65. Исходные данные к задаче 14.4

	Единица измере­ния	Нормативные показатели для различных отраслей (на 1 га или на 1 голову)
Показатели		зерно товар­ное	зерно фураж­ное	сочные корма	зеле­ные корма	свино­матки	молоч­ное стадо	сахар­ная свекла	Ресурсы
Затраты труда Материальные	чел.-ч руб.	35 1200	30 22 20 1200 1500 450			80 1800	100 900	400 7000	36000 800000
затраты Урожайность,	Ц	25	26 250 100			—	30	240
продуктивность Нормы корм­ления: общая/ концентраты	ц корм, ед	-	-	-	-	45/10	86/30	-	—

га;

га;

ти:

Сначала определяем основные переменные:

ху — площадь пашни под зерновыми товарными культурами,

х₂ — площадь пашни под зерновыми фуражными культурами,

х₃ — площадь пашни под культурами на сочные корма, га;

х₄ — площадь пашни под культурами на зеленый корм, га;

х₅ — поголовье свиноматок, голов;

Хб — поголовье коров, голов;

х₇ — площадь пашни под сахарной свеклой, га;

х₈ — общие производственные расходы хозяйства, руб.

На все переменные накладывается условие неотрицательнос-

х,>0,у=1,...,8.

Целевая функция задачи — максимизируемый суммарный чи­стый доход от всех товарных отраслей. Для определения коэффи­циентов целевой функции учитывают урожайность культур и продуктивность животных, цены на продукцию и реальные де­нежные расходы хозяйства. В итоге получим

2= 25 ■ 90х! + 4500*5 + 30 • 150х₆ + 240 • 5х₇ - х₈ = = 2750Х! + 4500х₅ + 4500х₆ + 1200х₇ - х₈.

Далее строим систему ограничений.

По площади пашни (учитываются все культуры, под которые отводится пашня):

270

Х[ + х₂ + х₃ + х₄ + х₇ < 500. По площади пашни под зерновыми культурами:

х₁+х₂<0,6-500 = 300. По площади пашни под культурами на зеленый корм: х₄ < 0,04 • 500 = 20.

По материальным затратам:

х₈ < 800 000.

По трудовым ресурсам (в соответствии с нормами затрат труда из табл. 65):

35*! + 30х₂ + 22х₃ + 20х₄ + 80х₅ + 100х₆ + 400х₇ < 36 000.

Ограничения по кормам строятся исходя из принципа, что потребность в них должна быть не больше объема их производ­ства. Необходимо учесть нормы кормления, поголовье живот­ных, урожайность и площади посева кормовых культур, пита­тельность различных видов корма. Переходим к конкретным ог­раничениям.

По всем видам кормов для всех видов животных, ц корм, ед.:

45х₅ + 86х₆ < 26 • 1,2х₂ + 250 • 0,22х₃ + 100 ■ 0,18х₄ + 300.

В правой части неравенства использованы коэффициенты пе­ревода массы кормов в центнеры кормовых единиц. Последнее слагаемое в правой части учитывает тот факт, что на корм коро­нам используется не только продукция, получаемая с пашни, но и корма с пастбищ и сенокосов. Приводя последнее неравенство к стандартной форме (переменные — слева, константы — спра-иа), получим

. - 31,2х₂ - 55х₃ - 18х₄ + 45х₅ + 86х₆ < 300.

По концентратам для всех видов животных, ц корм, ед.: -31,2х₂+ 10х₅ + 30х₆<0.

По всем видам кормов для свиней, ц корм, ед.: - 31,2х₂ - 55х₃ - 18х₄ + 45х₅ < 0.

Формально из данных, приведенных в условии задачи, можно составить и другие ограничения кормового баланса, например ограничение «по всем видам кормов для коров»:

271

- 31,2х₂ - 55х₃ - 18х₄ + 86х₆ < 300.

Сразу видно, однако, что это ограничение выполняется все­гда, когда выполняется ограничение «по всем видам кормов для всех видов животных», а следовательно, оно является избыточ­ным— его включение в систему ограничений не меняет области допустимых значений задачи.

Ограничение по гарантированному производству молока:

30х₆ > 3000.

Уравнение для расчета материальных затрат: х₈ = 1200х! + 1200х₂ + 1500х₃ + 450х₄ + 1800х₅ + 900х₆ + 7000х₇.

Приводя его к стандартному виду, получим 1200Х! + 1200х₂ + 1500х₃ + 450х₄ + 1800х₅ + 900х₆ + 7000х₇ - х₈ = 0.

