130. Исходная таблица

У\ =

У2 =

а-,

с, + ^а с.

с₂ + Ла с-,

с„ + а „а с„ ё„

Обычным симплекс-методом находим опорный и оптималь­ный план, преобразуя на каждой итерации последние две строки (табл. 131).

131. Оптимальный план

	-У\	-Уг		-Л-	-*у+ 1	... | -х„	Ь
*! =							*1
х,=							"ь,
404

Продолжение

	-У\	-Уг | ••	-л	-**+ 1	-х„	1
Л+1 =			(Ьф			Ьз+ I
2а =	Р\ + 91а	Л + 92«	Л + 9А		р„+Я„<х	Р+Оа.
г,=	Р\ Я\	р2 д2	А Ян	А+1 &+1	Рп д„	Р •2

В связи с тем что план в последней таблице является опти­мальным, все коэффициенты ^„-строки будут неотрицательны­ми, то есть

р^+д_^<x>0, у= 1, 2, ..., п.

2. На втором этапе определяем такие значения параметра /, для которых план будет оставаться оптимальным. Для этого не­обходимо, чтобы все коэффициенты функции 2₍ были неотрица­тельными:

р^+^^{>о,

р_п+д_п(>0.

Из решения этой системы неравенств и будут получены нуж­ные значения /.

Разделим все неравенства данной системы на две группы, ис­ходя из знаков коэффициентов ц_}. В одну группу отнесем нера­венства, в которых д] > 0, в другую — те, где ц^ < 0.

Возьмем первую группу неравенств:

# + #>0.

Перенося />_у вправо и деля на д^ > 0, отчего смысл неравенства не нарушается, находим

{>-

Чисел — будет получено столько, сколько неравенств ока-жется в группе, и параметр /должен быть больше каждого из них.

405

Если определить / по наибольшему из этих чисел, то остальные неравенства будут выполнены автоматически. Поэтому

тах

' р"

Ч)

<г,4/>0.

Со второй группой неравенств

поступаем аналогично. Переносим р_] вправо и делим на д₇- < 0; при этом смысл неравенства меняется на противоположный. По­лучаем

Чтобы удовлетворялось каждое неравенство второй группы, / надо определять по наименьшему из найденных значений:

/<Ш1П

' Р^Л

Ч)

,9;<0.

Объединяя оба результата в один, имеем

<?<тт

тах

V

Л Ъ)

>0

^г Е?

У

41

д^<0

< Р,"

Таким образом, для положительных коэффициентов д, пара-

ДЛЯ

метр (должен быть больше наибольшего отношения

Ч)

отрицательных — меньше наименьшего. Если все коэффициенты <7у одного знака, то вторым концом интервала изменения пара­метра является бесконечность соответствующего знака. Если <7у = 0, то из условия следует, что в данном столбце р^>0 и

ц + д/=Р;+0-( = Р_]>0

для любого {. Поэтому такой столбец можно не принимать во внимание.

Отыскав правую границу а! изменения параметра (левой гра­ницей на первом этапе всегда служит значение а), сравниваем интервал [а, а^ с заданным интервалом [а, Р]. Если первый из

406

них больше, то задача решена: на всем отрезке [а, (3] найденное решение оптимально. Если же интервал [а, 0ц] меньше заданно­го, то исключаем его из рассмотрения, а для оставшегося отрезка [а_ь (3] задачу решаем заново. Так этап за этапом будут найдены все оптимальные планы.

Рассмотрим пример (решение и исходные данные И. Ф. Полу­нина). Необходимо решить задачу параметрического программи­рования для целевой функции

2Г_Г = (6 — 1)Х[ + (3 — 2{)х₂ + /х₃ -» тах,

в которой / изменяется на отрезке [1; 3,5], и ограничений

XI + 2х₂ + хз< 3; 2х[ — х₂ + Зх₃ < 7; х,->0, У= 1,2,3.

Полагаем 1= 1 и получаем целевую функцию с постоянными коэффициентами

2, — 5х\ + х₂ + хз -> тах.

Составляем исходную жорданову таблицу, в которую заносим все нужные величины с учетом того, что верхним переменным Ху приписан знак «минус» (табл. 132).