4.3. Метод решения задачи на условный экстремум лагранжа

Этот метод широко применяется при уравновешивании ре­зультатов измерений в геодезии по способу наименьших квадра­тов; его удобно использовать и при решении многих землеустро­ительных задач на оптимум. Поясним сначала этот метод на рас­смотренном в предыдущем параграфе примере. Условие 2а + 2Ъ = Ь запишем в виде

2а + 2Ь-Ь = 0.

Умножим это уравнение на неизвестный множитель к, назы­ваемый множителем Лагранжа, или коррелатой, и полученное произведение вычтем из функции. Тогда получим

Р = аЪ - к(2а + 2Ь) + кЬ.

Поскольку данная функция содержит три неизвестных (а, Ь и к), задачу можно решить путем дифференцирования ее по каж­дой неизвестной. В данном случае надо найти три частных про­изводных и приравнять их к нулю:

—=Ь-2к=0; —=а-2к=0; —=-2а-2й+1=0. да до ак

Мы получим три уравнения с тремя неизвестными, из кото­рых, зная величину Ь, можно определить значения неизвестных. Вычитая из первого уравнения второе, получим Ъ — а = 0, то есть а = Ь; тогда из третьего уравнения следует, 4а = Ь; то есть

а=Ь=—. Полевой стан должен быть квадратной формы со сторо-

Ь

ной ^а=-г, что соответствует прежним ответам.

Величина третьей переменной (коррелаты) равна ^=у- Ее

80

жономический смысл заключается в том, что она указывает, на с колько увеличивается площадь полевого стана, если периметр уиеличить на единицу (с Ь до Ь + 1).

Допустим, периметр полевого стана равен 1000 м; тогда его площадь равна 250 ■ 250 = 62 500 м². Если же периметр увеличить

г

до 1001 м, то его площадь увеличится на —=125 м .

о

Рассмотрим другой пример. Предположим, что в сельскохо­зяйственном предприятии имеется 40 тыс. руб, которые можно ■ттратить на трансформацию кустарника в пашню и на получе­ние урожая зерновых на этих площадях. Денежные затраты на освоение 1 га земли под пашню оценивают в 5 тыс. руб, а на уве­личение урожайности на 1 ц с 1 га — в 1 тыс.

Обозначим через х_х площадь трансформируемых земель, а че­рез х₂ — искомую урожайность зерновых. Тогда уравнение для чатрат имеет вид

5x1 + х₂ = 40.

Допустим, что количество дополнительно произведенной продукции в стоимостном выражении связано с неизвестными XI и х₂ следующей функцией:

2= 5х] х₂ + 10 х₂—>тах.

Требуется определить такие значения X) и х₂, чтобы 7, было максимальным и выполнялось по денежным затратам.

Для решения задачи применим метод неопределенных мно­жителей (коррелат) Лагранжа. Согласно вышеприведенной мето­дике уравнение Лагранжа будет иметь вид

7= 5х) х₂ + Юх₂ - к(Ъх_х + х₂ - 40).

Взяв частные производные по каждой переменной и прирав­нивая их к нулю, получим

=5х₂-5Л:=0; =5х₁ + 10-)Ы0; —-=-5х₁-х₂+40=0.

ах\ Ъх-1 дк

Разделим первое уравнение на 5 и вычтем его из второго. По­лучим

5х, - х₂ + 10 = 0; х₂ = 5^ + 10.

Подставив значение х₂ в третье уравнение, получим -5*1-5*,-10+ 40 = 0; 10*1 = 30,

81

откуда

Ху = 3; %2 = 25; к— 25.

Таким образом, чтобы получить максимальный выход продук­ции в стоимостном выражении (в размере 415 тыс. руб.), надо ос­воить под пашню 3 га кустарника и получить урожайность зерно­вых на этом массиве в 25 ц с 1 га. Экономический смысл корре-латы заключается в том, что при увеличении ассигнований на единицу (с 40 до 41 тыс. руб.) стоимость продукции увеличится на 25 тыс. руб.

Следует иметь в виду то, что последняя задача имеет достаточ­но условный характер, так как в хозяйствах обычно есть много участков для сельскохозяйственного освоения и мелиорации, для трансформации которых нужно использовать различные ресур­сы—денежные, материальные (удобрения, технику, семена, по­ливную воду). Поэтому в реальных расчетах количество уравне­ний будет гораздо большим, но все равно задачу можно будет ре­шить, применяя метод Лагранжа.

