16.6. Альтернативные решения распределительных задач

Методы анализа и корректировки решений задач транс­портного типа мы рассмотрим на примере землеустроитель­ной задачи, в которой требуется закрепить источники сырья за предприятиями-переработчиками (другими словами, опре­делить размеры сырьевых зон перерабатывающих предприя­тий).

Задача 16.2. В области имеется 5 сахарных заводов и 9 свекло­сеющих хозяйств, снабжающих эти заводы сырьем. Найти такой нариант закрепления хозяйств за сахарными заводами, при кото­ром общая стоимость доставки свеклы будет минимальной. Мощности заводов по переработке (т): 1—19 800, II — 8040, III — 5200, IV —2000, V—1000. Дополнительная исходная информа­ция дана в таблице 117.

371

117. Исходные данные к задаче 16.2

Хозяйство

Стоимость доставки свеклы на заводы, руб/т

Объемы производства

свеклы в хозяйствах, т

1	1,8	4,7	10,2	30,5	61,4	3400
2	1,9	4,8	10,3	30,6	61,5	3400
3	2,4	6,3	12,0	34,0	64,0	6800
4	2,5	6,4	12,3	38,7	64,5	3400
5	2,6	7,4	24,0	41,4	69,5	4070
6	0,2	0,8	2,4	4,8	6,4	5120
/	2,3	6,3	11,8	33,5	64,0	3590
8	1,8	4,3	10,3	30,6	61,4	860
9	3,8	10,0	30,0	60,0	80,0	3400

Оптимальное решение приведено в таблице 118. Нам необходимо рассмотреть возможности его корректировки, которая может потре­боваться в связи с появлением дополнительных ограничений (напри­мер, на транспортировку ресурса по отдельным маршрутам) или в связи с изменением мощностей производства (потребления) ресурса у поставщика (потребителя) после получения оптимального решения.

		118. Оптимальное решение задачи 16.2 (2^, = 125 299 руб.)
\	}	1	2	3	4	5	Л
/	а, \^	80,8	84,7	90,2	92,6	94,2
1	80,0	1,8	- 4,7 3400 г " "	+ Ю,2	30,5	61,4	3400
		1 1,0		'""Го	1 17,9	| 47,2
2	79,9	1,9	+ 1.4,8 2320	'_ 10,3	+ 3^-	61,5	3400
		1,0			" ] | 17,9	47,2
3	78,4	2,4 6800	6,3	1 12,0	1 34,0	64,0	6800
			| 0,9	I | 0,2	| ] 19,8	| 48,2
4	78,3	2,5 1940	6,4 1460	1 12,3	1 38,7	64,5	3400
				! 0,4	! 1 24,4	48,6
5	78,2	2,6 4070	7,4	I 24,0	| 41,4 1 [ 27,0	69,5	4070
			| 3,9	1 | 12,0		| 53,5
6	87,8	0,2	0,8	!.___2и4. + 2120	_ !. - 4,8 2000	6,4 1000	5120
		| 7,2	39
7	78,5	2,3 3590	6,3	11,8	33,5	64,0	3590
			I 0,1	I 0,1	19,4	48,3
8	80,4	1,8	4,3 860	10,3	30,6	61,4	860
		1 I,4		I 0,5	Г 18,4	I 47,6
9	77,0	3,8 3400	10,0	30,0	60,0	80,0	3400
			2,3	I 16,8	1 44,4	| 62,8
в,		19800	8040	3200	2000	1000	^\3404(1 3404Г>-

372

Представляет практический интерес поиск альтернативных оптимальных решений, то есть решений, отличающихся от при­веденного в таблице 118 значениями ху, но дающих то же (в дан­ном случае минимальное) значение целевой функции. Такие ре­шения могут понадобиться, например, при появлении новых, ра­нее не учтенных ограничений на объемы перевозок ресурса по отдельным маршрутам. Формальным признаком их наличия яв­ляется появление в матрице оптимального плана свободных кле­ток с оценками а,у= 0. В рассматриваемом примере таких клеток две: (1,3) и (3,2). Если построить замкнутый цикл (по правилам, рассмотренным в п. 15.2) и переместить ресурс из какой-либо за­нятой клетки в свободную клетку с оценкой, равной 0, мы также получим оптимальное решение.

