17.3. Роль ограничений в формировании облика

ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ (НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ)

Выше мы специально оговаривали тот факт, что функцио­нальная зависимость результата производства у от производ­ственных факторов х_ь Х2,...,х^ может применяться только в опре­деленной области допустимых значений факторов. В действи­тельности ограничения, характерные для землеустроительных за­дач, играют существенно более фундаментальную роль — они фактически формируют облик производственной функции внут­ри области допустимых значений производственных факторов.

Проиллюстрируем это утверждение на примере анализа уже рассматривавшейся в главе 14 упрощенной демонстрационной задачи линейного программирования, заменив в ней фиксиро­ванные ресурсные ограничения на варьируемые и несколько из­менив принятые там исходные данные и обозначения.

Задача 17.2. В хозяйстве производятся молоко и зерно. Все молоко идет на продажу; 40 % зерна используется на корм скоту, 60 % идет на продажу.

Ресурсы хозяйства (варьируемые): х\ — площадь пашни, га; х₂ — трудовые ресурсы, чел.-ч; х₃ — запас кормов на пастбищах и сенокосах, ц корм, ед.; х₄ — количество мест для содержания ко­ров, гол.

Нормы трудозатрат: 5 чел.-ч на 1 га; 50 чел.-ч на 1 гол. Норма

391

кормления животных 80 ц корм. ед. на 1 гол. Урожайность зерно­вых 25 ц корм. ед. с 1 га. Продуктивность коров 4000 кг на 1 гол. Цена на зерно 10 руб. за 1 ц, молоко — 0,2 руб. за 1 кг.

При любых фиксированных ресурсах хозяйства необходимо определить максимальный валовой годовой продукт в денежном выражении.

Введем основные переменные симплексной модели задачи 17.2:

^1 — площадь пашни под зерновыми, га;

%1 — поголовье коров, гол.

Тогда модель будет иметь вид

%\ ^^хъ

5^+50^ <х₂;

-10^ + 80^2 ^*з;

г <* ^(17Л)

^=0,15^1+0,8^2-*тах; ^>0, ^₂>0.

Напомним, что здесь 2Г— целевая функция (валовой продукт хозяйства в денежном выражении, тыс. руб.), а ограничения име­ют следующий смысл: 1-е — по площади пашни; 2-е — по трудо­вым ресурсам; 3-е — по кормам; 4-е — по количеству мест для со­держания коров.

Зафиксировав ресурсы Х\,...,х₄ и решив задачу симплекс-мето­дом, получим определенное оптимальное решение;

2 ⁼ 2опА^хЬ~->^х4)>^1⁼^1 (^ХЬ-;^Х4УЛ2⁼^>2 (^ХЬ-->^Х4)-

Предположим теперь, что цель анализа задачи (17.1) —уста­новление зависимости оптимального значения целевой функции от обеспеченности хозяйства ресурсами, то есть определение вида производственной функции

у=2_от(х_и...,х₄). (17.2)

Рассмотрим сначала случай фиксированных трудовых ресур­сов, запасов кормов на пастбищах и сенокосах и количества мест для содержания коров:

х₂ = 12 000 чел.-ч; х₃ = 2000 ц корм, ед.; х₄ = 110 гол.,

то есть ситуацию, когда переменным является только ресурс пашни (х,).

392

400

У4

300 Уз

У:

100

				1
				У=у4+0(хгх«) |
					~~~~~ ■^-•*
						к
				^\	\У	ь, ~"\_
			у^1 1 > 1 1 .,			=у3+0,07(хгх})
					1 1
	А		1 1 к!	у=у2+0,15(хгх{)\ }
		^			1 1 1
	.	У=у^0,25(х-х1)			1 1 1 1 1 1 1
			1 1 1 |

У1

3000 х,

О 500 х{ 1000 х/ 1500 2000 х]

Рис. 20. Зависимость оптимального значения целевой функции задачи от обеспеченности хозяйства пашней

Зависимость

у=2_от{х_х)\

Х2,х^,х^-сотХ >

(17.3)

полученная в результате решения серии задач линейного про­граммирования вида (17.1), каждая из которых соответствует оп­ределенному значению х_ь приведена на рисунке 20.

Обращает на себя внимание кусочно-линейный характер представленной зависимости. Это не следствие приближенного описания результата, а точное отражение зависимости решения симплексной задачи от ресурса х_{. Причем на каждом линейном отрезке зависимости у(х\) производная ду/дх_ь то есть дополни­тельный продукт фактора х_ь совпадает с его скрытой ценой.

