраф за единицу дисперсии; й — квадратичная матрица, элементами ко­торой являются дисперсия и ковариация, например выходов продукции с 1 га по культурам; Зс —транспонированный вектор х переменных задач.

При использовании данного критерия трудно объективно оценить влияние дисперсии на выбор плана, то есть определить размер штрафа за дисперсию.

4. Максимальная вероятность превышения некоторого фик­ сированного значения эффекта:

Р(Сх> К) -» тах,

где К— заданное пороговое значение эффекта, превышение которого желательно.

Примерами могут служить сведения к максимуму вероятности того, что прибыль будет не менее заданного значения К или объем произведенной продукции заданного вида будет не менее необходимой потребности.

Таким образом, из всего многообразия постановок задач сто­хастического программирования необходимо выбрать ту, которая в наибольшей степени соответствует характеру и цели исследова­ния.

Стохастическое моделирование оптимального соотношения пло­щадей озимых и яровых зерновых культур (одноэтапная модель).

Постановка задачи. Задача определения оптимального соотно­шения площадей озимых и яровых зерновых культур в агрономи­ческой науке является классической. Это объясняется тем, что озимые зерновые культуры в большинстве районов являются бо-

418

лее урожайными, чем яровые. Однако вероятность того, что ози­мые погибнут или дадут небольшой урожай вследствие замороз­ков или вымокания посевов весной, очень велика. Заменять их менее урожайными яровыми культурами часто невыгодно, так как для ряда культур (прежде всего пропашных) яровые являются менее предпочтительным предшественником и реализуются на рынке по более низким ценам, что дает хозяйству меньший до­ход.

В связи с этим определение оптимального соотношения пло­щадей озимых и яровых зерновых культур — важная задача, в ходе решения которой с учетом стохастических характеристик урожайности культур необходимо получить максимальную вы­году.

Математическая формулировка задачи. Примем, что в данной задаче вероятностный характер имеют коэффициенты целевой функции — вектора с линейной формы и вектора Ь — свободных членов ограничений.

Будем считать матрицу технико-экономических коэффициен­тов а детерминированной.

Математическую формулировку данной одноэтапной задачи рассмотрим на примере ее постановки, данной в Государствен­ном научно-исследовательском институте земельных ресурсов Т. Я. Перингером и И.Ф.Полуниным (Стохастическое модели­рование размещения посевов озимых и яровых культур. Научный отчет «Математические методы в организации использования зе­мель». - М.: ГИЗР, 1977. - С. 53-63).

При этом примем третий случай постановки: для задач с веро­ятностными ограничениями.

Определим систему переменных. Для этого примем, что х_у — площадь озимой ржи, га; х₂ — площадь овса, га.

В задаче необходимо определить оптимальное соотношение площадей посева двух культур: озимой ржи и овса.

На неизвестные наложим следующие ограничения.

1. Баланс площадей посевов:

Р(х, + х₂=6⁽¹⁾)>Р₀⁽¹⁾.

2. Необходимые трудовые затраты:

Р(а\²⁾х₁+а^⁾х₂<Ь^{2))>Р^⁾.

3. Объем полевых механизированных работ:

Р(а[\₊а^х₂<Ь^)>Р^.

419

4. Потребность в денежно-материальных средствах:

Р(а[%₁₊а^х₂<Ь^)>Р{⁴\

5. Баланс минеральных удобрений:

Р(а1⁵⁾х₁+а⁽₂⁵⁾х₂<Ь⁽-⁵⁾)>Р^\

6. Неотрицательность переменных:

х₁>0, х₂>0, 0<Р₀^(/)<1.

Данные условия читаются следующим образом: вероятность того, что будет выполнено К-е ограничение, должна быть не

меньше Р₀^(/)(/=1,2,3,4,5).

Чтобы решить эту задачу при заданных вероятностных огра­ничениях, необходимо определить составляющие вектора Ъ.

Известно, что по закону распределения компонент вектора Ь

и вероятности Р^ можно найти составляющие вектора огра­ничений и от вероятностной системы ограничений перейти к ее детерминированному аналогу.

