16.3. Использование коэффициентов замещения

ДЛЯ ВАРИАНТНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Коэффициенты замещения в последней симплекс-таблице могут использоваться для отыскания новых решений, близких по шачению целевой функции к оптимальному и не нарушающих исходные ограничения задачи. При этом в определенных преде­лах изменения в оптимальный план могут вноситься без пересче­та всего плана. Такая корректировка основана на фундаменталь­ном свойстве решений симплексных задач —они сохраняют сною структуру (список базисных переменных), а также значения коэффициентов замещения и элементов индексной строки при незначительных изменениях небазисных переменных. В процес­се корректировки меняются только значения базисных перемен­ных и целевой функции.

Корректировка оптимального плана может быть оправдана, сени:

351

возникает необходимость развития отрасли, не вошедшей в базисное решение;

появляются дополнительные источники дефицитных ресурсов в хозяйстве или, наоборот, реальная ресурсная база по сравне­нию с предварительно прогнозируемой сужается;

увеличиваются или уменьшаются плановые задания по произ­водству той или иной продукции.

Методической основой алгоритмов корректировки остаются, рассмотренные выше соотношения (16.1) и (16.2). Речь всегда идет о введении в оптимальный план той или иной небазисной переменной. При этом для основной небазисной переменной, естественно, допустимы только положительные значения, тогда как для дополнительной (остаточной или избыточной) реальный экономический смысл имеют как положительные, так и отрица­тельные значения.

Соотношение (16.1) определяет также основное ограничение на допустимые пределы корректировки оптимального плана. А именно, поскольку ввод в план любой небазисной переменной сопровождается изменениями базисных, причем некоторые из них уменьшаются, предельно допустимое изменение плана зада­ется требованием неотрицательности уменьшающихся базисных переменных. Сформулируем это утверждение в виде конкретных правил.

Сначала рассмотрим случай введения в план основной небазис­ной переменной x^. Пусть некоторой базисной переменной х,_г> соответствует положительный коэффициент замещения. В этом случае согласно (16.1) при введении в план х_] базисная перемен­ная будет уменьшаться. Полагая новое значение х'. равным

нулю (то есть предельно допустимому значению), из (16.1) полу­чим наибольшее допустимое значение вводимой в базис основ­ной переменной х/.

х)"^ах'=ху4- (¹⁶-⁷)

Напомним, что в соответствии с правилами формирования симплекс-таблиц между индексами у_б и / имеется однозначное соответствие.

Проходя по у'-му столбцу, перебирая в нем все коэффициенты

замещения Ду>0 и выбирая среди х^^ах', /= \,...,т, наименьшее

значение Б_тт, определяем допустимый интервал значений вво­димой в базис основной переменной х/.

. о<х_;< А™.

352

При введении в план дополнительной небазисной переменной х_} (остаточной или избыточной) имеют смысл как положитель­ные, так и отрицательные ее значения. Поэтому при прохожде­нии по у'-му столбцу коэффициентов замещения и определении

величин х™^ах' по формуле (16.7) следует использовать как поло­жительные, так и отрицательные значения коэффициентов Ау (не учитываются только значения Ау=0). После определения

всех значений х^^:аХ/, /= \,...,т. находим среди них наименьшее по­ложительное значение Д^_п и наименьшее по модулю отрицатель­ное значение В^-_т. Тем самым будет определен допустимый ин­тервал значений вводимой в базис дополнительной переменной х/.

ГГ <х <П⁺

Рассмотрим теперь конкретные примеры. Введение в оптимальный план основной переменной.

Предположим, что в решенной ранее задаче (см. табл. 109) необходимо учесть следующее дополнительное условие: в связи с расширением в регионе предприятий сахарной промышленности и хозяйстве необходимо отвести 25 га пашни под сахарную свек-пу, то есть принять х₇ = 25.

