135. Последний оптимальный план

	| ~У\	-хг	-Уг	1
*1 =	3	7	-1	2
*3 =	-2	-5	1	1
гз =	3	9	0	9
т Г	18	39	-6	12
2,= {	-5	-10	2	-1

В новой таблице гз-строка осталась без изменения; план х_{ = 2, х₂ - 0, х₃ = 1 оптимален. Найдем для него возможные зна­чения параметра /.

В последней строке таблицы 135 имеются как положительные, так и отрицательные коэффициенты ^. Для положительного ко­эффициента 2 по формуле

тах

V

' Р?

<?у

>*,Я]>0

имеем

-6 —тг-⁽г или 3 < /.

Для отрицательных коэффициентов согласно формуле

р

/<1ШП

, #,<0, находим V V) . ( 18 3

^^тт[-15^:-Ч0 *<3,6.

Объединяем оба результата в одно выражение:

3<Г<3,6.

Найденный отрезок [3; 3,6] больше заданного [3; 3,5], поэтому задача решена окончательно. При \<1<Ъ оптимально первое найденное решение, при 3 < 1< 3,5 — второе. Характерно, что при /= 3 оптимальны оба эти решения, а также некоторые их комби­нации.

18.3. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Задачи математического программирования, в которых все или некоторые параметры являются случайными величинами и

409

задаются вероятностными характеристиками, называются стоха­стическими.

Такие задачи изучает самостоятельный раздел математическо­го программирования — стохастическое программирование.

Ранее, при изучении методов линейного программирования, мы исходили из допущения, что все параметры экономико-мате­матических моделей (коэффициенты целевой функции, технико-экономические коэффициенты, объемы ресурсов) являются де­терминированными, то есть определенными, точными, заранее известными. При решении землеустроительных задач, связанных с организацией сельскохозяйственного производства и террито­рии, это допущение оказывается недостаточно строгим, так как многие параметры задач, связанные с погодными условиями (осадками, температурой, инсоляцией и т.д.), а также с динами­кой цен на рынке, носят вероятностный (стохастический) харак­тер. То есть при экономико-математическом моделировании приходится работать не только с приближенными, но и со слу­чайными величинами, которые возникают как в результате дей­ствия неконтролируемых природных и экономических факторов, так и вследствие работы с информацией, искаженной в процессе ее получения и обработки.

Стохастическое программирование позволяет выбрать наилуч­ший план с точки зрения всех возможных случайных факторов.

Один из крупнейших специалистов в области исследования операций Г. Вагнер писал, что интерес к стохастическим явлени­ям был бы весьма ограничен, если бы его не стимулировала прак­тическая необходимость решения конкретных задач организаци­онного управления (Вагнер Г. Основы исследования опера­ций. — М.: Мир, 1973).

Обратимся к классической математической формулировке об­щей задачи линейного программирования в матричной форме.

Необходимо найти Р(х) = Сх —> тах при условиях Ах < В и х>0.

В этой модели матрица А, векторы В и С являются детермини­рованными. В стохастических задачах А, В я С могут быть слу­чайными. При этом значение целевой функции Р(х) также явля­ется случайной величиной.

Для того чтобы понять значение стохастического програм­мирования для экономики сельскохозяйственного предприя­тия и его отличие от детерминированных задач, рассмотрим один из примеров, приводимых в изданной в 1972 г. в Амстер­даме монографии Д. К. Сенгунты (Зегщшйа I. К. §1оспа$ис рго§гаттт§ теШоёз апс! аррНсагюпв. — Ат$1егс!ат, N01111 НоПапй, 1972).

В задаче определялось оптимальное сочетание отраслей про­изводства (картофеля, зерна, мяса, осенней капусты) при огра ничейных ресурсах земли, капитала и труда. В качестве целевой

410

функции отыскивалось максимальное ожидаемое значение при­были, которая содержала стохастические параметры. Предпола­галось, что система ограничений данной задачи (Ах<В) была де­терминирована.

После преобразования целевой функции и приведения ее к детерминированному виду она приобрела следующий вид:

где т — среднее значение вектора чистого дохода; т' — транспонированный век­тор т; V— ковариационная матрица; х — вектор независимых переменных, обо­значающий объем продукции (картофель, зерно, мясо, осенняя капуста); а —ко­эффициент, показывающий степень риска.

В уравнении целевой функции первое слагаемое представляет собой величину прибыли, которую можно было бы получить при отсутствии влияния на нее случайных факторов. В детерминиро­ванной задаче целевая функция состояла бы только из первого слагаемого.

Второе слагаемое

х'Ух показывает, на сколько изменится

прибыль с учетом в модели случайных величин. С введением вто­рого слагаемого функция Р{х) приобретает нелинейный (квадра­тичный) характер.

Модель была реализована автором при следующих числовых значениях параметров:

а=

1

1250'

т'=(100,100,100,100); 5= (60, 60, 24, 12, 0, 799, 867, 783);

А=

' 1,199 1,382 2,776 0

0 1,382 2,776 0,482

1,064 0,484 0,038 0

-2,064 0,020 0,107 0,229 -2,064-1,504-1,145-1,229

5,276 4,836 0 0

2,158 4,561 0 4,198

0 4,146 0 13,606

411

"7304,69 903,89 -688,73 -1862,05" 620,16 -471,14 110,43 1124,64 750,69 3689,53 _

Результаты расчета вероятностного и детерминированного ва­риантов оптимального плана приводятся в таблице 136.