97. Исходная транспортная таблица задачи 15.6, в которой учтены требование сбалансированности задачи и первые три дополнительных условия*

1 2 3 4 Л,.

1. 

   35 38 40 47

1. 18 18 21 | 0 |

1. 10 11 13 12

5 15 22 18 24

6 20 18 19 22 7 (фикт.) 0 0 0 0

В_] 2100 1700 I 600 | | 550 [

550 1000 450 600 800 1550

*Величины, изменившиеся в результате учета дополнительных ограничений, обведены. Кроме того, в результате учета 3-го ограничения вычеркнута 4-я строка таблицы и с учетом требования сбалансированности в таблицу введена строка с фиктивным источником ресурса. Предполагается, что в клетки (2,4), (3,3) и (4,4) уже внесены ресурсы, равные 300, 450 и 150 соответственно.

После получения транспортной таблицы, удовлетворяющей требованию сбалансированности и дополнительным условиям, находят оптимальное решение методом потенциалов или любым иным.

Вырожденные решения транспортной задачи.

Покажем на конкретных примерах, что вырожденность (ра­венство нулю некоторых базисных переменных) не усложняет поиск оптимального решения. Фактически мы это уже констати­ровали, рассматривая методы поиска опорного плана и метод по­тенциалов. Отметим еще раз, что указанное качество методон обеспечивается тем, что в них предусмотрены правила выбора условно занятых клеток. Если от этих правил отказаться, то будет невозможно вычислить потенциалы и соответственно прокоыт ролировать решение на оптимальность, а также построить замк нутый многоугольник (цикл) для улучшения решения.

328

Рассмотрим начальную транспортную таблицу задачи 15.6 (табл. 97). Применяя метод аппроксимации, найдем соответству­ющее опорное решение (табл. 98).

На первом шаге реализации данного метода была заполнена клетка (1,4). При этом ресурсы А_х и В_л согласно пятому шагу ме­тода аппроксимации уменьшатся до нуля. После этого четвертый столбец был вычеркнут, а первая строка с нулевым значением ре­сурса А\ сохранена. На следующем шаге этот нулевой ресурс за­полнил клетку (1,3) — появилась условно занятая клетка, что и определило вырожденность опорного решения.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. В принципе на первом шаге можно было бы вычеркнуть не только четвертый столбец, но и первую строку. Последующая процедура метода аппроксимации все равно дала бы допустимое решение задачи. Однако число занятых клеток в этом допустимом решении было бы меньше (т + п — 1), что не позволяет применить метод потен­циалов. Чтобы довести число занятых клеток до (т + п - 1), при­шлось бы некую подходящую (обеспечивающую в дальнейшем по­строение необходимых циклов) клетку объявить условно заня­той, то есть заполнить нулем. При этом пришлось бы руковод­ствоваться двумя правилами: 1) за условно занятую клетку надо принимать ту, которая не образовывает с другими занятыми клетками замкнутых многоугольников; 2) условно занятой мож­но объявлять только ту клетку, которая впоследствии, попадая в цикл, находилась бы в положительной вершине многоугольника. В противном случае при перемещении поставок по циклу и улуч­шении плана может нарушиться условие неотрицательности пе- ; ременных (х,у>0). Выполнение этих правил является довольно сложной процедурой даже для сравнительно простых транспорт­ных таблиц, а в больших таблицах вообще нереально. Именно ;то обстоятельство делает практически полезным тот алгоритм метода аппроксимации (так же, как и метода минимального эле­мента), который был изложен ранее. Этот алгоритм автомати­чески находит подходящую условно занятую клетку, он же легко реализуется на ЭВМ.

При улучшении опорного решения до оптимального методом потенциалов с условно занятыми клетками вырожденного реше­ния необходимо работать так же, как и с обычными занятыми. Проиллюстрируем это утверждение на примере полученного опорного решения. В таблице 99 показан процесс преобразова­ния опорного решения методом потенциалов. Согласно алгорит­му этого метода испытуемой должна быть клетка (1,2), при этом перемещаемый по циклу ресурс х_т{п равен нулю. Очевидно, что шачение целевой функции при таком преобразовании решения пе изменится (см. 15.13). Не изменится также расположение кле­ток, занятых ненулевым ресурсом. Однако в целом перечень заня­тых клеток, включая условно занятые (а значит, и список базис-

329

©

			98. Нахождение опорного решения задачи 15.6				методом аппроксимации шаг 1 шаг 2 шаг 3				шаг 4	шаг 5	шаг 6	шаг 7
		1	2	3 •	4	А		И;	И;	V-;	Ц;	Ц/	И(	Ц/
Г?\ •		35	38	■ 40	■ 47	550		7	2
^				0	550 '		0
^- •		18	18	21	0	1 ААА.		3	3	3	3*	0	0
^		400		600			400
'т)	3 . . .	10	11	13	12	450		1	2	2	2	1	1	1
^и			450
'Г)- •		15	22	18	' 24	600		2	4	4*
ч2У			600
^	6 ■ ■ ■	20	18	19	• 22	800		2	1	1	1	2
^±/		800
	7 (фикт)	0 900	0 650	0	0	1550		0	0	0	0	0	0	0
	*у			600	550 .	4950	4950
		4300-900	4±ео- 650
шаг 1	Ц/	15	16	■ 19	. 23*
шаг 2	IV	15	16	■ 19*
шаг 3	IV	2	4	2
шаг 4	(V	2	0	2
шаг 5	I1/	2*	0
шаг 6	И/	8*	7
шаг 7	И/	10	11*