Рассмотрим, например, клетку (1,3). Если построить цикл с углами в клетках (1,2), (1,3), (2,2), (2,3) и переместить ресурс, равный 1080, то получим новое оптимальное решение, в котором клетка (1,3) будет занята ресурсом х₁₃ = 1080, клетка (2,3) станет свободной, а ресурсы в клетках (1,2) и (2,2) соответственно уменьшатся и увеличатся на 1080. При этом поскольку оценка свободной клетки равна 0, то в соответствии с формулой (15.7) изменение А2 целевой функции также равно 0, что и подтверж­дает оптимальность нового решения.

Отметим, что в данном случае по циклу можно переместить ресурс и меньший 1080. Полученное решение также будет опти­мальным, хотя число занятых клеток превысит т + п — 1 (то есть оно не будет базисным).

Таким образом, наличие даже одной свободной клетки с нуле­вой оценкой обеспечивает получение бесконечного числа опти­мальных решений (в рассмотренном примере за счет варьирова­ния перемещаемого ресурса в диапазоне [0,1080]). Поскольку транспортные задачи представляют собой частный случай общих задач линейного программирования, можно сказать, что здесь реализуется ситуация, когда поверхность уровня целевой функ­ции параллельна одной из граней симплекса, сформированного системой ограничений транспортной задачи. Естественно, что наличие другой клетки с нулевой оценкой — клетки (3,2) — обес­печивает получение еще одного множества оптимальных реше­ний задачи. Более того, можно показать, что допустимо одновре­менное преобразование полученного оптимального решения с использованием циклов, соответствующих всем свободным клет­кам с нулевыми оценками (при соблюдении требования неотри­цательности переменных).

Альтернативные решения с отклонением целевой функции от эк­стремума.

Не всегда имеется возможность выполнить дополнительные условия, сохранив оптимальность решения. Пусть, например, за­дано дополнительное условие 2500 <*бз ^ 3200. Клетка (6,3) в таб-

373

лице 118 уже занята. Если мы увеличим в ней ресурс в соответ­ствии с дополнительным условием (то есть увеличим *бз)> то по­лучим уже неоптимальное решение. Для этого строим цикл с уг­лами в клетках (6,3), (6,4), (2,4) и (2,3), помечаем их последова­тельно знаками «+» и «—», начиная с клетки (6,3). Максимально возможный перемещаемый ресурс в построенном цикле ^хтт⁼ Ю80. Следует ли переместить ресурс, равный именно 1080 (дополнительное условие при этом будет выполнено)? Ответ бу­дет отрицательным. Чем больший ресурс мы переместим, тем сильнее нарушим оптимальность плана (тем больше возрастет целевая функция по сравнению с минимумом). Изменение целе­вой функции легко подсчитать:

А^ = Ах(ЕС,-Хф, ₍₁₆₂₄₎

где Ах— перемещаемый ресурс; 2С„, ЕС., —суммы значений коэффициентов

_ (+) (-) ,

Су, стоящих в клетках, помеченных знаками «+» и «—» соответственно.

В силу оптимальности преобразуемого решения величина, стоящая в скобках в правой части формулы (16.24), положитель­на, и поэтому целесообразно переместить по циклу как можно меньший ресурс. В соответствии с дополнительным условием мы должны переместить, как минимум, 380 т. Произведя такое пре­образование, получим новое значение целевой функции:

^г' = Зпт + ^Л^= ^{125 2}99 + 380 (33,0 - 15,1) = = 125 299 + 6802 = 132 101 руб.

При этом в клетках цикла ресурсы изменятся следующим об­разом:

х₂₃: 1080 -> 700; х₂₄: 0 -> 380; х₆₃: 2120 -» 2500; х₆₄: 2000 -» 1620.

Заметим, что ранее свободная клетка (2,4) стала занятой и об­щее число занятых клеток превысило (т + п — 1). Полученное ре­шение неоптимально, но (!) оно ближе к оптимальному, чем если бы мы, стараясь сохранить число занятых клеток равным (т +п — 1), перемещали ресурс Дх= 1080.

