79. Оптимальное решение двойственной задачи

	Базисные переменные	*}	Номера ограничений (для дополнительных переменных)	Ащ (значение базисных переменных)	Коэффициенты замещения
№п/п					Аз/Уз) (осн.)	(осн.)	Афб) (изб. в огр. 1)	Афт) (изб. в огр. 2)	Ацрц) (изб. в огр. 3)	Ад/уд) (изб. в огр. 4)

1. Я (осн.) 1000 — 78,6 6,47 0 -1,84 0,844 0 -0,012

1. у_г (осн.) 11000 — 35,7 5,88 0 0,16 -0,16 0 -0,024

1. у₄ (осн.) 1400 - 8,57 1,97 0 -0,0008 0,0008 0 -0,55

1. у_т (изб.) - 5 ^' 8,93 1,04 0 0,007 -0,007 0,025 -0,064

5 ^'(осн.) -1000 - 8,93 1,04 -1 0,007 -0,007 0,025 -0,064

Индексная строка (Щ-В) 474500 -19590 0 -53 -947 -25 -1327

полнота симплекс-таблицы: симплекс-таблица, соответствую­щая прямой задаче, содержит всю информацию о решении двой­ственной и наоборот.

Свойство взаимодвойственности достаточно очевидно. Если двойственную задачу рассматривать в качестве прямой и приме­нить к ней правила построения двойственной, то, как нетрудно заметить, мы получим исходную прямую задачу.

Теорема двойственности непосредственно иллюстрируется приведенными таблицами. Так, для задачи (4.6) 2_ор{ = Ж_ор1 = 6980; для задачи (4.7) 2_ор( = Ж_ор( = 47 450.

В справедливости утверждения о полноте симплекс-таблиц прямой и двойственной задач нетрудно убедиться, сравнивая их попарно. Специально укажем на соответствие между элементами индексной строки прямой задачи, расположенными в столбцах небазисных дополнительных переменных, и значениями основ­ных двойственных переменных, попавших в базис оптимального решения двойственной задачи. Так, в таблице 76 значения эле­ментов индексной строки для остаточных переменных х₅, х_в (по­рожденных соответственно 1-м и 2-м ограничениями прямой за­дачи 4.6) равны ассоциированным с этими ограничениями ос­новным двойственным переменным у_ь "у₂- Аналогичное утверж­дение можно сделать и относительно элементов индексной строки прямой задачи 4.7, соответствующих избыточной пере­менной х₅ и остаточным переменным хв, х₇, х$. Значения этих элементов совпадают со значениями ассоциированных с соответ­ствующими ограничениями двойственных переменных (ср. табл. 78 и 79).

Методы анализа оптимальных решений, основанные на взаи­мосвязях прямой и двойственной задач, подробно рассмотрены в главе 16.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте общие требования к задачам, решаемым методами линейно­го программирования.

1. В чем состоит практическое значение линейного программирования? Како­вы его преимущества перед традиционными способами проектирования и эконо­мического обоснования проектных решений?

1. Назовите основные виды алгоритмов линейного программирования и оха­рактеризуйте кратко их суть.

1. Назовите основные составные части модели линейного программирования.

5. Укажите, какие аспекты землеустроительного проектирования отражают: совокупность основных переменных задачи;

система линейных ограничений; целевая функция.

6. Как записывается целевая функция общей задачи линейного программирова­ния?

6. Приведите общий вид системы ограничений задачи линейного программи­рования. Какова стандартная форма записи ограничений?

6. Какие виды землеустроительных задач сводятся к общей задаче линейного программирования? Приведите соответствующие примеры.

301

9. Назовите основные этапы постановки задачи линейного программирования.

10. Как обычно записывают ресурсные ограничения в задачах линейного про­граммирования? Приведите примеры.

10. Какой вид обычно имеют ограничения, учитывающие плановые задания по производству продукции? Приведите примеры.

10. Каков общий вид ограничений по кормам? Какие разновидности ограниче­ний по кормам вы можете назвать?

10. Что такое избыточность системы ограничений? Приведите соответствующие примеры для случая ограничений по кормам.

10. Каковы основные особенности табличного представления задач линейного программирования?

10. Что называется каноническим видом (представлением) задачи линейного представления?

10. Каким образом задача линейного программирования может быть приведена к каноническому виду (представлению)?

10. Перечислите разновидности дополнительных переменных.

10. Как привести к каноническому виду ограничение типа «>»? Каков экономи­ческий смысл избыточной переменной? Приведите примеры.

10. Как преобразовать к каноническому представлению ограничение типа «<»?• Каков экономический смысл остаточной переменной? Приведите примеры.

10. В ограничения какого типа вводят искусственные переменные? Какова цель их введения в каноническую запись задачи?

10. Как получить опорное решение задачи линейного программирования, ис­пользуя ее каноническое представление?

10. С какими коэффициентами входят в выражение для целевой функции в ка­ноническом представлении остаточные и избыточные переменные?

10. Каким образом необходимо включать в выражение для целевой функции ис­кусственные переменные в задачах на минимум и на максимум целевой функции?

10. Какими методами решаются общие задачи линейного программирования?

10. Что такое область допустимых значений (ОДЗ) основных переменных зада­чи линейного программирования? Чем определяются границы ОДЗ?

10. Приведите пример графического изображения области допустимых значе­ний задачи линейного программирования, в которой число основных переменных равно двум.

10. Как геометрически изображается целевая функция задачи линейного про­граммирования, в которой число основных переменных равно двум?

10. Что такое линия уровня целевой функции? Приведите пример уравнения для линии уровня.

10. Какому расположению линии уровня целевой функции соответствует опти­мальное решение задачи линейного программирования?

10. Что такое допустимое базисное решение задачи линейного программирова­ния? Каким точкам области допустимых значений соответствуют базисные реше­ния?

10. Каким должно быть число базисных переменных в базисном решении?

10. Перечислите правила построения первой симплекс-таблицы.

10. Чему равен нулевой элемент индексной строки симплекс-таблицы?

10. В чем смысл итерационной процедуры симплекс-метода?

10. Назовите последовательность шагов одной итерации симплекс-метода.

10. Как на основании анализа индексной строки симплекс-таблицы можно оп­ределить, оптимально полученное решение или нет?

10. Как определяется ключевой (разрешающий) столбец симплекс-таблицы на данной итерации?

10. Как определяют вводимую в базис переменную?

10. Как определяют ключевую (разрешающую) строку симплекс-таблицы на данной итерации?

10. Как определяют выводимую из базиса переменную?

10. Приведите формулы для расчета элементов новой симплекс-таблицы при частичной замене базиса.

302

42. Как осуществляется контроль вычислений при определении оптимального решения задачи линейного программирования?

42. Какую задачу называют двойственной задачей линейного программирова­ния? Какая форма представления прямой задачи используется при построении двойственной?

42. По какой схеме строится двойственная задача? Что такое «двойственные пе­ременные, ассоциированные с ограничениями прямой задачи»?

42. К какому виду можно привести двойственную задачу, если в прямой задаче псе ограничения относятся к типу «<» и целевая функция максимизируется?

42. Как связаны между собой решения прямой и двойственной задач?