16.2. Коэффициенты замещения

Коэффициенты, стоящие в 1-х строках и у'-х столбцах после­дней симплекс-таблицы, называются коэффициентами замеще­ния или коэффициентами структурных сдвигов. Они показывают, как изменяется значение базисной переменной из /-й строки при изменении небазисной переменной на единицу (то есть при вве­дении в оптимальный план небазисной переменной), соответ­ствующей у'-му столбцу. Аналогично элементы индексной строки определяют изменения целевой функции.

Коэффициентами замещения (или структурных сдвигов) их называют прежде всего потому, что с их использованием можно корректировать оптимальное решение по данным последней пшплекс-таблицы, «замещая» значения базисных переменных

347

небазисными. При этом существенно экономится время на при­ближение оптимального решения к новым экономическим усло­виям, возникающим после решения задачи. Например, для того чтобы иметь в оптимальном плане сахарную свеклу (ху = В, где В—некоторая константа), можно заново решить задачу, введя указанное ограничение в первоначальную систему условий. Это­го же можно добиться, скорректировав последнюю симплекс-таблицу с использованием коэффициентов замещения, введя в план значение х₇ = В.

Математической основой таких действий являются доказыва­емые в теории линейного программирования соотношения:

^х!кГ^хкГ^Ац^хР (16-1)

2'=2_ор[-(2;--Ср_р (16.2)

где X]— вводимое в план значение небазисной переменной; х^, х}₆ — оптимальное и измененное значения базисной переменной; Ац — коэффициент замещения, сто­ящий на пересечении /-й строки иу'-го столбца; 2_ори 2' — оптимальное и изменен­ное значения целевой функции; (2)—С,)— элемент индексной строки, стоящий ву'-м столбце.

Последствия включения в оптимальный план небазисной пе­ременной, ее влияние на значения базисных переменных и целе­вой функции зависят от ее типа, то есть от того, является ли она основной, остаточной или избыточной.

Соотношение (16.2) подтверждает сформулированный выше вывод о том, что развитие неэффективной отрасли, то есть вве­дение в план основной небазисной переменной, всегда будет при­водить к ухудшению (или по крайней мере к неулучшению опти­мального плана). Это прямо связано с тем фактом, что в задачах на максимизацию в последней симплекс-таблице все элементы индексной строки неотрицательны. Направление изменений ба­зисной переменной определяется знаком соответствующего ко­эффициента замещения: положительный знак Ау означает умень­шение базисной переменной, стоящей в /-Й строке, отрицатель­ный — ее увеличение.

Так, например, если хозяйство будет развивать производство сахарной свеклы, то введение в план 1 га посева сахарной свеклы приведет к следующему изменению базисных переменных (см. коэффициенты замещения в столбце А_п):

увеличится площадь пашни под зерновыми товарными куль турами (х_{) на 0,82 га;

уменьшится среднегодовое поголовье свиноматок (х₅) па 2,54 гол.;

уменьшится площадь пашни под культурами, идущими пи сочные корма (х₃), на 1,62 га;

348

уменьшится площадь пашни под зерновыми фуражными культурами (х₂) на 0,82 га.

Кроме того:

увеличится площадь неиспользованной пашни (х₁₀) на 0,62 га;

уменьшатся неиспользованные трудовые ресурсы (х_|4) на 165 чел.-ч;

не изменятся площадь пашни под культурами на зеленый корм (х₄), поголовье коров (х₆), денежно-материальные затраты хозяйства (х₈).

Чистый доход (целевая функция) уменьшится на 8400 руб.

Увеличение дефицитных, то есть исчерпанных полностью, ре­сурсов (например, выявление их резервов или дополнительное привлечение извне) будет способствовать развитию некоторых отраслей и увеличению чистого дохода. Сокращение дефицит­ных ресурсов приведет к противоположному эффекту.

Для того чтобы дать этой закономерности строгую количе­ственную интерпретацию, необходимо учесть особенности вклю­чения остаточных переменных в каноническую постановку зада­чи линейного программирования (см. п. 14.4). Для определенно­сти рассмотрим каноническое ограничение на денежно-матери­альные ресурсы хозяйства [четвертое ограничение из системы (14.9)]:

х₈+х,₃ = 800 000, (16.3)

где х₈ — денежно-материальные расходы хозяйства, руб.; х_хъ — остаточная перемен­ная, руб.

В правой части этого ограничения указаны денежно-матери­альные ресурсы хозяйства.