Поскольку составляющие случайного вектора ограничений Ъ независимы и каждая из них представляет собой сумму элемен­тарных независимых слагаемых, можно считать, что компоненты вектора Ь распределены по нормальному закону, характеризуе­мому плотностью вероятности вида

где а — среднеквадратическое отклонение величины Ь\т — математическое ожида­ние величины Ь.

Графически это может быть показано так (рис. 26). Допустим, стохастическая задача решена. Тогда после подста-

п новки в левую часть неравенств вида ^а_;ух_у<^ оптимальных

7 = 1

значений х получим некоторую величину Ь. С вероятностью Р₀ можно утверждать, что Ь <Ь, так как только в этом случае требуе-420

мое условие выполняется. Причем точка_ Ъ должна быть

правее точки Ь.

Рис. 26. Плотность распределения составляющих вектора ограничений (Ь)

Чтобы по плотности распре­деления подсчитать вероят­ность попадания точки Ь в ин­тервал \Ь,с° , надо взять интег­рал от плотности в соответству­ющих границах:

Р₀=]ДЬ)С1Ь. ь

В полученном интегральным уравнении есть только одно не­известное Ь — такое значение свободного члена, которое позво­ляет перейти к детерминированному ограничению. Для опреде­ления Ь подставим в вышеприведенное уравнение вместо ЛЬ) ее выражение:

(Ь-т)¹

оо | —

Не останавливаясь на выводе, приведем формулу для вычис­ления значения Ь, полученную Т. Я. Перингером и И. Ф. Полу­ниным:

Ь=т+ка,

где т — математическое ожидание (среднее арифметическое значение) величины Ь; а — квадратическое отклонение величины Ь; к— коэффициент, учитывающий изменение параметра Ь в зависимости от различной вероятности событий (табл. 137).

Зная значения ь, мы переводим стохастическую задачу к

обыкновенному детерминированному виду.

Обоснуем значение целевой функции. В связи с тем что в данной задаче важно получить гарантированный суммарный урожай зерновых (на продажу, подстилку и корм скоту), в ка­честве критерия оптимальности примем минимум набора урожая.

421

Исходя из рекомендуемых выше критериев оптимальности, применяемых в задачах стохастического программирования, проанализируем и выберем наиболее подходящий из них.

Пусть в качестве целевой функции выбрано математическое ожидание величины линейной формы. Тогда функцию цели ма­тематически запишем в виде

2_{=М

г „ ^

7^Л7

и=1

► ГП1П,

где М— знак математического ожидания; су — случайный коэффициент, учитываю­щий недобор урожая с 1 га посевов (/= 1, 2, ..., л).

Пользуясь правилом вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания, а также тем, что математичес­кое ожидание линейной функции равно той же линейной функ­ции от математических ожиданий аргументов, функцию перепи­шем как

2_Х=М

п \ п п п

.7=1 ) 7 = 1 7 = 1 7 = 1

Здесь С] — математическое ожидание (среднее арифметичес­кое значение) коэффициентов линейной формы, то есть матема-

422

Г" Я³Я³Я-⁵.° „°Я⁵ Я-⁵.° Я-¹ .Р.⁰ „° Р .°^° -⁰«°«° ЯЯ

|—ООООООООООООООООООО —

I I I I М I I I I и>р— оооооооо о о о о о о о о о- — (_^>

I— (__) (_^ ^_; ^— (ч^ <_*-* +^ 1-П 1 "<-> ^— (.

о^^и»^^ — ^'^о^о^омэ^*—-"-лол^с^-^о

Чч-^ ^р~~" *4—' ^^Л *ч* I -•—* Ч*-* I

о~—^о~-о."с/1^"и)"ю^—"о о о"-—1о"и> -^4/1 --лХо'^-о

Г^-4* 1*44 ^■*■—% / ъ I У\ .- * ^ I - « ^ 1 Г*~**\ Г*~\ Г\Л ^ \ - » - * - ■11*^1 Ъ -—^- Ль ,~*.