0

99. Потенциалы и оценки для опорного решения задачи 15.6

\^	у	1	2	3	4
/	\ру а,- Х^	84	84	87	94
1	47	35	+ 38	40	47 550
		-2	;--]-"'
2	66	18 400 Г	18	__, 21 600 +	0
			!" о		| -28
3	73	| 10	| 11 | 450	13	12
		! _1		1 -1	-9
5	62	1 15	1 22 ■600	18	24
		1 -7		1 -7	1 "8
6	64	' 20 800 1	! 18	19	22
			| | -2	г^~	1 "8
7 (фикт.)	.84	+ [ _ _«_ _ 900	650	0 -3	0
					| -10

ных переменных) изменится. Соответственно изменятся потен­циалы и оценки незанятых клеток (ср. табл. 99 и 100). Именно это обстоятельство делает преобразование решения при х_т!п = 0 необходимым шагом алгоритма потенциалов. Только после этого шага и проверки нового решения можно установить, достигнут оптимум или необходимо продолжить поиск. На практике часто оказывается, что после указанной приостановки изменения зна-

100. Оптимальная транспортная таблица задачи 15.6

/■	У		1		2		3	4
	\Ру	85			85		88	94
1	47		35	0		38	40	47 550
			-3				-1
2	67	400	18			18	21 600	0
					|	0		-27
3	74		10	450		11	13	12
			-1				-1	1 -8
5	63		15	600		22	18	24
			-7				1 -7	-7
6	65	800	20			18	19	22
						-2	1 -4	1 -7
7 (фикт.)	85	900	0	650		0	0	0
							1 -з	1 "9

331

чений целевой функции опять возобновляется «нормальная» ите­рационная процедура — целевая функция снова начинает возрас­тать (в задачах на максимум).

Подчеркнем еще раз: в общем случае равенство нулю х_т1п и соответственно неизменность значения целевой функции при преобразовании решения на данном шаге само по себе не может расцениваться как достижение оптимального решения (хотя в принципе этого исключить нельзя — именно такая ситуация складывается в рассматриваемом примере, где полученное реше­ние оказывается оптимальным). Очевидно, это означает опти­мальность и предыдущего решения, однако утверждать это с дос­товерностью можно только после строгого выполнения всех предписаний метода потенциалов (см. табл. 100).

Особенности формирования окончательного решения несбалан­сированных задач и задач с дополнительными условиями.

Исходная транспортная таблица (табл. 97), с которой начина­ется применение методов поиска оптимального решения задачи 15.6, существенно отличается от таблицы 95 из формулировки ус­ловия задачи. Это порождает определенную специфику форми­рования окончательного решения на основе оптимальной транс­портной таблицы (см. табл. 100), что вообще характерно для из­начально несбалансированных задач и задач с дополнительными условиями.

Для рассматриваемого примера последовательность формиро­вания окончательного решения такова:

1. учитывается изначальная несбалансированность задачи, ко­торая содержательно выражается в наличии избытка площади пашни (1550 га) по сравнению с общей площадью посева культур. Поскольку фиктивной культуре реально ничего не соответствует, то 7-я строка вычеркивается из оптимальной таблицы. Посколь­ку же клетки (7,1) и (7,2) этой строки были заняты, то содержа­тельно такое вычеркивание означает следующее: исходя из целе­вой установки задачи (максимизации сбора кормов), именно на 1-м и 2-м участках желательно оставить неиспользованными 900 и 650 га соответственно (всего 1550 га);

1. в таблице восстанавливается 4-я строка, вычеркнутая в свя­зи с учетом третьего дополнительного условия. Одновременно и клетку (4,4) вносится площадь 150 га, отводимая под картофель;

1. в клетку (3,3) вносится площадь 450 га, которая согласно 1-му дополнительному условию на 3-м участке должна быть от ведена под однолетние травы;

1. в клетку (2,4) вносится площадь 300 га, которая согласно 2-му дополнительному условию на 4-м участке должна быть от ведена под вико-овсяную смесь;

5) проверяется выполнение 4-го дополнительного условия х₁₂< 100, не учтенного при постановке задачи. Согласно получен ному решению (см. табл. 100) данное условие выполняется, еле-

332

довательно, дополнительная корректировка таблицы не требует­ся (ситуации, когда такая корректировка нужна, будут рассмот­рены в следующей главе).

С учетом всех проведенных операций, несбалансированности и дополнительных условий окончательное решение задачи при­ведено в таблице 101. Максимально возможный общий сбор кор­мов составил 99 450 ц корм. ед.