85. Исходные данные к задаче 15.5

Севообороты

Удельные затраты на перевозку кормов, руб. на 1 т

ферма 1 ферма 2 ферма 3 ферма 4 ферма 5

Ресурсы севооборотов, т

Полевой № 1	55	30	40	50	15	49
Полевой № 2	35	30	100	45	60	63
Кормовой	40	60	95	55	25	58
Потребности ферм	40	40	20	30	40
в кормах, т						170

86. Нахождение опорного решения задачи 15.5 методом минимального

©• ©

элемента*

	\ 1	\г	3	4		5	Л;
. . 1. . .	. .- . 5.5 .	. ... ао.	. . . 40. 9	. . .50	40	.15 .	49. . . . 9
2	• 35	■ зо	100	45		60	«
	23"	40 -					24
3	40 17-	60	95 И	55 30		25	44-11
щ	40-	"ГО	20 11	30	40		"\ 170 170^\

© ©

©

* Числа в кружках указывают последовательность вычеркивания столбцов и строк. Значения базисных переменных опорного решения выделены полужирным шрифтом.

Проверка решения, указанного в таблице 86, по числу за­нятых клеток, а также на выполнение ограничений типа (15.2) и (15.3) показывает, что оно может быть принято в качестве опорного. Значение целевой функции, соответствующее этому решению, равно 2= 9 • 40 + 40 • 15 + 23 ■ 35 + 40 ■ 30 + 17 ■ 40 + + И-95+ 30-55 = 6330 руб.

Метод аппроксимации (метод Фогеля).

Суть метода аппроксимации заключается в том, что на каждом шаге выбор очередной клетки, заполняемой ресурсом, осуществ­ляется не на основе строго локальных оценок стоимостей Су, как в методе минимального элемента, а на основе расчетов так назы­ваемых штрафов¹, позволяющих приближенно оценивать полез­ность данного шага с точки зрения скорейшего приближения к оптимальному решению с учетом состояния таблицы на следую­щем шаге.

'Таха X. Введение в исследование операций. Кн. 1. — М.: Мир, 1985. — С. 216.

312

Схема метода аппроксимации для случая минимизации целевой функции такова.

1. По каждой строке и столбцу находят два минимальных зна­чения Су.

1. Определяют их разности (штрафы) ц,-, /= 1,...,т (для строк) и ц_/; }= I,...,п (для столбцов).

1. Из всех разностей выбирают наибольшую ц_тах.

1. По строке (или столбцу), к которой относится ц_тах, в клет­ку, где размещается наименьшее значение Су, записывают значе­ние ху, равное наименьшей из соответствующих величин А-, и В_у

1. Определяют новые значения указанных величин А₁ и В/.

А\=А/ - Ху\ 2»у=В^ - ху.

6. Если Л/=0 и 2?у>0, то из таблицы вычеркивают соответству­ ющую строку и далее с этой строкой не работают. Если Д->0 и -8/=0, то вычеркивают соответствующий столбец. Если обе

величины А- и #у равны нулю, то вычеркивают только (!) строку или только столбец (но неодновременно столбец и строку). С ос­тавшимся столбцом (строкой), имеющим нулевое значение

В)(А1), далее работают, как с нормальным столбцом (строкой).

7. Далее операции повторяются до тех пор, пока в таблице все строки, кроме одной (или все столбцы, кроме одного), не ока­ жутся вычеркнутыми. Оставшиеся ресурсы АЦВ'^) заносят в со­ ответствующие клетки последней невычеркнутой строки (после­ днего невычеркнутого столбца). Полученное решение проверяют так же, как и при использовании метода минимального элемента.

При решении задач на максимум приведенный алгоритм ме­няется только в двух пунктах: в п. 1 вместо минимальных нахо­дят два максимальных значения Су, а в п. 4 заполняют клетку не с наименьшим, а с наибольшим значением Су.

При реализации приведенного алгоритма возможны некоторые осложнения (напоминаем, что мы рассматриваем случай миними­зации целевой функции). Например, в п. 3 не одна, а несколько неличин |Я/ и цу могут иметь одинаковое наибольшее значение. В этом случае в качестве дальнейшей расчетной можно выбрать лю­бую из них, однако опорное решение можно улучшить (прибли­зить к оптимальному), если в качестве дальнейшей взять ту из ве­личин Ц./ или Цр для которой в соответствующих строках и столб­цах находится наименьшее значение Су. Если при этом наимень­шее значение достигается несколькими Су, то для решения берут ту клетку, которую можно заполнить наибольшим значением ху.

Как уже отмечалось, в случае, когда 4'=0и6у=0, можно вы­черкнуть либо /-ю строку, либоу'-й столбец. Для того чтобы при­близить опорное решение к оптимальному, целесообразно со-

313

1л>

4^