13 I

а? ю

3"0

1 1 I 1 I I 1 I ! I

^ ^ Г"* .Г"Я⁵ -°«° Я⁵ Я-⁵»° -° Я „°„° Я³ Я⁵ Я⁵-"^- .г" .Г" ^ ю <?\К)Ъсо о\^л"и> го "*— о ^-1о"о^ <-/»ел "со оюомо

4^4^00(^4^---4ГО00С^ЫОК)и»1>0(О--д-р^и>004й.4^

!1

тическое ожидание недобора урожая в планируемом году, которое определяется как разность между многолетней средней урожайно­стью и прогнозируемой урожайностью на планируемый год.

Поясним физический и экономический смысл данного функ­ционала (рис. 27).

Линии 1 и 2 показывают значения соответственно прогнози­руемого и среднего многолетнего валового сбора озимых и яро­вых культур. Из рисунка видно, что в любой планируемый год может возникнуть одна из трех ситуаций: недобор урожая ози­мых и яровых положителен (случай 1), отрицателен (случай 2) и равен 0 (случай 3). В первых двух случаях условие задачи мини­мизировать величину недобора урожая озимых и яровых культур приводит к тому, что прогнозируемая кривая 1 переместится в положение 3, то есть произойдет увеличение фактического вало­вого сбора озимых и яровых культур.

Целесообразно не только «поднять» кривую валового сбора, но и уменьшить ее колебания по годам, то есть добиться стабиль­ности валовых сборов зерновых.

Математически величину колебаний характеризует дисперсия. Покажем, как изменится вид кривой прогнозируемого валового сбора урожая озимых и яровых культур, если показателем каче­ства решения будет выбрана дисперсия линейной формы:

2-) = Б

и=1

► тт.

В этом выражении Б — знак дисперсии, а с,- и х_] имеют тот же физический смысл, что и в целевой функции 2\.

'°т_и

§■5'

Й : » : •3 \

у_Р0.

3 <

г ;

о^""--&**•

**>

у}^фмя^1"-- ■---*•*■-,-.::

А«!

мгь

А^'

окдайнсх'

С

V Л О 1)

с

Годы

Рис. 27. Возможные пути получения урожая озимых и яровых зерновых культур

423

Учитывая правило нахождения дисперсии линейной функ­ции, приведенное уравнение 2₂ можно переписать в виде

Г „ Л

ч>1 ;

г₂=о

" г п2 = X [^х]\ Л/+2 ^Х_]Х₁Ку ->1ШП,'

У=1 У'<1

где Кц — корреляционный момент величин с,- и с,-.

Последнее выражение можно записать в более удобной фор­ме, заменив /)с_у на о] и Щ на /ут/Оу (г/,- — коэффициент корреля­ции величин с,- и с,):

%2 = X ^ару + 2 X ^_^^■а^с^x_^x^ -> тт.

Минимизируя выражение 2"₂, мы уменьшаем размах колеба­ний, и следовательно, кривая прогнозируемого валового сбора озимых и яровых культур будет сглажена и займет положение 4 (см. рис. 27).

С экономической точки зрения наиболее выгодным представ­ляется вариант выбора такой целевой функции, которая одно­временно уменьшала бы недобор урожая и сглаживала его коле­бания. Этого можно достичь, если показателем качества решения задачи выступит линейная комбинация математического ожида­ния и дисперсии линейной формы.

Функция цели в этом случае будет состоять из двух слагаемых:

2з = (а2_{ + $2₂) -> гшп, где а и р — некоторые коэффициенты, не равные нулю.

Преобразуем это уравнение, для чего разделим обе его части на а. Получим

	а а
Введем обозначения
	а а
Тогда имеем

2о = (2,\ + Х2₂) -» тт. 424

Выбор неизвестного коэффициента X зависит от конкретных условий задачи. В ряде исследований он называется штрафом за единицу дисперсии.