Сводя все воедино, получаем следующую экономико-матема­тическую модель. Найти

2= 2750х, + 4500х₅ + 4500х₆ + 1200х₇ - х₈ -> тах. (14.6) При ограничениях

Х!+х₂+хз +Х4+Х7 < 500;

Х1+х₂ < 300;

х₄ < 20;

х₈< 800000;

35х₁+30х₂+22хз+20х₄+80х₅+100х₆ + 400х₇< 36000;

-31,2х₂-55х₃-18х₄+45х₅+86х₆< 0;'

-31,2х₂+10х₅+30х₆< 0;

-31,2х₂ -55х₃ -18х₄ +45х₅ < 0;

30х₆ > 3000;

1200х! +1200х₂ +1500х₃ + 450х₄ +1800х₅ + 900х₆ + 7000х₇ - х₈ = 0.

(14.7)

И требовании неотрицательности основных переменных

х_у>0,у=1,...,8. (14.8)

В совокупности соотношения (14.6)—(14.8) образуют/>аз<?е/>ну-

272

66. Табличная запись задачи 14.4

Ограничения	Единица измерения				Переменные					Тип ограниче­ния	Объем
		*1	*2	*з	*4	*5	Ч	*7	ч		ограниче­ния
1. Общая площадь	га	1	I	1	1	0	0	1	0	<	500
пашни
2. Площадь пашни под	га	1	1	0	0	0	0	0	0	<	300
зерновыми 3. Площадь пашни под	га	0	0	0	1	0	0	0	0	<	20
травами 4. Материальные	руб.	0	0	0	0	0	0	0	1	<	800000
затраты 5. Затраты труда	чел.-ч	35	30	22	20	80	100	400	0	<	36000
6. Все корма по всем	ц корм, ед	0	-31,2	-55	-18	45	86	0	0	<	300
животным
7. Концентраты по	ц корм, ед	0	-31,2	• о	0	10	30	0	0	<	0
всем
животным-
8. Все корма по	ц корм.ед	0	-31,2	-55	-18	45	0	0	0	<	0
свиньям
9. План производства	Ц	0	0	0	0	0	30	0	0	>	3000
молока
10. Расчет материаль-	руб.	1200	1200	1500	450	1800	900	700	-1	=	0
ных затрат Целевая функция	руб.	.2250	0	0	0	4500	4500	1200	-1	—»	тах
-л

тую математическую формулировку общей задачи линейного программирования в неканоническом представлении. Для нее раз­работана специальная форма (табл. 66). В столбцах, помеченных символами основных переменных, записывают коэффициенты при них в соответствующих ограничениях и целевой функции. Такая форма очень удобна при подготовке задачи к решению на компьютере.

14.4. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К КАНОНИЧЕСКОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ

Неканоническое представление задачи нельзя использовать для применения стандартных алгоритмов линейного программи­рования. Каноническим называется представление, в котором:

все ограничения имеют форму уравнений (то есть относятся к типу «=»);

система ограничений имеет структуру, позволяющую сразу определить допустимое решение, которое используется в итера­ционной процедуре симплекс-метода как первое (опорное) ба­зисное решение.

Реальные задачи линейного программирования в приемлемые сроки могут быть решены только на ЭВМ. Однако сознательное применение симплекс-метода, грамотная интерпретация полу­ченных на ЭВМ результатов возможны только в том случае, если пользователь понимает основные особенности канонического представления задачи и метод ее решения.

Приведение задачи к каноническому виду осуществляется за счет использования новых неотрицательных переменных, вводи мых в ограничения и целевую функцию. Прежде всего для каж дого ограничения типа нестрогого неравенства «<» или «>» вво дят свою дополнительную переменную. Так, в рассмотренной выше задаче есть неравенство 30x6 ^ 3000.

Введем дополнительную переменную х₉, означающую объем производства молока сверх требуемого уровня; тогда получим

30х₆ - х₉ = 3000.

Дополнительная переменная х₉ ^в этом равенстве называется также избыточной, так как она показывает, насколько левая часп, исходного неравенства превышает правую.

Напротив, для неравенств типа «<» (например, первого нера венства из системы указанной задачи) вводят дополнительную переменную с положительным знаком (в данном случае х₁₀):

Х\ + Х₂ + Х₃ + Х₄ + Х₇ + Хц) < 500.

274

Величина х₁₀ в этом равенстве будет остаточной переменной, ибо показывает недоиспользование какого-то ресурса (в данном случае пашни).

Помимо избыточных и остаточных переменных в левую часть каждого ограничения типа «>» или «=» вводят со знаком «+» еще по одной неотрицательной переменной; их называют искусствен­ными (их смысл будет раскрыт позже).