Из (16.3) непосредственно следует:

х₈ = 800 000 - х₁₃, (16.4)

откуда видно, что увеличению расхода дефицитного ресурса (х₈) должно соответствовать введение в оптимальный план отрица­тельных значений остаточной переменной (х|₃), а уменьшению — положительных значений.

Количественные изменения базисных переменных и целевой функции при введении в оптимальный план остаточной пере­менной определяют коэффициенты замещения и элемент индек­сной строки, стоящие в столбце вводимой переменной. Из вы­шеизложенного ясно, что при введении в план отрицательного шачения небазисной остаточной переменной (то есть при увели­чении расхода дефицитного ресурса) положительный знак коэф­фициента замещения Ау означает соответствующее увеличение шачения базисной переменной, стоящей в /-Й строке, а отрица­тельный знак — уменьшение. Значение целевой функции при ном должно возрасти. При введении в план положительного

349

значения небазисной остаточной переменной направления ука­занных изменений становятся противоположными. Так, напри­мер, на каждый рубль дополнительно привлекаемых денежно-материальных ресурсов (то есть при х₁₃ = —1) хозяйство получит дополнительно 37 коп. чистой прибыли. Характеристики эффек­тивных отраслей изменятся следующим образом (см. коэффици­енты замещения в столбце Л_ш последней симплекс-таблицы):

уменьшится площадь пашни под зерновыми товарными куль­турами (ху) на 0,0001 га;

увеличится среднегодовое поголовье свиноматок (х₅) на 0,0004 гол.;

увеличится площадь пашни под культурами, идущими на соч­ные корма (х₃), на 0,0002 га;

увеличится площадь пашни под зерновыми фуражными куль­турами (х₂) на 0,0001 га.

Кроме того:

уменьшится площадь неиспользованной пашни (х₁₀) ни 0,0002 га;

уменьшатся неиспользованные трудовые ресурсы (х₁₄) ни 0,034 чел.-ч;

не изменятся площадь пашни под зелеными кормами (х₄) и поголовье коров (хб).

Введение в план небазисной избыточной переменной позволя­ет установить, как меняется оптимальное решение при измене­нии соответствующих плановых заданий. Для примера рассмот­рим ограничение, задающее план производства молока [девятое ограничение из системы (14.9)]:

30х₆-х₉ = 3000, (16.5)

где Х(, — поголовье коров, гол.; х₉ — избыточное производство молока, ц.

Из (16.5) непосредственно следует:

30х₆ = 3000 + х₉, (16.6)

откуда ясно, что увеличению плана производства молока (30х₆) со ответствует введение в оптимальный план положительных значе ний избыточной переменной (х₉), а уменьшению — отрицательных ее значений.

По общему правилу введение в план положительного значе­ния небазисной избыточной переменной при положительном знаке коэффициента замещения Ау приведет к соответствующе­му уменьшению значения базисной переменной, стоящей в /-Й строке, а при отрицательном — к ее увеличению. Значение целе­вой функции при этом должно уменьшиться. При введении и план отрицательного значения небазисной избыточной перемен ■ ной изменения будут противоположными.

350

Так, например, при снижении плана по молоку на 1 ц (то есть при х₉-— 1) хозяйство получит дополнительно 33,1 руб. чистой прибыли. Характеристики эффективных отраслей изменятся сле­дующим образом (см. значения коэффициентов замещения в столбце Л/9 последней симплекс-таблицы):

увеличится площадь пашни под зерновыми товарными куль-гурами (х\) на 0,023 га;

увеличится среднегодовое поголовье свиноматок (х₅) на 0,029 гол.;

уменьшится среднегодовое поголовье коров (х^) на 0,033 гол.;

уменьшится площадь пашни под культурами, идущими на сочные корма (х₃), на 0,015 га;

уменьшится площадь пашни под зерновыми фуражными культурами (х₂) на 0,023 га.

Кроме того:

увеличится площадь неиспользованной пашни (х₁₀) на 0,015 га;

увеличатся неиспользованные трудовые ресурсы (х₁₄) на 1,21 чел.-ч;

площадь пашни под культурами на зеленый корм (хО и денеж­но-материальные затраты хозяйства (х₈) не изменятся.

Заметим, что снижение планового задания в относительно не-выгодной при имеющихся условиях отрасли (в молочном живот­новодстве) позволяет расширить две эффективные отрасли (про­изводство товарного зерна и свиноводство). При этом часть тру­довых ресурсов и пашни высвобождается.