Действуя по аналогичной схеме, можно не только увеличи вать, но и уменьшать ресурс в занятой клетке (например, для учета ограничений типа Ху<Л) или занимать ранее свободную клетку, получая новые неоптимальные, но полезные на практике решения.

Отметим, что в рассмотренных выше случаях при получении других оптимальных и неоптимальных решений мы преобрази

374

вывали первоначальное оптимальное решение, перемещая неко­торый фиксированный ресурс по замкнутому циклу. Такой мето­дический прием автоматически обеспечивает выполнение огра­ничений транспортной задачи.

Рассмотрим более подробно случай, когда необходимость корректировки решения вызвана дополнительным условием типа х,-*,*< Д где /3 —заданная константа. Как уже отмечалось, такие условия не учитываются при постановке задачи (см. п. 15.3).

Пусть, например, в полученном решении (см. табл. 118) не­обходимо учесть условие х₃₁ < 100. В принципе в данном случае можно воспользоваться описанной выше процедурой. Однако в связи с тем что для удовлетворения дополнительного условия из клетки (3,1) необходимо удалить весьма большой ресурс — 6700, превышающий ресурс в любой другой занятой клетке, преобразовать имеющееся оптимальное решение с помощью одного цикла нельзя. Необходимо построение нескольких цик­лов, что значительно усложняет задачу, особенно в таблицах больших размеров. Кроме того, поскольку допустимое преоб­разование решения с помощью циклов, очевидно, не един­ственное, в любом случае остается открытым вопрос о наилуч­шей корректировке оптимального решения. В связи с этим ре­комендуется следующая универсальная процедура учета до­полнительных условий типа х,»^ < 2), обеспечивающая наи­лучшую корректировку решения (с точки зрения наименьшего отклонения целевой функции от оптимального значения). Она включает следующие шаги:

1. решение задачи без учета дополнительного условия;

1. анализ полученного решения; если выполняется ограниче­ние х,*,* < Б, процедура заканчивается, в противном случае осу­ществляется переход к третьему шагу;

3) замена условия х^* < 1> на условие х,*,* = 2), блокировка клетки (/*,/), соответствующее изменение величин А_? и Я,* (см. п. 15.3) и решение новой задачи. Полученное решение и будет наилучшей корректировкой исходного оптимального плана с учетом условия х,*у* < Ь.

Очевидно, что нецелесообразно сразу переходить к шагу 3, так как до выполнения первого шага неясно, выгодно ли в клетке (/*, у'*) размещать ресурс, равный 2). Для примера проведем коррек­тировку решения задачи 16.2, представленного в таблице 118, с учетом ограничения х_3[ < 100. Результаты представлены в табли­це 119.

375

119. Решение задачи 16.2 с учетом ограничения х₃| ^ 100 (2Г= 130 299 руб.)

\	)	1	2	3	4	5	А,
/	\Эу а,- \	101,8	104,7	110,2	112,6	114,2
1	100	1,8 3400	4,7	10,2	30,5	61,4	3400
			1 °	I °	П^9~	I 47,2
2	99,9	1,9 1840	4,8 480	10,3 1080	30,6	61,5	3400
					17,9	| 47,2
3	98,4	2,4	6,3 6700	12,0	34,0	64,0	6800
		(100)| 96,6		| 0,2	1 19,8	I 48,2
4	99,3	2,5 3400	6,4	12,3 11,4	38,7	64,5	3400
			! 1.0		| 25,4	I 49,6
5	99,2	2,6 4070	7,4	24,0	41,4	69,5	4070
			1 1.9	Г~щП	1 28,0	I 54,5
6	107,8	0,2	0,8	2,4 2120	4,8 2000	6,4 1000	5120
		Гб,2	I 3,9
7	99,5	2,3 3590	6,3	11,8	33,5	64,0	3590
			1 и	1,1	[~20Д	|_49,3
8	100,4	1,8	4,3 860	10,3	30,6	61,4	860
		1 0,4		Г°>5	| 18,4	47,6
9	98,0	3,8 3400	10,0	30,0	60,0	80,0	3400
			| 3,3	17,8	(~45И~	I 63,8
Щ		19800	8040	3200	2000	1000	\^!4040 34040^\

16.7. АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ПОТЕНЦИАЛОВ

Анализ оптимальных решений задач транспортного типа с по­мощью потенциалов основывается, во-первых, на их экономи­ческой интерпретации (см. п. 15.2), а во-вторых, на устойчивости значений потенциалов по отношению к таким изменениям ре­шения задачи, которые сохраняют расположение занятых клеток (по самой сути определения потенциалов их значения зависят только от величин Су, стоящих в занятых клетках, но не от вели­чин х,у). Указанное свойство устойчивости решений транспорт­ных задач является частным случаем устойчивости решений об­щей задачи линейного программирования.

