96. Сбалансированная исходная транспортная таблица задачи 15.6

}

А:

1	35	38
2	18	18
3	10	11
4	20	25
5	15	22
6	20	18
7 (фикт.)	0	0
в,	2100	1700

40 21 13 30 18 19 0 1050

47 26 12 40 24 22 0 1000

550 1300 900 150 600 800 1550

Вопрос интерпретации полученных результатов с учетом включения в исходную матрицу фиктивных объектов рассматри­вается ниже.

Задачи с дополнительными условиями.

Сначала рассмотрим дополнительные ограничения типа

х,*_у* > Д

(15.18)

где /*,/* — некоторые фиксированные значения индексов /иу, Л —заданная кон-

станта.

При наличии такого ограничения данные о ресурсах /*-го по­ставщика и у*-го потребителя ресурса преобразовываются в транспортной таблице следующим образом:

4*=4*-А 5).=5,*-Д

где А\,, В'^ — новые значения объемов ресурса.

(15.19)

Очевидно, чтобы задача не теряла смысла, должны выпол­няться условия:

Я<Л,*; В<В_Г.

Помимо изменений транспортной таблицы в соответствии с (15.19) необходима проверка новых значений А-*мВ^*. Если /II*=0, то из транспортной таблицы вычеркивается г*-я строка.

325

Если 5у*=0, то вычеркивается у*-й столбец. При 4^г*=0и2у>=0 вычеркиваются /*-я строка и/*-й столбец.

Содержательно условия (15.18) и (15.19) означают, что /*-й по­ставщик гарантированно поставляет /*-му потребителю ресурс объема Э. Кроме того, если это будет выгодно с точки зрения до­стижения оптимального значения целевой функции, при Л/*>0и5у*>0 допускается превышение указанного объема. Одно­временно с операцией (15.19) необходимо «запомнить», что фак­тически в клетку (/'*, у*) уже помещен ресурс Д хотя формально этот факт в транспортной таблице отражать не нужно.

К ограничениям типа (15.18) относится первое ограничение из задачи 15.6 (его формализованная запись х₃з>450).

Соответственно в транспортной таблице 96 необходимо про­вести следующие изменения:

4=4з-⁴⁵⁰⁼⁴⁵°; '^=^-450=600. (15.20)

После решения задачи и получения оптимального плана дан­ное число вносится в клетку, то есть прибавляется к значению х^з- Если в процессе решения х^=0, то х₃з = 0 + 450 и ограниче­ние выполняется по нижней границе. Если хзз>0, то ограниче­ние принимает вид х₃₃ > 450.

Поскольку новые значения ресурсов не равны нулю, дополни­тельные изменения транспортной таблицы не производятся.

Перейдем к рассмотрению дополнительных ограничений типа

х,у = 2). (15.21)

Первоначальные действия по учету таких ограничений анало­гичны действиям для случая ограничений вида х,у > Б. Тем са­мым в клетку (/*, /*) уже фактически будет помещен ресурс Д

Дальнейшие действия зависят от значений величин А[*иВ'^.

Если оказывается, что одна из величин А-*иВ'^* (или обе) равны нулю, алгоритм полностью подобен случаю х,у > В. Если же обе указанные величины оказались больше нуля, то дополнительно проводится изменение соответствующей стоимости транспорти­ровки С/у. При этом новое значение С,-*,* зависит от того, мини­мизируется целевая функция 2жш максимизируется.

Если целевая функция минимизируется, то значение С,у необ­ходимо сделать очень большим (намного больше любой величины Су из исходной транспортной таблицы). В результате такой заме­ны алгоритм поиска оптимального решения не будет размещать в клетке дополнительный ресурс, так как из-за большой величины Су это невыгодно. Соответственно при максимизации целевой функции новое значение С/у необходимо сделать очень малым

326

(намного меньше любой величины Су из исходной транспортной таблицы) — например, положить его равным нулю.

Указанное изменение величины С,-*,* называется блокировкой оценки клетки (/*, /*). Практически вместо оценки клетки С,*,* ставится искусственная оценка М. При этом полагается, что М—> 0 при решении задачи на максимум и М—> °о при решении задачи на минимум. Такой прием, который также проводится до решения задачи, позволяет не только блокировать оценку, но и за счет приведения М к экстремальному значению не допустить попадания ресурса в блокированную клетку¹.

В рассматриваемом примере (задача 15.6) к ограничениям типа (15.21) относятся второе и третье, которые можно записать как х₂4=300; х₄₄ = 150. Соответственно в транспортной таблице (табл. 96) нужно провести следующие изменения (учтен тот факт, что изменение величины 5₄ должно проводиться дважды):

4=^-300=1000; Д^=Я₄-300=700; 4=Л4-¹⁵⁰=°; Щ=Щ~150=550.

Поскольку второе ограничение (х₂4 = 300) не привело к нуле­вым значениям величин 4^И^> необходима блокировка оценки клетки (2,4). Для этого считают, что С₂₄ = М-> 0. Кроме того, по­скольку окончательное значение величины Л) равно нулю, чет­вертую строку следует вычеркнуть из таблицы.

Помимо рассмотренных выше ограничений на практике встречаются дополнительные ограничения типа

Х;*у*<2) ИЛИ /)<Х_;*_у*<1).

Таким, например, является четвертое ограничение из задачи 15.6.

Ограничения этого типа не учитываются при постановке зада­чи (то есть до начала ее решения). Их анализ ведется после полу­чения оптимального решения (см. далее). При этом возможны следующие три случая:

1. если заданное ограничение х^<Б или 1><х₍*_у*<1> выпол­няется, полученное решение задачи принимается без изменений;

1. если ограничение х,у<1) не выполняется, то по правилу

построения цикла величина Ах^ (х,'*_у*=х₍*у*-Дх₍*_у*=/)) переме­щается по циклу, приводя таким образом решение задачи к вы-

¹ Следует иметь в виду, что в ряде исключительных случаев прием блокировки оценки не срабатывает и в клетку попадают значения х,»у > 0. В таких случаях зада­ча с поставленным ограничением не имеет решения (система условий задачи несов­местна).

327

полнению условия х,'*у* = 1). Доводить оптимальный план до вида х/*у*</) нецелесообразно, так как это приведет его с точки зре­ния изменения целевой функции к еще большему ухудшению.

Аналогичным образом рассматривается ограничение Х><х_;*_у*<1>. При его невыполнении по циклу перемещается такое значение Ах,-.,-», которое наносит наименьший вред оптимальности задачи;

3) если значение Ах,*,-*, перемещаемое по циклу, попадая в вер­шины с отрицательными знаками, нарушает условие неотрица­тельности переменных (х,у>0), то данная задача при поставлен­ных условиях не имеет решения.

С учетом всех необходимых изменений исходная транспортная таблица задачи 15.6 примет вид, представленный в таблице 97.