Глава 16

АНАЛИЗ И КОРРЕКТИРОВКА ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 16.1. АНАЛИЗ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПОСЛЕДНЕЙ СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦЫ

Решение задачи симплексным методом позволяет получить оптимальный вариант плана, являющийся наилучшим с точки зрения выбранного критерия оптимальности и поставленных ус­ловий задачи. При этом, как известно, оптимальное решение на­ходится в последней симплекс-таблице. В качестве иллюстрации рассмотрим последнюю симплекс-таблицу задачи 14.4, постав­ленной в п. 14.3 (табл. 109). К основным блокам информации, содержащейся в ней, относятся:

собственно оптимальное решение — значения в столбце А® базисных переменных (напомним, что небазисные переменные равны нулю);

оптимальное значение целевой функции, находящееся в ин­дексной строке в том же столбце: 2^_ах = 391 631;

коэффициенты замещения (коэффициенты структурных сдвигов), расположенные в столбцах небазисных переменных;

элементы индексной строки, соответствующие небазисным переменным.

Значения элементов индексной строки называют двойствен­ными оценками, или, точнее, оценками переменных двойствен­ной задачи линейного программирования. Они показывают, как изменяется целевая функция при небольших отклонениях неба­зисных переменных от нуля (напомним, что элементы индекс­ной строки, соответствующие базисным переменным, равны нулю).

Полезной информацией является также указание на соответ­ствие дополнительных переменных и номеров ограничений, «по­родивших» эти переменные (3-й столбец табл. 109).

Учитывая, что различные группы данных характеризуют раз­личные аспекты оптимального решения, целесообразно рассмот­реть их раздельно.

1. Основные переменные, попавшие в базис, характеризуют эф­фективные отрасли хозяйства, которые целесообразно развивать для достижения максимального чистого дохода. К ним относятся:

площадь пашни под зерновыми товарными культурами Х| -= 180 га;

площадь пашни под зерновыми фуражными культурами х_г = 120 га;

площадь пашни под культурами на сочные корма х₃ = 137,5 га,

площадь пашни под культурами на зеленый корм х_А = 20 га;

поголовье свиноматок х₅ = 75 голов;

поголовье коров Х(, = 100 голов.

344

109. Последняя симплекс-таблица для задачи 14.4

Ли (*п) (ост. в огр. 2)

Лчз (*п) (ост. в оф. 4)

№ п/п (')

Базисные переменные

С,

Номера

ограничений (для

дополнительных

переменных)

■(значения

базисных

переменных)

Ап (*т) (осн.)

Л„ (х₉) (изб. в огр. 9)

Коэффициенты замещения

Л-12 (^хп)

(ост. в огр. 3)

Л|5 (*15> (ост. в огр. 6)

Л'16 (*|б)

(ост. в огр. 7)

1	*10 (ОСТ.)	0
2	X] (ОСН.)	2250
3	Хп, (ОСН.)	0
4	х5 (осн.)	4500
5	Х\4 (ОСТ.)	0
6	х8 (осн.)	-1
7	х6 (осн.)	4500
8	х„ (ост.)	0
9	х3 (осн.)	0
10	х2 (осн.)	0

Индексная строка

(^-9

42,5	-0,62	0,015	-0,72	-0,68	-0,0002	0,012	-0,012
180	-0,82	0,023	1,14	-0,005	-0,0001	-0,003	0,035
20	0	0	0	1	0	0	0
75	2,54	0,029	-0,44	0,015	0,0004	0,01	-0,01
6686	165	1,21	5,25	-14,2	-0,034	-0,52	0,36
800000	0	0	0	0	1	0	0
100	0	-0,033	0	0	0	0	0
8300	0	-2,87	0	0	0	-1	0
ш;5	1,62	-0,015	-0,28	-0,32	0,0002	-0,012	0,012
120	0,82	. -0,023	-0,14	0,005	0,0001	0,003	0,035
391631	8400	33,1	604	56,1	0,37	37,4	34,7

При этом общие денежные расходы хозяйства составят х₈ = 800 тыс. руб.

2. Основные переменные, не попавшие в базис, характеризуют не­эффективные отрасли хозяйства, которые развивать нецелесооб­разно. В рассматриваемой задаче к ним относится производство сахарной свеклы (х₇ = 0).