Проиллюстрируем это утверждение для случая, когда ресурс пашни х_{ находится в интервале от 1300 до 2400 га, например при X) = 1500 га. Для таких условий (с учетом зафиксированных ранее значений ресурсов х_ъ х_ъ х₄) область допустимых значе­ний, соответствующая модели (17.1), изображена на рисунке 21. Ресурс Х[ = 1500 га формирует в области допустимых значений грань ЕР. Линии уровня целевой функции Д^ь ^2) задачи ли­нейного программирования, показанные на рисунке штриховы­ми прямыми, ориентированы так, что оптимальной является вершина Е. Таким образом, сдерживающими ограничениями яв­ляются 1-е и 2-е и соответственно дефицитными ресурсами — пашня и трудовые ресурсы. Увеличение ресурса пашни должно приводить к сдвигу вершины Е вправо-вниз, а значит, к увеличе-

393

нию целевой функции. В то же время известно, что увеличение ресурса эквивалентно введению в план отрицательного значения остаточной переменной, связанной с этим ресурсом (в данном случае это переменная ^ — см. табл. 127). При таком введении ^₃ в план оптимальное значение целевой функции будет меняться в соответствии с двойственной оценкой этой переменной (скрытой ценой ресурса пашни):

■^опт =-2опт ~(%3 ~Сз)^3 =2опт -0,07^з-

Учитывая, что |^₃| — это и есть приращение ресурса пашни, получим следующую формулу:

у=у₃+0Щх_{-х^),

где х, е [1300, 2400], у_ъ = 283,

показанную на рисунке 20 и отражающую линейный характер рассматриваемой производственной функции на интервале XI е [1300, 2400].

Обратим внимание также на то, что в области х₍е[1300, 24001 увеличение ресурса пашни приводит к относительно слабому ро­сту валовой продукции у. «Ответственным» за этот эффект пол­ностью является второе ограничение: из-за него при увеличении X) оптимальная вершина Е сдвигается по направлению, сильно отличающемуся от направления нормали к линии уровня целе­вой функции, что и приводит к слабому сдвигу линии уровня.

О \ 500 1000 \1500 \\ \ ^

^2=20 2=190"' 2=283" ^к2=297

Рис. 21. Область допустимых значений задачи при х₁ — 1500

394

127. Последняя симплекс-таблица задачи 17.1 при х₁ = 1500 га, х_г = 12 000 чел.-ч, х, = 2000 ц корм, ед., х₄ = 110 гол.

№	Базисные перемен­ные \р	Номера ограниче­ний (для дополни­тельных перемен­ных)	Ая. (значения базисных перемен­ных)	Коэффициенты замещения
стро­ки (/)				А, (О	Л, (О	4, (У (ост., огр. 1)	4, (У (ост., огр. 2)	4, (У (ост., огр. 3)	4* (У (ост., огр. 4)

1. г,₆(ост.) 4 20 0 0 ОД -0,02 0 1

1. уост.) 3 9800 0 0 10 -1,6 1 0

1. ^(осн.) - 90 0 1 -0,1 0,02 0 0

1. ^(осн.) - 1500 10 1 0 0 0

(.2-9 297 0 0 0,07* 0,016** 0 0

* Скрытая цена ресурса пашни.

** Скрытая цена трудовых ресурсов.

Несколько иная ситуация складывается при х,е[0, 680]. В этом случае, например, при х_{ = 600 область допустимых значе­ний задается фигурой АВЕ'Т" (рис. 22), а оптимальной является вершина Е". Вторым связывающим ограничением (наряду с ог­раничением по площади пашни) является ограничение не по трудовым ресурсам, а по кормам, что приводит к более выгодно­му смещению оптимальной вершины Е" и соответственно к большей скорости роста целевой функции при увеличении пло­щади пашни. Скрытая цена пашни при этом составляет 0,25 тыс. руб. на 1 га (см. табл. 128 и рис. 22, а также рис. 20 —участок х,е[0, 680]).

Анализ симплексной задачи объясняет и тот факт, что при X] > 2400 га рост рассматриваемой производственной функции прекращается — наблюдается эффект насыщения, характерный для реальных зависимостей обобщенных экономических показа­телей (валовой продукт и т. п.) от ресурсных факторов. Действи­тельно, при X] > 2400 га линия, соответствующая первому ограни­чению модели (17.1), вообще выходит за пределы области допус­тимых значений, которая превращается в фигуру АВСОР' (это нетрудно видеть, например, по рис. 21). В геометрической интер­претации оптимальной в этом случае будет вершина Г', причем сдерживающим будет только второе ограничение — по трудовым ресурсам, избыток же пашни (свыше 2400 га) нельзя использо­вать, что и определяет нулевое значение дополнительного про­дукта.

Подобным же образом на основе анализа симплексной задачи может быть установлена зависимость у от любого другого ресурса (производственного фактора).

Так, например, нетрудно видеть, что при х_{~ 1500 га, х₂ = = 12 000 чел.-ч, х₄= ПО гол. ресурс кормов на пастбищах и сено-

395

О \ 500 1000\ 1500 \ 2=20 "-2=170

Рис. 22. Область допустимых значений задачи при лг, < 680

косах (х₃) никак не влияет на валовой продукт хозяйства. Это ясно из геометрического представления задачи (см., например, рис. 21).

