68. Первая симплекс-таблица задачи 14.5

Коэффициенты целевой функции

150

800

0

0

0

0

0

-М

4о А.а

Базисные перемен­ные

с,

Номера ограниче­ний (для дополни­тельных перемен­ных)

До (значение базисных перемен­ных)

Коэффициент замещения

№ п/п (0

(осн.)

(осн.)

Аэ(*э) (изб., огр. 5)

Лц(х4) (ост., огр. 1)

Лй(*з) (ост., огр. 2)

Аъ(х6) (ост., огр. 3)

(ост., огр. 4)

Мх*) (иск., огр. 5)

А', п + 1

1 хА (ост.)	0	1	1500	1	0	0	1	0	0	0	0	—	1502
2 х5 (ост.)	0	2	12000	5	50 ;	0	0	1	0	0	0	240	12056
3 х6 (ост.)	0	3	2000	-10	:':1:8о'^:	0	0	0	1	0	0	25	2071
4 х-, (ост.)	0	4	ПО	0	1	0	0	0	0	1	0	ПО	112
5 л8 (иск.)	-М	5	400	0	40	_!	0	0	0	0	1	10	440
Индексная	{?!-	-с,)	-400М	-150	-800	-М	0	0	0	0	0		-950
строка					-40АГ1								-441АГ

Заметим, что принятое в каноническом представлении целе­вой функции буквенное обозначение коэффициента при искус­ственных переменных сохранено в симплекс-таблице. В связи с этим, например, второй элемент индексной строки равен вели­чине (-800 - 40М).

Назначение двух последних столбцов симплекс-таблицы будет пояснено ниже. Нулевой элемент индексной строки (2"₀ — С₀) равен значению целевой функции на данной итерации симплекс-метода.

Итерационная процедура симплекс-метода сводится к после­довательному преобразованию симплекс-таблиц, что (после ис­ключения искусственных переменных — см. ниже) соответствует последовательному переходу от одной вершины симплекса к дру­гой. На каждой итерации выполняется несколько шагов; рас­смотрим их подробнее.

Шаг 1. Оценка решения, представленного данной таблицей, на оптимальность и, если оптимум не достигается, поиск переменной, вводимой в базис.

Указанные операции осуществляются на основе анализа всех элементов индексной строки, соответствующих небазисным пе­ременным. Если все эти элементы неотрицательны в задачах на максимум (неположительны в задачах на минимум), то данное ре­шение оптимально и соответственно вычислительный процесс пре­кращается. В противном случае в задачах на максимум ищется наибольший по абсолютной величине отрицательный элемент (в задачах на минимум — наибольший положительный элемент). Переменная, вводимая в базис, соответствует именно этому эле­менту. Соответствующий столбец называется ключевым (главным, разрешающим) столбцом. В таблице 68 такой столбец выделен за­тенением.

Для понимания смысла действий на первом шаге следует учесть, что каждый элемент индексной строки, взятый с обрат­ным знаком, показывает, насколько изменяется значение целе­вой функции при изменении соответствующей переменной на единицу. Значит, если в задачах на максимум все рассматривае­мые элементы индексной строки неотрицательны, то при вве­дении любой небазисной переменной в базис (то есть при при­дании ей какого-либо положительного значения) значение це­новой функции либо не возрастет (если соответствующий эле­мент равен нулю), либо даже уменьшится (если элемент положителен). Это и означает, что мы достигли оптимума — Сюлыне нет возможности увеличить значение целевой функ­ции. Если же среди элементов индексной строки есть отрица­тельные (случай максимизации целевой функции), то это озна­чает, что, придавая соответствующей небазисной переменной положительное значение (вводя ее в базис), мы можем повы-1Ч!ть значение целевой функции; при этом чем больше элемент по абсолютной величине, тем быстрее будет расти целевая фун-

285

кция с ростом переменной. Именно поэтому при решении зада­чи на максимум каждая очередная итерация начинается с выбо­ра наибольшего по модулю отрицательного значения элемента индексной строки.

В рассматриваемом примере вводимой в базис является пере­менная х₂ (см. первую симплекс-таблицу). Геометрически это оз­начает, что мы движемся по оси х₂ от начала координат (где пе­ременная х₂ равна нулю) к вершине А (см. рис. 17).

Шаг 2. Определение выводимой из базиса переменной.

Рассмотрим сначала геометрическую интерпретацию этого шага.

При движении по оси х₂ от начала координат первой встреча­ется вершина А. В ней сходятся грани АВ и АР, а значит, в ней нулевой является не только переменная х_ь но и переменная х₈. Следовательно, именно переменная х₈ должна быть выведена из базиса (см. табл. 67).

Общее правило выбора выводимой из базиса переменной фор­мулируется следующим образом: выводиться должна переменная текущего базиса, которая раньше других обращается в нуль при возрастании вводимой в базис переменной. Для ее определения следует разделить значения элементов столбца А_ю на соответ­ствующие положительные элементы ключевого столбца А_{). В рас­сматриваемом примере результаты деления показаны в предпос­леднем столбце первой симплекс-таблицы. Ту строку, в которой результат деления оказался минимальным, называют ключевой (главной, разрешающей) строкой; базисная переменная, располо­женная в этой строке, подлежит выводу из базиса (в рассматри­ваемом примере — переменная х₈; в таблице 68 ключевая строка выделена затенением). Элемент симплекс-таблицы, лежащий на пересечении ключевого столбца и ключевой строки, называют ключевым {главным, разрешающим) элементом.