4.4. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

При вычислениях, связанных с землеустроительным проек­тированием, приходится встречаться с четырьмя видами вели­чин.

1. Полученные путем измерений или представляющие собой функцию непосредственных измерений. Такие величины заклю­чают в себе ошибки, зависящие от точности инструментов или приборов измерения, внешних условий, в которых измерения производятся, способов измерения и личных качеств инженера-землеустроителя. Истинные значения измеряемых величин оста­ются неизвестными. С помощью уравнительных вычислений по­лучаются (или могут получаться) их наиболее вероятные значе­ния, имеющие определенные средние квадратические или пре­дельные ошибки. Таким образом, эти значения являются приближенной оценкой измеренных величин.

1. Точные (или условно точные). К ним относятся различные постоянные (рациональные константы), а также наперед задава­емые значения какой-либо величины (например, отделяемая часть площади, расстояние между данной прямой и отыскивае­мой прямой, параллельной первой, число разверсточных единиц и т. п.).

1. Округленные величины. Прежде всего это иррациональ­ные константы (например, число я), при вычислениях округля­емые до определенного десятичного знака; ошибка округления

82

к данном случае может быть учтена с любой мерой точности. Кроме того, при вычислениях приходится сталкиваться и с другими типами округленных чисел. Таковы все данные, полу­чаемые из различных таблиц (приращений координат, нату­ральных значений тригонометрических величин и т. п.). В от­ношении этих последних истинная ошибка округления неиз­вестна; известна лишь предельная или средняя квадратическая ошибка.

4. Результаты непосредственных вычислений или постоянные величины, принимаемые в расчет при проектировании как ус­ловно точные, задаваемые с определенной степенью вероятнос­ти. К ним относятся показатели урожайности сельскохозяй­ственных культур и продуктивности животных на перспективу, данные по планируемой структуре посевных площадей, рацио­нам кормления скота и т.п. Данные величины также являются, но существу, приближенными.

Таким образом, при проведении различных расчетов в земле­устройстве, построении функциональных зависимостей и моде­лей постоянно приходится сталкиваться с приближенными зна­чениями тех или иных величин. Приближенными называют чис­ла, которые отличаются от точного значения на некую погреш­ность (ошибку), допустимую в соответствии с условиями данной задачи, и заменяют точные числа в расчетных формулах. При ра­боте с ними пользуются определенными правилами, так как ина­че эти погрешности могут существенно повлиять на результат и привести к неправильному решению.

Например, при выполнении арифметических операций необ­ходимо учитывать, что в сумме приближенных чисел верных де­сятичных знаков будет не больше, чем их имеется в слагаемом с наименьшим количеством десятичных знаков. В произведении и частном значащих цифр будет не больше, чем их имеется в ком­поненте с наименьшим количеством значащих цифр. Например, в произведении двух округленных чисел

р = X) х₂ = 424,98 ■ 0,52 = 220,9896

будет только две значащие цифры, так как величина х₂ имеет две значащие цифры. Убедиться в этом можно, изменив наименее точный сомножитель (в нашем примере число 0,52) на величину предельной погрешности округления и вновь вычислив искомое произведение:

р' = 424,98 -0,525 = 223,1145.

Погрешность произведения (в данном случае Ар = р' — р = 2,1) можно определить и без повторного вычисления по формуле для относительной погрешности произведения:

83

Д^_АХ]_ Ах₂_ 0,5 0,5_ 1 р ~^~⁺ х₂ ~ 42500⁺52~~ 104'

откуда находим

Л Р ²²¹ 0 1

Ар=-*—= =2,1.

' 104 104

Окончательный ответ можно поэтому записать так: р = 221 ± 2,1, оставляя в нем одну запасную (сомнительную) цифру. Реально от­вет задачи будет находиться в интервале 219</><223.

Таким образом, при землеустроительных расчетах всегда воз­никает проблема оценки точности произведенных вычислений, то есть степени достоверности полученного результата, доверия к нему. Это трудная и малоразработанная проблема, особенно по отношению к экономико-математическим моделям, которые как по точности коэффициентов уравнений и неравенств, так и по своему составу лишь приближенно отражают действительные ус­ловия работы предприятий.