2. Экстремальное значение целевой функции показывает макси­мально возможный чистый доход хозяйства, достигаемый при оптимальном сочетании отраслей хозяйства (Д_11ах = 391 631 руб.). Любое другое сочетание отраслей в условиях ограниченности ре­сурсов, в том числе развитие неэффективных отраслей (придание ненулевых значений небазисным переменным), будет приводить к ухудшению оптимального плана.

4. Остаточные переменные, попавшие в базис, характеризуют недоиспользованные ресурсы, то есть соответствующие им ре­ сурсы являются недефицитными:

недоиспользованная площадь пашни х₁₀ = 42,5га;

недоиспользованные трудовые ресурсы х₁₄ = 6686 чел.-ч.

Очевидно, что увеличение недефицитных ресурсов не приве­дет к увеличению дохода хозяйства.

Формально по данным последней симплекс-таблицы можно считать недоиспользованными «все корма для свиней» (х₁₇ = = 8300 ц корм. ед. — см. табл. 109; см. также табл. 66 и систему канонических ограничений (14.9). Однако остаточная перемен­ная *15, соответствующая общему (шестому) ограничению «по всем кормам для всех животных», равна нулю, что говорит о пол­ном использовании кормов в хозяйстве. Таким образом, значе­ние х₁₇ = 8300 интерпретируется не как недоиспользование кор­мов, а как количество кормов с пашни, используемых для коров.

5. Остаточные переменные, не попавшие в базис (и соответ­ ственно равные нулю), характеризуют полностью исчерпанные, то есть дефицитные, ресурсы. Всякое увеличение дефицитного ресурса обеспечивает дополнительное развитие эффективных от­ раслей и увеличение дохода хозяйства. Поскольку в число базис­ ных не вошли остаточные переменные х_1Ь х₁₂, х₁₃, х,₅, х^, то к дефицитным ресурсам относятся:

площадь пашни, выделяемой под зерновые культуры;

площадь пашни, выделяемой под культуры на зеленый корм;

денежно-материальные ресурсы хозяйства;

общий запас кормов;

запас концентрированных кормов.

Следует, однако, отметить, что дефицитность кормов является вторичной — она обусловлена дефицитностью денежно-матери­альных ресурсов. Характерно также, что пашня в целом недоис­пользуется — на ней можно было бы произвести еще сочные кор ма, но при наличии дополнительных денежно-материальных средств.

346

6. Избыточная переменная, не вошедшая в базис (и, стало быть, равная нулю), свидетельствует о точном выполнении (без перевыполнения) заданного в соответствующем ограничении требования по производству продукции. Более того, попада­ние избыточной переменной в число небазисных свидетель­ствует о том, что перевыполнение плана невыгодно с точки зре­ния максимизации целевой функции. Соответствующие пла­новые задания можно назвать критическими — их включение в условия задачи, как правило, сдерживает дальнейшее повыше­ние эффективности хозяйства в целом. Содержательно этот факт будет подробно проанализирован в последующих пунк­тах. В рассмотренной выше задаче такой является переменная х₉, показывающая, что план производства молока точно вы­полняется (см. табл. 109).

На примере простых симплексных задач, содержащих только две основные переменные, можно дать наглядную геометричес­кую интерпретацию дефицитности или недефицитности ресур­сов. Например, на рисунке 17, дающем графическую интерпрета­цию решения задачи 14.5, видно, что поскольку линия уровня, соответствующая максимальному значению целевой функции, касается области допустимых значений в точке Е, дальнейший рост целевой функции (сдвиг линии уровня вправо и вверх) не­возможен именно из-за ограниченности площади пашни (грань ЕР) и трудовых ресурсов (грань БЕ). Если бы, например, удалось увеличить площадь пашни, то грань ЕР сместилась бы вправо и, следовательно, предельная линия уровня вместе с точкой Е так­же сместилась бы вправо. В то же время увеличение, например, числа мест для содержания коров (смещение грани СБ вверх) никак не скажется на положении оптимальной точки Е, что вполне соответствует интерпретации соответствующего ресурса как не дефицитного.