Подставляя в последнее уравнение значения 2_Х и 2_Ъ получим целевую функцию в окончательном виде:

,2,,2

^

2= '^_^с^x^+x

Хо)х;+2Х^ст₍о_уХ/х_у-

= 1

У<1

Для нее надо найти минимум.

Таким образом, задача стохастического программирования сведена к детерминированной задаче нелинейного программиро­вания.

Рассмотрим пример по одному из районов Ивановской облас­ти за пять лет (исходные данные и решение Т. Я. Перингера и И. Ф. Полунина, изложение и обозначения наши).

Построение системы ограничений. Учитывая, что матрица тех­нико-экономических коэффициентов данной задачи детермини­рована, их определяют обычным способом. Например, затраты труда в расчете на 1 га посевов зерновых определяют путем деле­ния объема затраченных трудовых ресурсов при возделывании культуры на ее общую площадь (табл. 138).

138. Исходные значения технико-экономических коэффициентов

^Ограничения Культура

Пло­щадь посева, га

Потребность в трудовых ре­сурсах, чел.-ч

Объем меха­низирован­ных работ, усл. эт. га

Потребность в денежно-матери­альных средствах, руб. на I га

Потребность в

минеральных

удобрениях,

кг на 1 га

Озимая рожь, х{	1	8,02	9,64	107,0	110,0
Овес, х2	1	8,63	7,25	82,0	78,0

По условию задачи размещения посевов озимой ржи и овса правая часть системы ограничений считается случайной, то есть

она записывается в виде Р

>о(0

и не может быть за-

,7 = 1

ранее точно определена. Рассмотрим подробно процедуру вы­числений технико-экономических коэффициентов в правой час­ти и переход от вероятностной формы ограничений к детерми­нированной. Из годовых отчетов за пять рассматриваемых лет находим общую площадь, занятую посевами озимой ржи и овса. За этот же период по годовым отчетам устанавливаем наличие трудовых ресурсов (с учетом привлеченной рабочей силы), тех­ники, выделенных денежных средств и наличие минеральных удобрений. Вычисляем среднее арифметическое значение ресур-

425

са Ь_;-, а также среднеквадратическое отклонение о,- по формуле

1

Исходные данные и расчеты заносим в таблицу 139. Для того чтобы свести систему вероятностных ограничений к детерминированным, зададим вероятность выполнения каждого

неравенства: например, Р^>0,$5; />₀⁽²⁾>0,40; Р₀⁽³⁾>0,60; ^о⁽⁴⁾-°>⁷⁰' Р₀⁽⁵⁾>0,35.

Тогда систему ограничений для района в вероятностной фор­ме можно записать следующим образом:

1. Дх, + х₂ = 15 032) > 0,85;

1. Р(8,02х! + 8,63х₂ < 132 354) > 0,40;

1. Р(9,64х! + 7,25х₂< 131 665) > 0,60;

1. Д107Х) + 82х₂< 1 543 430) > 0,70;

1. Р(110х,+ 78х₂< 1710 000) > 0,35;

1. Х!>0;

1. х₂>0.

Используя вышеприведенную формулу Ь=т+ка=Ь+ка, а так­же данные таблицы 139, перейдем от системы вероятностных ог­раничений к ее детерминированному аналогу.

Например, для ограничения по трудовым ресурсам:

6=132 354; к = 0,2531 (при вероятности 0,40, табл. 139), а = 5169,

Ь =132 354+0,2531-5169=133 662. Тогда общий вид этого ограниче­ния в детерминируемом выражении будет следующим:

8,02x1+ 8,63х₂< 133 662.

Учитывая, что первое ограничение по площади посева имеет вид равенства, в детерминированный вид, исходя из закона плотности распределения (рис. 28), оно трансформируется в два условия с параметрами

^=15032-1,0366-947=14 050;

^'=15 032+1,0366-947=16 014. Тогда баланс площадей посева будет выглядеть так:

1. Х[+х₂> 14 050;

2. Х!+х₂<16 014.

426