Выполнив указанные типовые операции со всеми ограниче­ниями системы (14.7), получим следующую каноническую систему ограничений:

Ху + х₂ + х₃ + Х4 + х₇ + х₁₀ = 500;

х\ + х₂ + хц = 300;

^х4 + ^хп ⁼ 20;

х₈ + х₁₃ = 800 000;

15*! + 30х₂ + 22х₃ + 20х₄ + 80х₅ + 100х₆ + 400х₇ + х_н = 36 000;

- 31,2х₂ - 55х₃ - 18х₄ + 45х₅ + 86х₆ + х₁₅ = 300; -

- 31,2х₂ + 10х₅ + 30х₆ + х₁₆ = 0;

- 31,2*2 - 55х₃ - 18х₄ + 45х₅ + х_!7 = 0;

30х₆ - х₉ + х₁₈ = 3000;

1200*! + 1200х₂ + 1500х₃ + 450х₄ + 1800х₅ + 900х₆ + 7000х₇ -

— х₈ + х₁₉ = 0.

(14.9)

В этой системе: х_и...,х₈ — основные переменные; х₉ —избы-тчная дополнительная переменная; х₁₀,...,х₁₇— остаточные до-ноинительные переменные; х₁₈, х₁₉ — искусственные перемен­ите.

Введение дополнительных и искусственных переменных важ­но с вычислительной точки зрения, так как позволяет сразу же получить первое (опорное) базисное решение, удовлетворяющее тем заданным ограничениям. Действительно, если в системе (14.9) все основные и избыточные переменные положить равны­ми пулю, то достаточно приравнять остаточные и искусственные переменные правым частям соответствующих ограничений, что-П1,1 получить допустимое решение. В рассматриваемой задаче нот опорный план будет следующим:

V, = 0; х₂ = 0;... х₉ = 0; х₁₀ = 500; х_и = 300; х₁₂ = 20; х₁₃ = 800 000; х₁₄ = 36 000; х₁₅ = 300; х^ = 0; х_х1 = 0; х₁₈ = 3000; х₁₉ = 0.

Уже здесь видна необходимость введения искусственной пе­ременной Х1₈ для 9-го ограничения (где уже есть дополнительная н ч>ыточная переменная х₉). Если бы мы попытались обойтись гн"1 нее и воспользовались избыточной переменной Хд, то полу­чили бы хд = — 3000, что нарушает условие неотрицательности

275

переменных. Введение искусственной переменной х₁₉ в 10-м ог­раничении, которое изначально относилось к типу «=», также су­щественно упрощает процесс получения опорного плана.

Рассмотрим теперь вопрос о преобразовании целевой функ­ции, соответствующем канонической системе ограничений. Оче­видно, что решение, в котором некоторые остаточные или избы­точные переменные не будут равны нулю, вполне допустимо. Ненулевое значение остаточной переменной будет означать не­полное использование соответствующего ресурса (например, пашни), а ненулевое значение избыточной переменной будет оз­начать превышение планового уровня производства некоторого продукта (например, молока). Таким образом, остаточные и из­быточные переменные (помимо приведения задачи к каноничес­кому виду, необходимому для применения эффективных алго­ритмов решения задачи) несут важную информацию экономи­ческого характера. В то же время ясно, что неиспользование ре­сурсов и превышение плановых заданий непосредственно не влияют на значение целевой функции. Поэтому остаточные и избыточ­ные переменные включают в целевую функцию с нулевыми ко­эффициентами.

Что касается искусственных переменных, то очевидно, что в правильном решении они должны быть равны нулю, так как не отражают никаких реальных характеристик данной предметной области и вводятся в задачу исключительно для автоматического получения опорного решения. Следовательно, мы должны так изменить вид целевой функции, чтобы сам алгоритм при поиске оптимального решения автоматически приводил к нулевым зна­чениям искусственных переменных. В задачах на максимум это­го можно добиться, вводя в целевую функцию эти переменные с очень большими отрицательными коэффициентами:

2= 2750х₍ + 0х₂ +0х₃ + 0х₄ + 4500х₅ + 4500х₆ + 1200х₇ - х₈ + + Охд⁺ 0*10 ⁺ 0хц + 0х₁₂ + 0x13 ⁺ 0^14 + 0x15 + 0х^ + 0х₁₇ —

— Мх₁₈ — Мх₁₉-^тах, (14.10)

где М— большое положительное число (существенно превосходящее коэффициен­ты целевой функции).