Основанием для такого алгоритма поиска выводимой из бази­са переменной служит доказываемое в теории линейного про­граммирования утверждение, согласно которому при увеличении данной небазисной переменной (например, х₂) любая базисная переменная (например, х₈) в соответствии с заданной системой ограничений должна меняться следующим образом:

х_% = А₅₀ - А₅₂х₂ = 400 - 40х₂, (14.18)

где Л₅₀ — базисное значение переменной х₈ (см. первую симплекс-таблицу); А₅₁ — коэффициент замещения базисной переменной х₈ на небазисную переменную х₂.

Формула (14.18) достаточно наглядно иллюстрирует смысл термина «коэффициент замещения». Из нее прямо следует, что именно при

х₂=А₅₀/А₅₂ = 400/40 =10 (14.19)

286

переменная х₈ обращается в нуль (замещается вводимой пере­менной х₂). Аналогичные формулы можно записать и для других базисных переменных. Их совместный анализ и приводит к ука­занному алгоритму.

Описанная процедура позволяет сразу найти значение новой базисной переменной. Действительно, коль скоро выгодно дос­тичь максимально допустимого значения вводимой в базис пере­менной (в данном случае х₂), то искомое значение определится формулой (14.19). Дальнейшее увеличение *₂ нарушит условие неотрицательности переменной х₈, что следует из формулы (14.18).

Шаг 3. Частичная замена базиса.

Суть этого шага состоит в исключении из базиса переменной, стоящей в ключевой строке, и записи на ее место новой пере­менной, стоящей в ключевом столбце.

Шаг 4. Расчет всех элементов новой симплекс-таблицы.

Расчет новых значений элементов ключевой строки проводит­ся по формуле

^Ау^=Ау/^Ау >

где Ац — ключевой элемент.

В рассматриваемом примере (табл. 68) А^^л=40. Соответствен­но новые элементы ключевой строки будут равны:

^0=400/40=10; ^=0; ^52=40/40=1; А&=-1/40=-0,25; А$₄=0; ^₅ = 0; ^₆=0; ^₇ = 0; А& =1/40=0,025.

Вычисление новых значений элементов в остальных строках симплекс-таблицы, включая индексную, производится по фор­муле

^АУ^=АУ~^АУкл^А'ы'

где Ау — значения элемента преобразуемой /-и строки, расположенного в клю­чевом столбце; А- у — элементы преобразованной ключевой строки.

Для примера проведем вычисления элементов 2-й строки:

у^₀ =12000-50-10=11500; А^ =5-50-0=5; А$₂ =50-50-1=0; ^₃=0-50-(-0,025)=1,25; А^ = 0-50-0=0; А$₅=1-50-0=1; ^6=0-50-0=0; ^7 = 0-50-0=0; ^₈ =0-500,025=-1,25.

287

После всех преобразований все коэффициенты замещения, расположенные в ключевом столбце, кроме ключевого элемента, должны быть равны нулю; ключевой элемент будет равен 1. В результате получим новую симплекс-таблицу (табл. 69). В этой таблице, как и в последующих, ключевая строка и ключевой столбец выделены.

Анализ второй и последующих таблиц проводится по той же схеме. Кроме того, в этих таблицах проводится анализ размеще­ния искусственных переменных. Если на данной итерации какая-либо искусственная переменная перешла в число небазисных, то она должна быть исключена из дальнейшего рассмотрения. Фак­тически это делается путем вычеркивания из полученной симп­лекс-таблицы столбца, соответствующего искусственной пере­менной, ставшей небазисной. В целях упорядочения итерацион­ной процедуры симплекс-метода такое вычеркивание целесооб­разно считать самостоятельной итерацией. Для рассмат­риваемого примера вычеркивание единственной искусственной переменной х₈, ставшей небазисной, зафиксировано в переходе от таблицы 69 к таблице 70.

Преобразование таблиц заканчивается, если на очередной итерации достигается оптимальное решение (см. выше описание шага 1). Четвертая и пятая (последняя) симплекс-таблицы для рассматриваемого примера приведены в таблицах 71, 72.

Контроль вычислений можно осуществлять следующим обра­зом.

1. Логический контроль изменения значений целевой функ­ции: в задачах на максимум эти значения от итерации к итерации должны возрастать (не убывать), в задачах на минимум —убы­вать (не возрастать).

1. Логический контроль вычисления значений базисных пере­менных — в столбце А/о не должно появляться отрицательных чи­сел. Их появление свидетельствует о том, что, например, непра­вильно выбрана ключевая строка.

1. Расчет дополнительного столбца симплекс-таблиц (в табл. 68—72 это последний столбец), в котором размещают конт­рольные суммы, определяемые по формуле,

я

Д',я+1~ 2^Ду-У = 0

В первой симплекс-таблице в этот столбец заносят суммы ко­эффициентов по строке, включая столбец А®. При переходе к новой таблице эти коэффициенты пересчитываются по общим правилам (см. описание шага 4), причем эти пересчитанные зна­чения должны совпадать с суммами коэффициентов по соответ­ствующим строкам новой таблицы.

288