В землеустройстве этой проблемой занимались прежде всего специалисты по точности геодезических измерений и вычисли­тельной технике. Они первыми применили технику оценки точ­ности в геодезии к землеустроительным расчетам (А. В. Гордеев, Е. Г. Ларченко, Ю. В. Кемниц, М. И. Коробочкин, А. В. Маслов, А. К. Успенский, М. В. Андриишин, В. С. Бережное, И. Ф. Полу­нин и др.). Было установлено, что основными источниками оши­бок являются:

погрешности исходных данных (сведений, выбираемых из технологических карт, результатов измерений с планов и карт, различных нормативных коэффициентов, получаемых из спра­вочников, и т. п.). Это неустранимые погрешности, они не зави­сят от метода решения задачи;

погрешности округления, возникающие (нарастающие) в процес­се счета. Чтобы уменьшить их накопление, промежуточные результа­ты записывают с дополнительными (сомнительными) знаками;

погрешности, возникающие в результате неточности приме­няемых формул, методов и моделей.

При переводе чисел из одной системы счисления в другую также появляются дополнительные погрешности, которые отно­сятся к неустранимым. Они должны быть меньше, чем погреш­ности исходных данных.

При землеустроительных расчетах, ввиду того что действия осуществляются с приближенными числами, необходимо учиты­вать два основных момента:

точность, с которой можно получить значения искомых вели­чин:

точность, с которой необходимо знать эти значения.

84

В настоящее время разработаны правила вычислений с при­ближенными числами, применение которых существенно облег­чает решение землеустроительных задач. Например, пользуясь правилами значащих цифр, можно легко показать, что при вы­числении площадей землевладений по координатам вершин многоугольников отдельные произведения можно округлять до целых чисел.

Для того чтобы оценить точность искомых величин, необхо­димо хорошо разбираться в понятиях абсолютной и относитель­ной погрешности, их связи с количеством верных значащих цифр.

Абсолютная погрешность (Д.) — это абсолютная величина раз­ности между точным числом (х) и его приближенным значением (а). Она определяется по формуле

Д = \х— а\.

В связи с тем что истинное значение величины х в большин­стве случаев неизвестно, неизвестна и истинная абсолютная по­грешность Д. Поэтому обычно пользуются предельной погреш­ностью Д_пр, которую при округлении принимают равной по­ловине единицы последнего десятичного знака: Д_окр = = Д_пр = а = 0,5 единицы последнего знака. Например, округлен­ные числа 41 и 2,5 имеют значение а, равное соответственно 0,5 и 0,05.

Относительная погрешность (е) — это величина, характеризу­ющая отношение абсолютной погрешности (Д), к самому значе­нию числа (а):

В геодезии и землеустройстве относительную погрешность обычно выражают аликвотной дробью, то есть дробью, числитель которой равен единице:

1

е=——. а/А

Знаменатель а/А выражают приближенно целым числом; чем меньше е (или соответственно чем больше а/А), тем точнее ре­зультаты вычислений. Определение относительных погрешнос­тей расчетов или измерений в землеустройстве диктуется тем, что абсолютные погрешности не всегда дают представление об искомой точности. Например, если Д = 0,1 га, то еще нельзя ска­зать, хорошо или плохо произведено вычисление площади, так

85

как если эта погрешность относится к площади 100 га, то е = 0,1 %, а к площади 10 га — уже 1 %.

В ряде случаев, когда значение абсолютной погрешности не­известно (а следовательно, нельзя вычислить и относительную), ее задают исходя из опыта, экспертных оценок или аналогичных расчетов.

Величина относительной погрешности связана с количеством значащих цифр, заслуживающих доверия. Это, по определению Е. Г. Ларченко, все цифры приближенного числа, начиная слева от первой, отличной от нуля, и направо до цифры, имеющей по­грешность не больше единицы.

Пример вычисления погрешности при разном количестве зна­чащих цифр приведен в таблице 2. Из нее видно, что чем меньше значащих цифр, тем больше относительная погрешность.

2. Погрешность записи приближенных чисел в зависимости от числа значащих цифр

Значение

приближенного

числа

Количество значащих цифр

абсолютной

Значение погрешности

в процентах

относительной

в долях единицы

0,00408	3	0,000005	0,1225	1:816
5,850	4	0,005	0,0085	1:1176
350,26	5	0,0005	0,0014	1:71429
4,07602	6	0,000005	0,0001	1:1000000

Числа всегда следует записывать, исходя из правил определе­ния значащих цифр. Например, площадь земельного участка, вычисленная с точностью до 0,1га, должна записываться не 100,12 а 100,1 га. Если же угол в 60° измерен с точностью до ми­нуты, то он должен быть записан в виде 60°00'.

