Глава 15 распределительная (транспортная) модель

15.1. ПОСТАНОВКА РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Некоторые широко применяемые методы линейного про­граммирования приспособлены для решения определенного класса задач; их использование дает большие преимущества по сравнению с симплекс-методом (применимым для любых задач линейного программирования). Наиболее распространенным из них является распределительный метод, позволяющий в ряде слу­чаев существенно упростить расчеты, повысить точность вычис­лений и снизить затраты времени на ввод исходной информа­ции.

Идея этого метода принадлежит отечественным ученым (А.Толстой, Л.В.Канторович), которые в 1939—1940гг., по су­ществу, поставили и решили транспортную задачу с использова­нием метода потенциалов. Аналогичный метод, отличающийся лишь небольшой деталью, был предложен независимо в 1951г. американским ученым Дж. Данцигом и назван им модифициро­ванным распределительным методом (в зарубежной литературе он называется методом МОБ1).

Первоначально распределительный метод применялся в зада­чах, связанных с транспортировкой грузов, их распределением между несколькими пунктами отправления и приема; поэтому он известен также под названием «транспортная задача». Суть ее заключается в следующем.

Заданы т источников ресурса и п пунктов его потребления. Запасы ресурса в источниках составляют А-„ /= \,...,т, потребно­сти — Вр ]= 1,...,п. Стоимость транспортировки единицы ресурса от /-го источника ку'-му потребителю— Су, ху — количество ре­сурса, транспортируемого от /-го источника ку'-му потребителю. Требуется определить такие значения ху, при которых общие транспортные расходы будут минимальны. Задача предполагает­ся сбалансированной; общий запас ресурса у поставщиков и об­щий спрос на него у потребителей равны:

303

т п

/=1 у=1

Такую задачу называют закрытой; если же этот баланс не вы­держивается, транспортная задача является открытой.

С учетом условия сбалансированности модель транспортной задачи может быть сформулирована следующим образом.

Целевая функция:

2= 2СуХу->тт. _(15Л)

Ограничения по запасам:

п

2>,у=4-, 1=Ъ-,т. (15.2)

/=1

Ограничения по потребностям:

т

%Ху = В_р У=1,...,«. (15.3)

/ = 1

Условие баланса:

т п

Х4= X⁵/- (15.4)

( = 1 у'=1

Условия неотрицательности:

х,₇>0, /= 1,...,т, у'=1,...,и. (15.5)

Из данной модели видны важнейшие отличительные особен­ности распределительных (транспортных) задач:

условия задачи описываются только уравнениями (в симплек­сном методе ограничения задачи описывались и неравенствами);

все переменные выражаются в одних и тех же единицах изме­рения;

во всех уравнениях коэффициенты при переменных равны единице;

каждая переменная встречается только в двух уравнениях сис­темы ограничений: в одном по строке (по запасам) и в одном по, столбцу (по потребностям).

Целевая функция 2 выражает суммарные расходы на транс­портировку груза. Ограничения типа (15.2) и (15.3) означают, что' сумма ресурса, забираемого из /-го источника, должна быть рав-

304

на запасу ресурса в нем и что сумма ресурса, доставляемого у'-му потребителю, должна быть равна его потребности.

Величины С» могли бы выражать не транспортные расходы, а, например, прибыль от транспортных операций. В этом случае также была бы возможна постановка задачи такого же типа, но с максимизацией целевой функции.

Сфера применения транспортных моделей, несмотря на, ка­залось бы, их специфический характер, очень широка. С их по­мощью можно моделировать реальные задачи отнюдь не только «транспортного» содержания. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих это утверждение.

Задача 15.1. При землеустроительном обследовании в хозяй­стве было выделено 5 участков с различным плодородием, при­годных для трансформации угодий. Площади этих участков 250, 100, 520, 310 и 130 га. По проекту на них намечается разместить кормовой севооборот площадью 600 га, полевой — 560 га, улуч­шенные сенокосы — 150 га. Необходимо так распределить сево­обороты и угодья по участкам, чтобы чистый доход был макси­мальным. Дополнительная информация приведена в таблице 80.