С учетом (15.10) можно утверждать, что разность ((З_у —а,) чис­ленно равна стоимости Су транспортировки единицы груза из пункта / в пункту при условии, что грузы транспортируются толь­ко по маршрутам, соответствующим заданному решению, то есть занятым клеткам. Второе из отмеченных выше обстоятельств по-

376

зволяет усилить сделанное утверждение: при возрастании на еди­ницу объема производства и потребления продукции в пунктах / и У соответственно, то есть при сбалансированном изменении ис­ходных данных и при условии, что клетка (/, /) занята, целевая функция возрастет на величину (ру —ос,-). Аналогично можно го­ворить об уменьшении целевой функции, если объемы производ­ства и потребления в пунктах / и } уменьшатся (дополнительно при этом должно выполняться условие: снижение объема про­дукции не должно превышать величину ресурса ху, стоящую в соответствующей занятой клетке).

Отмеченные свойства потенциалов позволяют анализировать и более сложные ситуации, когда относительно небольшие изме­нения объема производства А, и В^ происходят у несвязанных поставщика и потребителя, то есть когда клетка (/, у) свободна. Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере (Ларчен-ко Е. Г. Вычислительная техника и экономико-математические методы в землеустройстве. — М: Недра, 1978. — С. 257).

Задача 16.3. Пусть имеются три поставщика и четыре потре­бителя однородного груза. Количество грузов у поставщиков — Л,-(/= 1,...,3), спрос потребителей —Д(/'= 1,..., 4), стоимость транспортировки груза — Су, руб. за 1 т. Требуется определить та­кой план перевозки грузов, при котором транспортные расходы были бы минимальны.

Оптимальный план приведен в таблице 120. Рассмотрим те­перь такую задачу: если необходимо сократить потребление про­дукции, то в каком конкретно пункте целесообразно это сделать и у какого поставщика необходимо уменьшить запас продукции?

120. Оптимальное решение задачи 16.3

Опираясь на экономическую интерпретацию потенциалов, можно сразу сказать, что в качестве указанных потребителя и по­ставщика целесообразно взять потребителя с наибольшим потен­циалом и поставщика с наименьшим потенциалом. В рассматри­ваемом примере это 4-й потребитель и 3-й поставщик. Здесь раз-

377

ность ((Зу — ос,) будет максимальной и, следовательно, мы добьем­ся наибольшего снижения транспортных расходов за счет общего уменьшения объема продукции в системе.

Аналогично, если необходимо увеличить объем потребления, то целесообразно взять потребителя с наименьшим потенциа­лом, а поставщика — с наибольшим. В рассматриваемом примере это 1-й потребитель и 1-й поставщик. Тогда разность (Ру-а,) бу­дет минимальной и, следовательно, целевая функция возрастет в наименьшей степени. Рассмотренное правило говорит только о том, как следует менять объемы продукции у поставщиков и по­требителей. Однако пока неясно, как должны измениться ресур­сы в занятых клетках, то есть неизвестно, как изменится само оптимальное решение при условии сохранения его структуры (расположения занятых клеток).

Рассмотрим, например, случай увеличения объема продукции на единицу. Как отмечалось, в этом случае целесообразно увели­чить мощности 1-го потребителя и 1-го поставщика. Однако в полученном оптимальном решении они непосредственно между собой не связаны — клетка (1,1) свободна (см. табл. 120), иначе говоря, маршрут от первого поставщика к первому потребителю не используется. На первый взгляд это парадоксально, но дело в том, что разность (Ру-а,), на основе анализа которой мы выбра­ли поставщика и потребителя, характеризует решение в целом, а не только клетку (1,1). Значит, нужно так изменить решение, чтобы, во-первых, расположение занятых клеток не изменилось, а во-вторых, чтобы при измененных значениях А_{ и В_х выполня­лись все граничные условия. Проделаем это следующим образом.