При оценке точности результатов вычислений с приближен­ными числами, а также при определении точности любых функ­ций используют методы дифференциального исчисления.

Для функции общего вида у=Дх) имеем соотношение Ау=Дх)Ах.

Разделив на у, получаем относительную погрешность функ­ции:

у Ах)

Данную формулу можно получить также, дифференцируя на­туральный логарифм исходной функции.

Рассмотрим конкретный пример. Среднее расстояние от хо­зяйственного центра до севооборота (Л) в зависимости от его площади (Р) часто определяют по формуле

86

к=кЛ>,

где К— коэффициент, учитывающий положение хозяйственного центра на терри­тории (в центре, в углу, на середине диагонали и т. д.), а также искривление дорог и т. п. Примем это значение в нашем примере равным 3,183 и будем считать этот ко­эффициент точной величиной.

Тогда

АК=/'(Р)АР, или ДД=-^=ЛР.

Пусть Р= 25,0 + 0,05 км², тогда

ДЛ=^р^-0,05=0,0159; Л=3,183725=15,9км.

Относительная погрешность будет равна

е=-

0,0159 1

15,9 1000'

Эту погрешность можно определить также путем дифферен­цирования выражения

ЫК = \пК+-\пР.

2

Имеем

АЯ _ 1 АР 0,05 1 ^0+— -

Я 2 Р 50 1000 Если функция зависит от нескольких независимых аргументов

у=Лх\, х₂, .-, х„), то абсолютную погрешность можно выразить формулой:

ау=фс_их₂, ..., х_п), или

^п ЪТ

/ = 1 ОХ I

87

Предельная абсолютная погрешность функции будет равна:

Ах,

дХ:

(Лу)пр^Х / = 1

где Ах/ — предельные погрешности аргументов.

Вычисленная по данной формуле погрешность при значитель­ном числе аргументов будет сильно завышена, поэтому при п > 3 за предельную погрешность функции общего вида Е. Г. Ларченко рекомендовал взять утроенную среднюю квадратическую по­грешность (ошибку), которую вычисляют по формуле

(Ду)„_р=3/я_у=з/1(|^/и_Х|.)².

На основе данных рекомендаций в МИИЗ Е. Г. Ларченко, М.И. Коробочкиным, В. С. Бережновым и другими учеными были даны предложения по проведению арифметических операций с приближенными числами (Задания и методические указания по применению вычислительной техники для решения инженерно-экономических задач. — М.: Недра, 1967. — С 7 — 8; Ларченко Е. Г. Вычислительная техника и экономико-математические методы в землеустройстве. — М.: Недра, 1973. — С.29 — 34).

Суть их сводится к следующему.

При сложении и вычитании приближенных чисел:

выбирают компонент (слагаемое, вычитаемое или уменьшае­мое) с наименьшим количеством десятичных знаков;

остальные компоненты округляют, оставив в них на один-два знака больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим коли­чеством десятичных знаков;

выполняют арифметические операции (сложение или вычита­ние);

полученный результат округляют, оставив в нем столько деся­тичных знаков, сколько имеется в компоненте с наименьшим их количеством.

При умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня:

выбирают компонент с наименьшим количеством значащих цифр;

все остальные округляют, оставив в них на одну-две значащие цифры больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим ко­личеством значащих цифр;

производят соответствующие операции;

полученный результат округляют до стольких значащих цифр, сколько их имеется в наименее точном компоненте.

88

Рассмотрим, чем объясняются данные правила, на примере оценки точности суммы приближенных чисел:

5= Х[ + х₂ + ... + х_п,

с погрешностями Дх_ь Дх₂, ..., Дх„.

Взяв полный дифференциал суммы ^ и приняв, что диффе­ренциалы слагаемых равны погрешностям, получим

я А5'=АХ] +АХ2 + ...+ Дх„ = Х^/-

/=1

Относительная погрешность суммы составит

п

Д»У 1 = 1

/ = 1

Так как истинные значения погрешностей обычно неизвест­ны, приходится иметь дело с предельными погрешностями Ь.8^.

