72. Пятая (последняя) симплекс-таблица задачи 14.5

	Коэф<	шциенты целевой функции			150	800	0	0	0	0	0
	Базисные переменные	С/	Номера ограничений (для дополнительных переменных)	(значение базисных переменных)			Коэффи	циенты за	мещения
№ п/п (0					(осн.)	Ла(хг) (осн.)	4з(*з) (изб.в огр. 5)	Ая(х4) (ост. в огр. 1)	Лй(х5) (ост. в огр. 2)	Л*(*б) (ост. в огр. 3)	Мх7) (ост. в огр. 4)	Л.»+1
1	х, (осн.)	150	—	1500	1	0	0	1	0	0	0	1502
2	хъ (изб.)	0	5	3200	0	0	1	-4	0,8	0	0	3197,8
3	х6 (ост.)	0	3	9800	0	0	0	18	-1,6	1	0	9817,4
4	х1 (ост.)	0	4	20	0	0	0	0,1	-0,02	0	1	21,08
5	х2 (осн.)	800	—	90	0	1	0	-0,1	0,02	0	0	90,92
Инде стр	ксная ока		(З-Ф	297000	0	0	0	70	16	0	0	297086

4. Контроль вычисления коэффициентов индексной строки производится так: они могут определяться как элементы любых других строк по формуле

2} ~ ^С) = ^А'ч = ^АЦ ~ Лкл Л^ ;, У = ОД, • - -,«,

а также по формуле (14.17). Кроме того, вычисление значений целевой функции может быть проконтролировано по исходной формуле

У' = 1

Ответ задачи находится в столбце значений базисных пере­менных последней симплексной таблицы. Из нее видно, что х_х = = 1500 га; х₂ = 90 голов; х₃ = 3200 ц; х₆ = 9800 ц; х₁ = 20 голов. Все остальные переменные, не вошедшие в базис, равны 0. Макси­мальное значение целевой функции 7, = 297 000 руб.

Проведем экономический анализ результатов решения задачи по данным последней симплексной таблицы. Из нее видно, что площадь под зерновыми культурами равна 1500 га (х! = 1500). Значение х₄, которое характеризует неиспользуемую площадь пашни, равно нулю.

Таким образом, выполняется первое ограничение каноничес­кой формы записи данной задачи (14.15):

х,+х₄ = 1500 + 0= 1500 га.

Поголовье коров в результате решения получилось равным 90 (х₂ = 90). Величина х₇ = 20 в ответе задачи характеризует факт, что на ферме хозяйства 20 ското-мест остались незанятыми. Та­ким образом, выполняется четвертое условие:

х₂ + х₇ = 90 + 20 = 110 голов.

Значение избыточной переменной х₃ = 3200 ц показывает, что плановое производство молока перекрыто на 3200 ц, что видно из пятого ограничения:

40х₂ - х₃ + х₈ = 40 ■ 90 - 3200 + 0 = 400 ц.

Значение х₆ в рассматриваемой задаче характеризует недоис­пользование кормов (х₆ = 9800 ц). Тем самым выполняется третье условие канонической записи задачи:

-10x1 + 80х₂ + х₆ = -10 ■ 1500 + 80-90 + 9800 = 2000 ц.

292

Учитывая экономический смысл значения остаточной пере­менной лее, можно сказать, что хозяйству следует принять меры к реализации 9800 ц фуражного зерна, которое не используется.

Значение переменной х₅ в решении задачи равно нулю (х₅ = 0). Это говорит о том, что ресурсы труда в оптимальном плане использованы полностью и второе условие системы огра­ничений также выполняется:

5*! + 50х₂ + х₅ = 5 • 1500 + 50 ■ 90 + 0 = 12 000 чел.-ч.

Таким образом, подставляя полученные в ответе значения пе­ременных в уравнения канонической формы представления за­дачи, можно осуществить заключительный контроль решения и провести его содержательный анализ.

14.7. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Одним из способов экономического анализа решения, его чувствительности к возможным изменениям является построе­ние так называемых двойственных задач. В принципе любой зада­че линейного программирования соответствует действенная (об­ратная) по отношению к ней; она строится по определенным правилам. Воспользуемся простой и наиболее универсальной схемой, основанной на представлении любой задачи в стандарт­ной форме, в которой все ограничения приведены к типу «=» с помощью остаточных и избыточных переменных, но без искусст­венных переменных, а правые части ограничений и все перемен­ные неотрицательны (ТахаХ. Введение в исследование опера­ций. Книга 1. - М.: Мир, 1985. - С. 133):

п

I-

г=^чх^\

з

тах или тт

(14.20)

п

2>//*/=6_;;/=1,...,т; (14.21)

у = 1

х_у>0, у= 1,...,я, где Х[,...,х„ — совокупность основных, остаточных и избыточных переменных.

Двойственная задача по отношению к этой прямой строится по следующей схеме:

1) каждому /-му ограничению из системы (14.21) сопоставляется ассоциированная с ним двойственная переменная у,, /= \,...,т;

293

2. каждой переменной X/, }= {,...,п прямой задачи сопоставля­ется одно ограничение двойственной задачи (всего п ограниче­ний), причем в качестве коэффициента при переменной у-, в у'-м ограничении двойственной задачи используется /-й коэффици­ент у'-го столбца матрицы 11 ау\ I, а в качестве правых частей огра­ничений — коэффициенты с,- при переменных в выражении для целевой функции 2 прямой задачи;

2. в качестве коэффициентов при переменных у, в выражении для целевой функции ^двойственной задачи используются пра­вые части Ь-, ограничений прямой задачи;

2. на переменные у_{ изначально условия неотрицательности не накладываются (однако они могут появиться как результат при­менения п. 2 данной схемы — примеры см. ниже);

2. направление оптимизации (максимизация или минимиза­ция целевой функции) и тип ограничений для двойственной за­дачи определяются в соответствии с направлением оптимизации в прямой задаче (табл. 73).

73. Схема взаимосвязи прямой и двойственной задач

Целевая функция прямой	Двойственная задача
задачи	целевая функция	ограничения

Максимизация Минимизация «>»

Минимизация Максимизация «<»

Таким образом, если, например, в задаче (14.20), (14.21) зада­на максимизация целевой функции 2, то соответствующая двой­ственная задача имеет вид

т

И^Х*,-?,—>гшп; ₍₁₄.22)

т

5>//У;>С;;./=1,-,л, (14.23)

причем двойственные переменные У\,...,у_т не ограничены в зна­ке.

Рассмотрим два конкретных примера построения двойствен­ной задачи.

Задача 14.6. Проектом внутрихозяйственного землеустройства предусмотрено коренное и поверхностное улучшение заболочен­ных (100 га) и закустаренных (140 га) пастбищ. Определить, ка­кие мероприятия и на какой площади целесообразно провести для получения максимального выхода продукции (в переводе на кормовые единицы) с улучшенных угодий. На эти мероприятия запланировано 6 млн руб. Другие исходные данные приведены в таблице 74.

294