Поскольку при указанных значениях х_ь х₂, х₄ оптимальной является вершина Е, то даже при уменьшении х₃ до нуля со­ответствующая третьему ограничению грань области допусти­мых значений (ВС) сдвинется вправо незначительно (пройдет через точку А), что не поменяет характер оптимального реше­ния — ресурс х₃ не станет дефицитным и, следовательно, бу-

128. Последняя симплекс-таблица задачи 17.1 при х₁ = 600 га, х_г х_г = 2000 ц корм, ед., х₄ = ПО гол.

12 000 чел.-ч,

№ стро­ки (/)

Базисные перемен­ные ^

Номера ограниче­ний (для дополни­тельных перемен-ных)

Л»

(значения базисных перемен­ных)

(О

А, (О

Коэффициенты замещения

4> (У

(ост., огр. 1)

4, (У

(ост., огр. 2)

4, (У (ост., огр. 3)

4. (У (ост.,

огр. 4)

1	\, (ост.)	—	600	1	0	1	0	0	0
2	Уост.)	2	4000	0	0	-11,3	1	-0,625	0
3	42(осн.)	-	100	0	1	0,125	0	0,0125	0
4	Уосн.)	4	10	0	0	-0,125	0	-0,0125	1
	Ц-9		170	0	0	0,25*	0	0,01**	0

* Скрытая цена ресурса пашни. ** Скрытая цена запаса кормов.

396

129. Последняя симплекс-таблица задачи 17.1 при х, = 1500 га, х, х_ъ = 2000 ц корм, ед., х₄ = ПО гол.

= 6000 чел.-ч,

№	Базисные перемен­ные Е. 7л>	Номера ограниче­ний (для дополни­тельных перемен­ных)	(значения базисных перемен­ных)		Коэффициенты		замещения
стро­ки (/)				А., (У	(О	4, (У Сост., огр. 1)	4. <У (ост., огр. 2)	4 (У (ост., огр. 3)	4 <У (ост., огр. 4)
1	^з (°ст-) '		300	0	-10	1	-0,2	0	1
2	5,(°ст.) -		1200	1	10	0	0,2	1	0
3	Уосн.) 3		14000	0	180	0	2	0	0
4	^(осн.) 4		ПО	0	1	0	0	0	0
	ц-9		180	0	0,07	0	0,03*	0	0

* Скрытая цена трудовых ресурсов.

дет иметь нулевую скрытую цену (нулевой дополнительный продукт).

На рисунке 23 приведена зависимость у от х₂ (трудовые ресур­сы) при фиксированных значениях других ресурсов: х\ = 1500 га, х₃ = 2000 ц корм, ед., х₄ = 110 гол. (табл. 128).

Для иллюстрации механизма формирования зависимости, представленной на рисунке 23, в таблице 129 показана последняя симплекс-таблица, а на рисунке 24 —область допустимых значе­ний, соответствующие задаче 17.1 при х₁ = 1500 га, х₂ = 6000 чел.-ч, х₃~ 2000 ц корм, ед., х₄= ПО гол. (см. также табл. 127 и рис. 21).

В целом приведенные результаты наглядно иллюстрируют принципиальную роль ограничений в формировании вида про­изводственной функции, а также идентичность двух важных по-

[3-е ограничение

1500 '2=180

У 300 200 100

5000

О

*2

10000

^л1-е ограничение

4-е ограничение

Рис. 23. Зависимость оптимального Рис. 24. Область допустимых значений задачи значения целевой функции от обеспе- при х₂ — 6000

ченности хозяйства трудовыми ресур­сами

397

нятий — дополнительного продукта (см. п. 10.1) и скрытой цены (см. п. 16.1) данного фактора. Нетривиальной является суще­ственная нелинейность (в целом) зависимости результирующего показателя у от ресурсных факторов, в частности проявление «эффекта насыщения», в то время как исходный изучаемый ма­тематический объект — симплексная модель — является линей­ной.

Контрольные вопросы и задания

1. С какой целью проводятся вычисления в сокращенных симплексных табли­цах?

1. В чем отличие алгоритмов решения задач в полных и сокращенных симплек­сных таблицах?

1. Какие виды контроля вычислений применяются при использовании сокра­щенных симплекс-таблиц?

1. Можно ли использовать алгоритм решения задач в сокращенных симплекс­ных таблицах при реализации программы симплекс-метода на ЭВМ?

1. Что является признаком вырожденности симплексных задач? К каким по­следствиям может привести появление вырожденных решений?

1. Как можно преодолеть вырожденность симплексной задачи?

1. Покажите на примере несложной задачи линейного программирования роль ограничений в формировании облика производственной функции. Проиллюстри­руйте это графически.

1. Объясните, как возникает нелинейный характер зависимости результирую­щего показателя (например, валового продукта хозяйства) от его ресурсообеспечен-ности, даже если исходная постановка задачи является линейной.

1. Как соотносятся понятия «дополнительный продукт фактора» в производ­ственной функции и «скрытая цена» того же фактора в модели линейного програм­мирования?