1 = 1.

Очевидно, предельная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности числа, имеющего наименьшее, количество десятичных знаков. Поэтому в сумме нет смысла сохранять больше десятичных знаков, чем их имеется в слагаемом с наименьшим их количеством.

Для приближенной оценки точности суммы может быть ис­пользована следующая формула:

Дб'_Пр=ал/3«,

где п — количество слагаемых; а — предельная погрешность округления, равная для всех слагаемых.

Например, если при составлении проектной экспликации зе­мель сельскохозяйственного предприятия, землепользование ко­торого состоит из 133 отдельных участков, площадь которых опре­делена с округлением до 0,1 га (а = 0,05), то предельная погреш­ность Д/^р вычисления площади всего хозяйства будет равна:

Д/> =0,05-73133=1га.

89

Если же площади этих участков вычислены с округлением до 1 га (а = 0,5), то

ЛР_пр =0,5-^3.133 =10га.

Таким образом, чем с меньшей точностью вычислены значе­ния площадей отдельных участков, тем ниже точность вычисле­ния и общей площади землепользования хозяйства.

Во многих случаях перед землеустроителями стоит обратная задача: как по заданной погрешности функции определить абсо­лютные и относительные погрешности аргументов? Примени­тельно к приведенному выше примеру это означает: с какой точ­ностью должны быть вычислены значения площадей отдельных участков, если общую площадь землепользования требуется знать, например, с округлением до 0,1 га?

Исходя из вышеприведенной формулы, можно записать:

а=-

Если п = 133, А₁5^,_пр = 0,05, то

а= °'⁰⁵ =0,0025.

73-133

Однако в действительности данная задача (так называемая об­ратная задача теории погрешностей) гораздо сложнее. Поскольку здесь имеются всего одно уравнение и несколько неизвестных погрешностей аргументов, она может быть решена только при некоторых дополнительных допущениях или условиях. В земле­устроительных задачах за такое условие часто принимают «прин­цип равных влияний», то есть считают, что все частные прира­щения -—Ах,- одинаково влияют на предельную абсолютную

или относительную погрешность функции.

Например, требуется определить, с какой точностью надо из­мерить длину и ширину приусадебного участка для ведения лич­ного подсобного хозяйства, имеющего форму прямоугольника, чтобы в свидетельство на право собственности на землю была за­писана площадь, имеющая абсолютную погрешность не более 0,01га. Примерная длина участка равняется 100 м (я =100), а ширина — 50 м (Ь — 50).

Напишем функцию определения площади:

Р=аЬ.

90

Возьмем ее натуральный логарифм

\пР=\па + \пЬ.

Дифференцируя эту функцию по а и Ъ, имеем

АР__Аа^ АЬ_ Р ~~а ⁺ Ь '

Согласно принципу равных влияний принимаем, что

Да а

=

АЬ ь

Тогда, учитывая, что АР = 0,01, можно записать:

Да_Д? АЬ_АР а~ Р' Ь~ Р'

Отсюда

_ОА ДР _д АР а 0,01 0,01 . _А, 0,01 50_ЛС

2Аа=—-а; Аа= ^=-ЧгЧг-=1^м; &Ъ=-?——0,5м.

Р Р 2 0,50 2 0,50 2

Таким образом, чтобы знать площадь приусадебного участка с точностью до 0,01 га, его длину и ширину достаточно измерить с точностью соответственно 1,0 и 0,5 м. Такое измерение индиви­дуальных участков можно произвести по крупномасштабным фо­топланам.

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение аналитической модели.

1. Чем отличаются аналитические модели от других математических моделей, применяемых в землеустройстве?

1. Приведите примеры аналитических моделей в землеустройстве.

1. Перечислите основные свойства аналитических моделей.

1. Что является признаком наличия у аналитической модели (функции) экстре­мума?

1. В чем сущность метода Лагранжа?

1. С какими видами величин приходится иметь дело в расчетах с использовани­ем аналитических моделей?

1. Что такое приближенное число?

1. Дайте определение абсолютной и относительной погрешности.

10. Как определить количество значащих цифр в приближенном числе? Что они из себя представляют?

10. Назовите правила выполнения арифметических операций с приближенны­ми числами.

10. Как определить точность функции по заданным погрешностям аргументов? Как установить абсолютные и относительные погрешности аргументов по заданной погрешности функции?

91