124. Первая расчетная симплекс-таблица 17.1

Базисные	с.	с. }	0	49	36	40
ные, й.		«я	«*	ар	"в	а„
X,	0	::: "538,0	ШЙ-Шс,	..:. 1	: - 0 ;;	.,,:::>. \ ОШШ
х,	164	54,8	1	0	0	0
Х1	0	6,6	0	0	1	1
х*	0	2390	-2	2	20	10
х.	0	22808	-40	27	450	115
хт	0	5315,6	97	9	14	-9,5
2- 1	- С	8987,2	164	-49	-36	-40

Переменная х_ь соответствующая ключевому столбцу преды­дущей таблицы, становится базисной и ее записывают в столбце Ь_{ вместо переменной х₆, соответствующей бывшей ключевой строке. Остальные элементы столбца Ь_: остаются прежними. В столбце с,- записывают значения коэффициентов целевой функ­ции при новых базисных переменных (при х_{ — значение 164, ос­тальные равны 0).

В верхней ненумерованной строке бывшего ключевого столб­ца (в нашем примере 1-го) записывают коэффициент целевой функции (0) при переменной, выведенной из базиса (х₆), а в сле­дующей строке — обозначение коэффициента при этой перемен­ной (й/б). Остальные компоненты двух верхних ненумерованных строк переписывают из предыдущей таблицы.

386

Все остальные элементы новой таблицы вычисляют по обыч­ным формулам симплекс-метода. Сначала определяют элемент

а\_к, соответствующий ключевому элементу предыдущей таблицы:

В нашем случае он равен 1.

Элементы ау строки, соответствующей ключевой строке пре­дыдущей таблицы, определяют, как и в полных симплексных таблицах, по формуле

Элементы а\_к столбца, соответствующего бывшему ключево­му, вычисляют согласно выражению

В этом заключается отличие от полного симплекс-метода. Остальные элементы новой таблицы вычисляют по формуле

а'ц=а1^а\_ка_1у

Пользуясь ею для получения каждого из элементов с§ некото­рой строки / (1Ф1) новой таблицы, достаточно прибавить к соот­ветствующему элементу а_у предыдущей таблицы произведение

уже вычисленного элемента а'у этой строки на соответствующий

элемент а у ключевой строки предыдущей таблицы. Значение а$ можно вычислить также по формуле

В результате указанных преобразований получают первую расчетную симплекс-таблицу (см. табл. 124).

Например, значение а_1>0 в этой таблице будет определено так:

а_1;0 = 592,8-54,8- 1 = 538,0.

4. По той же методике вычисляются вторая и все последую­щие таблицы (табл. 125, 126).

387

125. Вторая расчетная симплекс-таблица задачи 17.1

Базисные	с.	С.	0	0	36	40
ные, Ъ1		«я	Ч	а-6	я,	«„
х,	49	538,0	-1	1	0	0
х,	164	54,8	1	0	0	0
*7	0	6,6	0	0	1	1
х.	0	1314	0	-2	20	10
X,	0	8282	-13	-27	450	115
хю	0	473,6	106	-9	14	-9,5
2-	-с,	35349,2	115	49	-36	-40

126. Третья (последняя) расчетная симплекс-таблица задачи 17.1

Базисные	с,	с.			36
ные, Ь.		«к,	°*	Я/5	"в	"п
Х-,	49	538,0	-1	1	0	0
X,	164	54,8	1	0	0	0
х4	0	6,6	0	0	1	1
х,	0	1248	0	-2	10	-10
V	0	7523	-13	-27	335	-115
х\«	0	536,3	106	-9	23,5	9,5
2,-	- С,	35613,2	115	49	4	40

Оптимальное решение содержится в третьей симплекс-табли­це, так как все значения коэффициентов индексной строки в ней положительны.

Как известно, решение задачи на максимизацию заканчивает­ся, если в индексной строке отсутствуют отрицательные величи­ны. В данном случае получаем оптимальный план х_{ = 54,8; х₂ = 538,0; х₃ = 0; х₄ = 6,6; х₅ = х₆ = х₇ = 0.

5. Осуществляют контроль решения (промежуточный и окон­чательный).

Промежуточный контроль состоит в следующем:

значение целевой функции задачи на максимум после каждой итерации должно, по крайней мере, не уменьшаться, что соблю­дается в таблицах 124—126;

в столбце <з_ю не должно возникать отрицательных значений, так как в противном случае нарушается условие неотрицательно­сти переменных (наличие отрицательных значений в столбце а_/0 обычно говорит о том, что при решении задачи неправильно выбран ключевой элемент);

так как в столбце а_ю на любой итерации содержится допусти­мое решение, то оно должно удовлетворять всем поставленным

388

условиям задачи; поэтому при подстановке значений базисных переменных в уравнения канонической формы модели должны получаться строгие равенства (некоторые ошибки могут возни- <-кать вследствие округления).