Сначала нужно найти пределы допустимых значений х₇ при пводе этой переменной в оптимальный план. Для этого делим шачения базисных переменных из последней симплекс-табли­цы на соответствующие положительные коэффициенты замеще­ния из столбца, соответствующего переменной х₇. В данном случае (см. табл. 109) получим (числа округлены): 75/2,54 = 29,5; (.686/165 = 40,5; 137,5/1,62 = 84,9; 120/0,82 = 146,3. Наименьшим мастным («узким» местом) будет значение 29,5. Следовательно, иданные в исходной постановке задачи ограничения не будут нарушены, если площадь пашни под сахарной свеклой будет на­ходиться в пределах

0<х₇<29,5га. (16.8)

Значение х₇ = 25 находится в этих пределах, следовательно, фебуемая корректировка оптимального плана из таблицы 109 допустима.

Далее рассчитывают новые значения целевой функции и ба-шсных переменных, используя соотношения (16.1) и (16.2). При ном удобно использовать специальную таблицу (табл. 110).

Полученные результаты подтверждают вывод о том, что вся­кое изменение оптимального плана за счет введения основной псбазисной переменной (за исключением случая альтернативных

353

НО. Корректировка оптимального плана задачи 14.4 при введении основной переменной д:₇ = 25

Базисные переменные	Значение базисной переменной в оптимальном плане	Коэффициенты замещения по небазисной переменной *7	Произведения коэффициентов замещения на вводимую переменную	Новый план при x^ = 25
*ю (ост.)	42,5	-0,62	-15,5	58
х1 (осн.)	180	-0,82	-20,5-	200,5
х4 (осн.)	20	0	0	20
х5 (осн.)	75	2,54	64	11
х14 (ост.)	6686	165	4125	2561
х% (осн.)	800000	0	0	800000
Ч (осн.)	100	0	0	100
хп (ост.)	8300	0	0	8300
х3 (осн.)	137,5	1,62	40,5	97
х2 (осн.)	120	0,82	20,5	99,5
Х-] (ОСН.)	0	—	—	25
глевая	391631	8400	210000	181631

оптимальных решений) приводит к ухудшению плана. В данном случае:

на 20,5 га увеличилась площадь пашни под зерновыми товар­ными культурами (*!);

на 64 гол. уменьшилось поголовье свиноматок (х₅);

на 40,5 га уменьшилась площадь пашни под культурами, иду­щими на сочные корма (х₃);

на 20,5 га уменьшилась площадь пашни под зерновыми фу­ражными культурами (х₂);

на 15,5 га увеличилась площадь неиспользованной пашни (*ю);

на 4125 чел.-ч уменьшились неиспользованные трудовые ре­сурсы (х₁₄);

на 210000 руб. уменьшился чистый доход хозяйства (7).

При этом площадь пашни под культурами на зеленый корм (х₄), поголовье коров (хб) и денежно-материальные затраты хо­зяйства (х₈) остались прежними.

Для корректной интерпретации полученного результата необ­ходимо учитывать следующее:

полученный скорректированный план (см. табл. НО) можно рассматривать как оптимальное решение новой задачи с ограни чением х₇ = 25, дополняющим исходную систему ограничений (14.7). Основная особенность рассмотренного способа получения этого решения заключается в использовании уже имеющегося решения (см. табл. 109);

в принципе допустимо задать требование, нарушающее внош. полученное ограничение на вводимую переменную х₇, например положить х₇ = 100 га. Однако в этом случае для получения нового

354

оптимального плана нельзя будет воспользоваться уже имею­щимся решением (см. табл. 109), а необходимо будет решить но­вую задачу, дополнив систему ограничений (14.7) одиннадцатым ограничением х₇ = 100 и применяя процедуру симплекс-метода с самого начала.

Эти замечания относятся к введению в оптимальный план пе­ременных любых типов.

Введение в оптимальный план остаточной переменной.

В хозяйстве имеется возможность увеличить денежно-матери­альные ресурсы на 20 000 руб. Необходимо выяснить последствия и ведения в план остаточной переменной х₁₃ = -20 000 (напом­ним, что выбор знака «—» связан с экономической интерпрета­цией остаточных переменных — см. пояснение к формуле (16.4).