Потребитель 1 в оптимальном плане получает груз от постав­щика 3; все остальные поставщики оказываются для него менее выгодными. Увеличив потребление В_{ на единицу, следует при­нять х₃₁ = 15 + 1 = 16. Но поскольку мощность поставщика 3 не менялась, то для сохранения баланса следует уменьшить и объем поставок, которые он делает потребителю 4, то есть положить х₃4 = 6 - 1 = 5. Наконец, чтобы 4-м потребителем было получено требуемое количество груза, необходимо добавить единицу к по­ставкам от 1-го поставщика к 4-му потребителю, то есть поло­жить х₁₄ =1 + 1=2. Таким образом, несмотря на отсутствие пря­мой связи между 1-м поставщиком и 1-м потребителем (клетка (1,1) свободна), увеличение потребления В_{ произошло именно из-за увеличения запаса А\.

При уменьшении общего объема продукции в системе «по­ставщики — потребители» действовать можно по аналогичной схеме. В общем случае при больших матрицах найти новое опти­мальное решение, непосредственно преобразовывая оптималь­ный план, бывает нелегко и можно рекомендовать следующий порядок действий. На основании анализа потенциалов устанав­ливаем, мощности какого поставщика и потребителя нужно, на-

378

пример, увеличить, а затем после увеличения соответствующих величин А, и В; получаем на ЭВМ новое решение задачи. В этом случае польза от анализа потенциалов заключается в том, что мы сразу находим поставщика и потребителя, у которых необходимо увеличить объем продукции. Поиск же «наугад» может потребо­вать очень много итераций.

Обратим еще раз внимание на то, что изменение величин 4 и В_} не изменило структуру оптимального решения, а значит, и не изменило потенциалы. Именно это свойство устойчивости по­тенциалов позволяет использовать их в качестве показателей экономической эффективности. Однако необходимо помнить об относительности такой устойчивости: потенциалы изменятся, если изменения исходных данных потребуют включения в план ранее свободных клеток и исключения ранее занятых. Так, если бы в рассмотренном примере необходимо было увеличить общий объем продукции более чем на 6 единиц (например, на 7), то, действуя по рассмотренной выше схеме, мы при изменении по­ставки х₃4 получили бы х₃4 ⁼ 6 —7 = —1, что, очевидно, недопус­тимо. Таким образом, в рассмотренном примере анализ потен­циалов дает разумный результат только при приращениях про­дукции, меньших или равных 6. Именно в этом смысле мы гово­рили выше о полезности анализа потенциалов при относительно небольших изменениях общего объема продукции.

Приведем теперь несколько примеров использования потен­циалов для корректировки оптимального решения в соответ­ствии с различными вариантами дополнительных условий. При этом в качестве уже имеющегося решения примем оптимальное решение задачи 16.2 (см. табл. 118).

Пример 1. Пусть во 2-м хозяйстве объем производства свеклы увеличился на 1000 т. В каком хозяйстве следует уменьшить ее производство при условии, что общий объем поставок свеклы должен сохраниться и мощности заводов не меняются?

В данном случае А$=А₂ + 1000=4400. Необходимо найти такой

номер /, что 4'=4--1000 и при этом соответствующее изменение значения целевой функции будет минимальным: Д2= (2' — -2)^ тт. Используя формулу (15.8) для расчета целевой функ­ции через потенциалы, получим

А2^,= 1000(-а₂ + а_/).

Следовательно, для минимизации М необходимо выбрать / таким, чтобы значение а,- было наименьшим. Это значит, что объем производства свеклы необходимо уменьшить на 1000 т в 9-м хозяйстве (см. табл. 118).

В таблице 121 представлено оптимальное решение, соответ­ствующее указанному изменению объемов производства свеклы

379

во 2-м и 9-м хозяйствах. Поскольку расположение занятых кле­ток не изменилось (и соответственно не изменились потенциа­лы), можно сделать вывод о правомерности использования ана­лиза потенциалов для решения данной задачи.