При таком переопределении целевой функции любое откло­нение искусственных переменных от нуля приведет к резкому снижению значения целевой функции. Поэтому при решении за­дачи на максимум будет автоматически обеспечено обнуление искусственных переменных.

Если, напротив, задача решается на минимум, то перед каж­дым коэффициентом М в выражении целевой функции необхо­димо поставить знак «+». Алгоритм будет искать план с наимень­шим значением целевой функции, и все искусственные перемен­ные в оптимальном плане будут равны нулю.

276

Ограничения (14.9) совместно с представлением целевой фун­кции в виде (14.10) и условиями неотрицательности всех пере­менных (основных и дополнительных) образуют каноническое представление общей задачи линейного программирования в раз­вернутом виде.

14.5. СИМПЛЕКС-МЕТОД. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Универсальным методом решения задач линейного програм­мирования является симплекс-метод. Основные его элементы, а также интерпретацию получаемых решений проще всего проде­монстрировать на примере упрощенной демонстрационной зада­чи. С содержательной точки зрения она имеет сугубо условный характер. Основное ее назначение — на примере простейшего двухмерного случая в наглядной геометрической форме проил­люстрировать суть симплекс-метода.

Задача 14.5. В хозяйстве производится молоко, а также зерно для продажи и на корм скоту. На продажу используется 60 % зер­на, на ферме может содержаться не более ПО коров. Общая пло­щадь пашни в севообороте, выделенная для посева зерновых, 1500 га. Запас кормов на пастбищах и сенокосах 2000 ц корм. ед. Трудовые ресурсы хозяйства 12 000 чел.-ч. Норма трудозатрат при производстве зерна 5 чел.-ч на 1 га, при производстве моло­ка — 50 чел.-ч на 1 голову. Урожайность пшеницы 25 ц корм. ед. с 1 га, норма кормления коров 80 ц корм. ед. на 1 голову, их про­дуктивность 4000 кг. Плановое задание по молоку составляет 400 ц. Доход хозяйства определяется продажей молока и товарно­го зерна. Чистый доход от продажи 1 ц зерна составляет 10 руб., I кг молока — 0,2 руб. Необходимо определить сочетание двух то­варных отраслей, обеспечивающее максимум чистого дохода.

Проведя все необходимые преобразования по схеме, изложен­ной выше, получим следующее неканоническое представление задачи.

Основные переменные:

х\ — площадь пашни под зерновыми культурами, га

х₂ — поголовье коров.

Целевая функция:

(14.11)

2'=150х₁ + 800х₂^тах.

Система ограничений:

по площади пашни: х_г < 1500; по трудовым ресурсам: 5х_х + 50х₂< 12 000;

(14.12)

по кормам: — 10*! + 80х₂< 2000; • по поголовью коров: х₂ < ПО; по плану производства молока: 40х₂ > 400.

Требование неотрицательности основных переменных:

Ъ> 0, 7=1,2.

(14.13)

В данной задаче только две основные переменные, что позво­ляет дать ее наглядное геометрическое представление (рис. 17); в нем используется декартова система координат, осям которой соответствуют переменные х₁ и х₂.

Область допустимых значений основных переменных пред­ставляет собой многоугольник, показанный жирными линиями. Каждая грань определяется одним из ограничений системы (14.12) или условием неотрицательности одной из переменных. Например, грань БЕ лежит на прямой линии, уравнение которой получено из второго ограничения системы (14.12) заменой знака «<» на знак «=», то есть

5х! + 50х₂=12 000.

Точки, удовлетворяющие второму ограничению, лежат в полу­плоскости «левее и ниже» этой прямой. Каждое ограничение и каждое условие неотрицательности основных переменных делят плоскость (х_и х₂) на две полуплоскости; все точки, лежащие на одной из них, удовлетворяют соответствующему ограничению. Многоугольник допустимых значений — это попросту пересече­ние всех допустимых полуплоскостей.

Линии уровня целевой функции показаны на рисунке пункти­ром; каждая из них соответствует определенному значению целе­вой функции (на рисунке показаны четыре линии, но в принци­пе их бесконечное множество).

В данном случае область допустимых значений ограничена и непуста, что характерно для любой корректно поставленной за-

р \\ )5-е ограничение\

500 1000 VI500 \\ 2500 1=20000 1= 190000 г=283000\=297000

278

Рис. 17. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

У

Рис. 18. Открытая область допустимых решений

дачи. Но возможны и другие варианты; рассмотрим их более подробно.