Окончательный контроль решения по сокращенным симп­лекс-таблицам очень важен, так как он позволяет получить пра­вильные точные значения целевой функции и переменных. Про­контролируем значения неизвестных, подставив их в уравнения канонической формы:

54,8 + 538,0 + 0 = 592,8;

54,8 + 0 = 54,8;

0 + 6,6 + 0 = 6,6;

2 ■ 54,8 + 2 • 538,0 + 20 ■ 0 + 10 • 6,6 + 1248 = 2499,6;

40 • 54,8 + 27 • 538,0 + 450 • 0 + 115 ■ 6,6 + 7523 = 25 000;

-97 ■ 54,8 + 9 ■ 538,0 + 14 ■ 0 - 9,5 ■ 6,6 + 536,3 = 0.

Расчеты показывают, что все условия задачи выполняются, что подтверждает правильность решения.

При контроле значений целевой функции она может вычис­ляться несколькими способами.

1. По формуле целевой функции:

т

^опт=Хс/аю=⁴9-538,0+164-54,8+40-6,6=35613,2.

/=1

2. Как обычный элемент симплексной таблицы:

-2"опт = 2п_Ред -Ь2= 35349,2 - 6,6(-40) = 35349,2 + 264 = 35613,2.

3. При вычислениях с помощью как полных, так и сокращен­ ных симплексных таблиц существует жесткий независимый кон­ троль, основанный на теории двойственности:

т т

Ес/^о^=±Х°|-оУ|.

где я₍'₀ — значения базисных переменных в контролируемой таблице; с,- — коэффи­циенты целевой функции при базисных переменных; а_ю — свободные члены ис­ходной системы условий (компоненты столбца о_я исходной таблицы); у_л — элемен­ты, находящиеся в индексной строке контролируемой таблицы в столбцах, соответ­ствующих /-м дополнительным переменным, то есть в столбцах а,„ +,-, где п — число основных переменных задачи.

т

Например, значение 2_0ПТ- Е^оЗ⁷/ будет вычисляться так:

( = 1

^опт =115- 54,8 + 49 ■ 592,8 + 40 • 6,6 = 35613,2.

389

Таким образом, значение целевой функции определено пра­вильно.

Решение землеустроительных задач симплексным методом по сокращенным таблицам с использованием искусственного базиса осуществляется по аналогичной методике (Задания и методичес­кие указания по применению вычислительной техники для реше­ния инженерно-экономических задач /Е. Г. Ларченко, М. И. Ко-робочкин, В. С. Бережнов. — М.: Недра, 1967. —С. 66—69).

17.2. ПРОБЛЕМА ВЫРОЖДЕННЫХ РЕШЕНИЙ

Как и при решении транспортных задач, при использовании симплексного метода могут возникать вырожденные решения. В невырожденных задачах каждое базисное решение содержит ровно т положительных компонентов. Любая задача при наличии хотя бы одного нуля в правых частях ограничений будет вырожденной.

В вырожденных задачах возникает опасность после некоторых итераций вновь вернуться к набору базисных переменных, кото­рый уже встречался. Тогда все планы, рассмотренные после это­го, будут повторением последовательности предыдущих, что приведет к зацикливанию алгоритма, и оптимальное решение никогда не будет достигнуто. Несмотря на то что такая ситуация встречается редко, полезно знать способ преодоления вырожден­ности симплексной задачи.

Следует учитывать, что даже если в исходных ограничениях задачи все свободные члены положительны (6,- > 0 для всех /), нельзя гарантировать, что последующие базисные решения не будут вырожденными. Не исключена возможность, что на неко­торой итерации /-й элемент столбца а_ю окажется равным нулю. Если одновременно с этим /-Й элемент столбца а_!к, подлежащего вводу в базис, окажется положительным, то минимальное из от­ношений элементов столбца о_/0 к соответствующим положитель­ным элементам столбца а_1к будет равно нулю. Тогда, хотя набор базисных переменных будет другим, целевая функция после пре­образования сохранит прежнее значение.

Нули в столбце а_ю также образуются в случае, если на преды­дущей итерации имела место неоднозначность при выборе пере­менной, которую предстояло исключить из числа базисных. Она возникает там, где минимум соотношений а^а_1к достигается сра­зу для нескольких (по крайней мере, двух) строк.

Способ преодоления вырожденности при решении землеуст­роительных задач симплексным методом описан Е. Г. Ларченко; по его методике, когда указанный минимум достигается для не­скольких значений индекса /, исключается та переменная, для которой достигается минимум соотношений а_л/а_1к, где /—ин­дексы строк переменных, которые участвуют в выборе.

390

Пусть, например, при базисных переменных х_ь х₂,...,х_т>0 имеем

^д10 ₌ ^а20

^а\к ^а2к '

В этом случае неизвестно, какую из базисных переменных (х^ или х₂) следует сделать на следующем шаге небазисной. Для вы­хода из неопределенности сопоставим величины

41 „ «21

^а\к ^а1к

Если минимальна по модулю первая из них, исключаем пере­менную х_1; если вторая —то х₂. Если же и они одинаковы, срав­ниваем отношения

«12 _и «22 «1А; «2Аг

и выбираем из них наименьшее. Такое сравнение проводится до тех пор, пока не будут получены неравные величины.