Здесь также сначала нужно установить пределы введения пере­менной в оптимальный план; при этом учтем, что для х_и допусти­мы как положительные, так и отрицательные значения. Разделим значения базисных переменных последней симплекс-таблицы на все ненулевые коэффициенты замещения из столбца, соответству­ющего х₁₃. Получим 42,5/(-0,0002) = -212 500; 180/(—0,0001) = ■= -1 800 000; 75/0,0004 = 187 500; 6686/(-0,034) = -196 647; 800 000/1 = 800 000; 137,5/0,0002 = 687 500; 120/0,0001 = 1200 000.

Сравнивая полученные частные, выберем наименьшие по мо­дулю положительные и отрицательные значения (Д^_1п и В^-_т со­ответственно). Дополнительно необходимо проверить, не превы­шает ли значение Д^_1п заданного ресурса в исходном ограниче­нии, соответствующем остаточной переменной х_и, и если пре­вышает, то приравняем значение В^_т к величине этого ресурса. Такое действие необходимо, чтобы предотвратить появление от­рицательных значений реально расходуемого ресурса [см. фор­мулу (16.4)]. Ограничения задачи не будут нарушены, если значе­ния дополнительной переменной х₁₃, характеризующие измене­ния денежно-материальных ресурсов хозяйства, будут находить­ся в пределах

Д_т1п<х₁₃<А^_п. (16.9)

Если среди коэффициентов замещения нет отрицательных, переменная х₁₃ может принимать сколь угодно большие по моду­лю отрицательные значения.

Для рассматриваемой задачи ограничение (16.9) примет вид

-196 647<х₁₃< 187 599 (руб.).

Требуемое значение х₁₃ находится в этих пределах, следова­тельно, корректировка плана из таблицы 109 допустима. Рассчи-

355

таем теперь новые значения целевой функции и базисных пере­менных (табл. 111).

111. Корректировка оптимального плана задачи 14.4 при введении остаточной переменной дг_и = —20 000

Базисные переменные

Значение базис­ной переменной в оптимальном плане

Коэффициенты замещения по

небазисной переменной х_п

Произведения

коэффициентов

замещения на

вводимую переменную

Новый план

при х,з = -20 000

х,0 (ост.)	42,5	-0,0002	4	38,5
Х\ (ОСН.)	180	-0,0001	2	178
х4 (осн.)	20	0	0	20
х5 (осн.)	75	0,0004	-8	83
*14 (ОСТ.)	6686	-0,034	680	6006
х6 (осн.)	800000	1	-20000	820000
х6 (осн.)	100	0	0	100
Х)7 (ОСТ.)	8300	0	0	8300
х3 (осн.)	137,5	0,0002	-4	141,5
х2 (осн.)	120	0,0001	-2	122
х'п (ост.)	0	—	—	-20000
Целевая	391631	0,37	-7400	399031
функция

Таким образом, введение в план дополнительно 20 000 руб. де­нежно-материальных ресурсов привело к следующим изменени­ям:

на 2 га уменьшилась площадь пашни под зерновыми товарны­ми культурами {х{);

на 8 гол. увеличилось поголовье свиноматок (х₅);

на 4 га увеличилась площадь пашни под культурами, идущими на сочные корма (х₃);

на 2 га увеличилась площадь пашни под зерновыми фуражны ми культурами (х₂);

на 4 га уменьшилась площадь неиспользованной пашни (хю);

на 680 чел.-ч уменьшились неиспользованные трудовые ре­сурсы (х₁₄);

на 7400 руб. увеличился чистый доход хозяйства (2).

Площадь пашни под культурами на зеленый корм (х₄) и пою ловье коров (х₆) при этом не изменились. Увеличение денежно материальных ресурсов хозяйства позволило расширить кормо вую базу и соответственно увеличить поголовье свиноматок.

Введение в оптимальный план избыточной переменной.

