Глава 5

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ

АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

5.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ РАССТОЯНИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ ОБОСНОВАНИИ ПРОЕКТОВ ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА

Чтобы вывести формулу для среднего расстояния перевозок, разделим землевладение сельскохозяйственного предприятия на элементарные участки площадью р_ь р₂, ..., р„. Обозначим объемы (плотность) перевозимых грузов через 5_Ь 8₂, ..., 8„, а расстояния от хозцентра до каждого участка — г_и г_ъ ..., г„.

Тогда среднее расстояние (3) от хозяйственного центра до землевладения будет равно:

₈₌Р1Ъ_хг_{+Р2Ъ₂г₂+..лр_пЪ_пг_п р₁8₁+р₂5₂+...+р_пЪ_п

Если допустить, что объем (плотность) перевозимых грузов является постоянной, то есть 5[ = 8₂ = ... = 5„, это выражение уп­рощается:

⁵~Ъ^—г~' ^(5Л)

где Р — площадь землевладения хозяйства.

Эта формула при указанных допущениях в землеустроитель­ной науке стала классической для определения математического среднего расстояния от хозяйственного центра, имеющего раз­ное местоположение на территории, до землевладения, имеюще­го произвольную геометрическую форму и площадь.

Впервые наиболее полно формулы для расчета среднего рас­стояния были обоснованы К. Н. Сазоновым (Сазонов К. Н. Среднее расстояние земельной площади до хозяйственного цен­тра. — Воронеж, 1925. — С. 5 — 9). Математически они выводятся следующим образом. Площадь фигуры, отнесенной к определен­ной системе координат, разделяется тем или иным способом (па­раллельными прямыми, концентрическими дугами или радиуса­ми) на элементарные участки, затем берется любой из этих учас­тков и определяется его площадь как некоторая функция малых приращений координат; расстояние этой площади по прямой линии до хозяйственного центра, в свою очередь, определяется как функция координат хозяйственного центра и координат эле­ментарного участка.

92

Произведение площади участка на расстояние выражает объем транспортных работ (при плотности 8 = 1); чтобы опреде­лить общий объем, то есть вычислить числитель формулы (1), необходимо найти сумму таких произведений для всей площади участка, исходя из предположения, что число частиц неограни­ченно увеличивается, а площади их неограниченно убывают и сгановятся бесконечно малыми величинами. Такая задача, как известно, сводится к двойному интегрированию в определенных пределах выражения, представляющего произведение элементар­ной площади на расстояние ее до хозяйственного центра; необ­ходимые при этом пределы интегрирования по обеим перемен­ным определяются в зависимости от фигуры участка. Разделив результат интегрирования на общую площадь участка, получаем формулу математического среднего расстояния для данной фигу­ры и заданного внутри или вне ее положения хозяйственного 11ентра.

Рассмотрим вывод формулы математического среднего рас­стояния для кругового кольца с местонахождением хозяйствен­ного центра в общем центре кругов в точке А (рис. 3).

Пусть радиус внешней окружности будет АС = Я, а радиус внутренней окружности АБ = а. Тогда площадь кольца Р = пК² — -тга⁵ = я(Л²-а²).

Расположим фигуру в полярной системе координат с полюсом в точке А и осью АМ; разделим площадь кольца концентрически­ми кругами, проведенными из точки А, как из центра, и радиуса­ми на бесконечно большое число частиц вида Ьсйе; тогда пло­щадь любого из таких криволинейных прямоугольных четырех­угольников будет равна произведению длин его сторон.

Обозначая полярный угол МАС=у, его приращение ВАС=Аср, радиус Ае = г и его приращение ес = Дг, можем (при­ближенно, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка) написать, что

р = гАфДг.

Бесконечно малая площадь Ьсйе отстоит от хозяйственного центра А на расстоянии Ае = г, вследствие чего для этой площа­ди работа по перевозке (IV) будет равна:

IV= гр — ЯДфДг.

Рис. 3. Схема вывода формулы среднего

расстояния для землевладения, имеющего

форму кольца

93

Чтобы определить общий объем работ, надо суммировать сна­чала все Ж по радиусу для значений г, меняющихся в пределах от г= а до /■= Я (полагая ф постоянным), а затем вычислить сумму полученных сумм, полагая ср меняющимся в пределах от <р = 0 до Ф = 2 тс, то есть

2я Я

Х^= | (1ц\г^гйг.

О а

"Производя интегрирование, получаем

2л оЗ 3 т

О 3 5

Применяя формулу (5.1) и пользуясь выражением для площа­ди кольца, окончательно получаем

„ Е^ 2 К³-а³

^{8=т=ъж^- <5-2)}

Если площадь, на которую распространяется работа по пере­возкам, будет представлять весь круг с радиусом Я, а не только кольцо между окружностями с радиусами а и Я, то достаточно положить в формуле (5.2) а = О, после чего получаем

5=\к, (5.3)

где 5 — математическое среднее расстояние, Я — радиус круга.

Определим, чему равно математическое среднее расстояние 5, если площадь землевладения будет представлять собой круг с ра­диусом Я, а хозяйственный центр (усадьба) будет расположен в его центре. В этом случае

Р=%Я²,Я=_Л-.

V тс

Обозначим К\ =—^=, тогда Зл/тс

Подставив значение Я в формулу (5.3), получим

94

!десь К_{ — коэффициент, учитывающий форму землевладения и местонахождение на нем хозяйственного центра. Для круга с усадьбой в центре

К\ =

2 _ 0,667

=0,376.

Математическое среднее расстояние при площади землевла­дения, например 100 га (1 хм²), для этих условий будет равно

0,37б7Т=0,38км. Если площадь землевладения увеличится до ЛИ) га (Р=2км²), то

5=0,376л/2=0,53км.

Используя данные закономерности, К. Н. Сазонов впервые в землеустроительной науке построил таблицу для определения шачений коэффициента К_х (табл.3).

3. Коэффициенты формул, связывающих математическое среднее расстояние и площадь землевладения

площади и

среднего

расстояния

Р/8²

№ п/п

Вид фигуры*

Положение хозяйствен­ного центра

Отношение

периметра

фигуры к

корню

квадратному

от площади

Гр

Коэффициенты связи

Гр

среднего расстояния и площади

К,=5

1. Крут

1. Крут

1. Круг

1. Правильный шестиугольник

1. Правильный шестиугольник

1. Правильный шестиугольник

1. Квадрат

1. Квадрат

1. Квадрат

1. Прямоугольник п^:

1. Прямоугольник п

Центр круга

На середине

радиуса

На окружности

Центр тяжести На середине радиуса Вершина

Центр тяжести На середине полудиагонали Вершина

=2 Центр тяжести

=2 Вершина

3,545 3,545	0,376 0,445	7,07 5,05
3,545	0,667	2,25
3,722 3,722	0,377 0,461	7,04 4,71
3,722	0,687	2,12
4,0 4,0	0,383 0,489	6,82 4,18
4,0 4,243 4,243	0,765 0,419 0,839	1,71 5,67 1,42

95

Продолжение

	Вид фигуры*	Положение хозяйствен­ного центра	Отношение периметра фигуры к корню квадратному от плошади	Коэффициенты связи
№ п/п				среднего расстояния и площади	площади и среднего расстояния
			Ге		Р/52
12	Прямоугольник и=3	Центр тяжести	4,619	0,475	4,43
13	»	Вершина	4,619	0,950	1,11
14	Прямоугольник л=4	Центр тяжести	5,0	0,53	3,56
15	»	Вершина	5,0	1,061	0,89
16	Прямоугольник л=5 Центр тяжести		5,367	0,585	2,92
17	»	Вершина	5,367	1,169	0,73
18	Прямоугольник л=6 Центр тяжести		6,957	0,801	1,56
19	»	Вершина	6,957	1,601	0,39
20	Равносторонний треугольник	Центр тяжести	4,559	0,404	6,13
21	»	Вершина	4,559	0,924	1,17
22	Прямоугольный треугольник: л=1	Центр тяжести	4,828	0,426	5,51
23	»	Вершина острого угла (А,)	4,828	1,082	0,82
24	»	Вершина острого угла (А5)	4,828	1,082	0,82
25	Прямоугольный треугольник: л=2	Центр тяжести	5,236	0,467	4,59
26	»	Вершина острого угла (А,)	5,236	0,986	1,03
27	»	Вершина острого угла (А5)	5,236	1,387	0,52
28	Прямоугольный треугольник: л=3	Центр тяжести	5,848	0,530	3,56
29	*	Вершина острого угла (А^	5,848	1,026	0,95
30	»	Вершина острого угла (А5)	5,848	1,662	0,36
31	Прямоугольный треугольник: л=4	Центр тяжести	6,451	0,591	2,86
32	»	Вершина острого угла (АО	6,451	1,095	0,83
33	*	Вершина острого угла (А5)	6,451	1,905	0,27
34	Прямоугольный треугольник: л=5	Центр тяжести	7,020	0,649	2,37
35	»	Вершина острого угла (А,)	7,020	1,172	0,73
36	»	Вершина острого угла (А5)	7,020	2,122	0,22

* В описании фигур л — отношение большей стороны прямоугольника к мень­шей (для треугольников — соотношение катетов).

96

Для перехода от математических средних расстояний (по пря­мой) к реальным расстояниям (с учетом кривизны дорог) земле­устроители стали применять следующую формулу:

5_р=К_г5, или $_р=К_хК₂Л,

где К₂ — коэффициент, учитывающий реальное размещение и кривизну дорог.

Значение К₂ определяется путем деления реального среднего расстояния, измеренного по дорогам, на математическое среднее расстояние, то есть

Для практических целей В. Я. Заплетин рекомендовал исполь­зовать в условиях Центрально-Черноземной зоны значение #2=1,3 — 1,5; при этом он считал, что повышение дорожного коэффициента до 1,5 характерно для предприятий, имеющих из­резанное оврагами и балками землепользование (Заплетин В. Я. Организация территории колхоза. 2-е изд. — Воронеж, 1973.— С. 31; Заплетин В. Я. Вопросы совершенствования землепользо­вания колхозов. — М.: Экономика, 1975. — С. 8 — 11).

Самый простой способ определения оптимальных площадей землевладений (землепользовании) сельскохозяйственных пред­приятий с использованием вышеприведенных формул по расчету средних расстояний, учитывающих форму (конфигурацию) зак­репленных площадей, местоположение хозяйственного центра и дорожные, условия, заключается в следующем.

По мере укрупнения площади хозяйства одна часть расходов (амортизация построек и сооружений, общехозяйственные рас­ходы) в расчете на единицу площади уменьшается, тогда как дру­гая (затраты на перевозки, выполнение механизированных ра­бот), напротив, увеличивается.

Очевидно, должна существовать некая оптимальная площадь землевладения, при которой удельные производственные затра­ты (на 1 га) будут минимальными. Типичный пример (данные В. Я. Заплетина) приведен в таблице 4.