Предположим, что план производства молока в хозяйстве был увеличен с 3000 до 4000 ц. Необходимо выяснить возможность введения в план избыточной переменной х₉ = 1000 (напомним, что выбор знака «+» связан с экономической интерпретацией и I быточных переменных — см. пояснение к формуле 16.6).

Порядок действий здесь тот же, что и для случая остаточной переменной, но при анализе результатов необходимо учесть р;п

356

личия в интерпретации знаков остаточных и избыточных пере­менных.

После определения частных от деления значений базисных переменных на ненулевые коэффициенты замещения из столб­ца, соответствующего переменной х₉, получим следующее огра­ничение:

-2892 <х₉<+2586 (ц). (16.10)

Требуемое значение х₉ находится в этих пределах, следователь­но, корректировка плана допустима. Расчет новых значений целе­вой функции и базисных переменных приведен в таблице 112.

112. Корректировка оптимального плана задачи 14.4 при введении избыточной переменной х₉ = +1000

	Значение базис-	Коэффициенты	Произведения	НОВЫЙ ПЛЗ.Н
Базисные	ной переменной в	замещения по	коэффициентов
переменные	оптимальном	небазисной	замещения на	при х, = +1000
	плане	переменной х9	вводимую переменную
*ю (ОСТ.)	42,5	0,015	15	27,5
х1 (осн.)	180	0,023	23	167
Хц (ОСН.)	20	0	0	20
х5 (осн.)	75	0,029	29	46
Х,4 (ОСТ.)	6686	1,21	1210	5476
хя (осн.)	800000	0	0	800000
х6 (осн.)	100	-0,033	-33	133
Х,7 (ОСТ.)	8300	-2,87	-2870	11170
х3 (осн.)	137,5	-0,015	-15	152,5
х7 (осн.)	120	-0,023	-23	143
хэ (изб.)	0	—	—	1000
елевая	391631	33,1	33100	358531

функция

Увеличение плана производства молока на 1000 ц привело к следующим изменениям:

на 23 га уменьшилась площадь пашни под зерновыми товар­ными культурами (*]);

на 29 гол. уменьшилось поголовье свиноматок (х₅);

на 33 гол. увеличилось поголовье коров (х₆);

на 15 га увеличилась площадь пашни под культурами, идущи­ми на сочные корма (х₃);

на 23 га увеличилась площадь пашни под зерновыми фураж­ными культурами (х₂);

на 15 га уменьшилась площадь неиспользованной пашни (х₁₀);

на 1210 чел.-ч уменьшились неиспользованные трудовые ре­сурсы (х_и);

на 33 100 руб. уменьшился чистый доход хозяйства (2).

Площадь пашни под культурами на зеленый корм (х₄) и де­нежно-материальные затраты хозяйства (х₈) не изменились.

Таким образом, увеличение планового задания в относитель-

357

но невыгодной отрасли (молочном животноводстве) привело к сокращению двух эффективных отраслей (производства товарно­го зерна и свиноводства), что снизило чистый доход хозяйства. Использование трудовых ресурсов и пашни при этом возросло.

16.4. ДВОЙСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Как отмечалось в п. 14.8, оптимальные симплекс-таблицы прямой и двойственной к ней задач линейного программирова­ния обладают свойством полноты. Симплекс-таблица, соответ­ствующая прямой задаче, содержит всю информацию о решении двойственной задачи и наоборот, в связи с чем это последнее, как правило, самостоятельного интереса не представляет¹. Очень важно, однако, что сопоставление структур прямой и двойствен­ной задач позволяет дать содержательную экономическую интер­претацию элементов индексной строки прямой задачи, соответ­ствующих дополнительным переменным. Покажем это на конк­ретном примере.

Задача 16.1. Необходимо найти оптимальное сочетание пло­щадей многолетних трав, томатов и зеленого горошка в бригаде с площадью пашни 1000 га при наличии 10 000 т органических удобрений и 5000 чел.-дн. трудовых ресурсов. По условиям орга­низации кормопроизводства в хозяйстве в целом за счет много­летних трав должно быть получено не менее 24 000 ц зеленого корма. Другие исходные данные приведены в таблице 113.