Случай открытой области допустимых решений возникает, если, например, исключить из системы ограничений первое и второе ограничения. Тогда из многогранника, изображенного на рисунке 17, следует исключить грани БЕ и ЕР. В результате об­ласть допустимых значений основных переменных станет откры­той—неограниченно расширяющейся вправо (рис.18). В этом случае задача на максимум не имеет решения, ибо целевая функ­ция неограничена — ее значение может быть сделано сколь угод­но большим. Это естественно, ибо мы сняли ресурсные ограни­чения по площади пашни и трудовым затратам. Напротив, задача на минимум при таких ограничениях имеет решение, но оно не несет никакого реального смысла.

Случай пустой области допустимых решений возникает, если ограничения задачи несовместимы. Предположим, что плановое задание по молоку увеличено с 400 до 5400 ц. В этом случае пос­леднее ограничение системы (14.12) примет вид 40х₂>5400, а прямая, на которой в исходном многоугольнике (рис. 17) лежала грань АР, окажется выше грани СБ того же многоугольника. Для того чтобы изобразить сложившуюся ситуацию графически, каж­дую недопустимую полуплоскость, соответствующую любому ог­раничению, пометим штриховкой (рис. 19). Нетрудно видеть, что вследствие указанной модификации системы ограничений пере­сечение допустимых полуплоскостей, соответствующих четвер­тому и пятому ограничениям, оказалось пустым. Очевидно, что и в этом случае задача не имеет решения. На содержательном уровне это означает, что плановое задание по производству мо­лока невыполнимо при заданном ограничении на поголовье ко­ров.

Переходя к канонической форме представления той же зада­чи, получим

279

2— 150х[ + 800х₂ — Мх% -> тах

х, + х₄ = 1500

5х₁ + 50х₂ + х₅=12 000

-10х] + 80х₂+х₆ = 2000

х₂ + х₇= ПО

40х₂ - х₃ + х₈ = 400

х,->0, у=1,...,8

(14.14) (14.15) (14.16)

Здесь х_ь х₂~ основные переменные; х_ъ — избыточная переменная; х₄,...,х₇ ^— оста­точные переменные; х₈ — искусственная переменная.

Каждой дополнительной переменной также может быть дана геометрическая интерпретация. Рассмотрим, например, второе ограничение из (14.15). Это ограничение «ответственно» за появ­ление грани БЕ многоугольника допустимых значений, на кото­рой выполняется условие 5х_{ + 50х₂= 12 000, или, что то же са­мое, х₅ = 0. Таким образом, на этой грани остаточная переменная х₅ равна нулю. Аналогичный вывод можно сделать и относитель­но других граней, и соответствующих дополнительных перемен­ных. Сюда можно добавить очевидное утверждение: на оси х_х ос­новная переменная х₂ равна нулю, а на оси х₂ равна 0 перемен­ная х_{.

Геометрическая интерпретация задачи позволяет наглядно изобразить процесс получения оптимального решения (в данном случае решения, максимизирующего значение целевой функ­ции). А именно, если последовательно увеличивать константу в правой части уравнения

2= 150х, + 800х₂ = соп81,

которое является уравнением произвольной линии уровня целе­вой функции 2 (см. рис. 17, пунктирные линии), то геометричес-

ч V % % -^ ->~^еограничение]

О 500 1000 1500 2000 2500 х. Рис. 19. Пустая область допустимых решений

280

ки это будет соответствовать смещению линии уровня целевой функции вправо и вверх. При определенном значении константы получим линию уровня, касающуюся области допустимых значе­ний или в одной точке (как в рассматриваемом примере в точке Е) — это случай единственности решения, или на целой грани области допустимых значений — это случай бесконечного числа оптимальных решений. Поскольку дальнейшее увеличение кон­станты приведет к выходу линии уровня за пределы области до­пустимых значений, то значение целевой функции, соответству­ющее указанному крайнему положению, следует рассматривать как максимально возможное в области допустимых значений ос­новных переменных. Координаты х\, х₂ точек такого крайнего положения линии уровня — это и есть оптимальное значение ос­новных переменных.

Такая же геометрическая интерпретация позволяет наглядно подтвердить факт неограниченного роста целевой функции в случае, когда область допустимых значений открыта (рис. 18). Линия уровня целевой функции может неограниченно смещать­ся вправо, но при этом всегда будет иметь непустое пересечение с областью допустимых значений.

Случай бесконечного числа решений реализуется, например, если бы линии уровня на рис. 17 были бы параллельны грани БЕ. Аналитически это значит, что отношение коэффициентов при неизвестных х_{, х₂ в целевой функции должно быть таким же, как у коэффициентов при тех же неизвестных во втором ограниче­нии. Тогда линия уровня при максимальном значении целевой функции совпала бы с гранью БЕ области допустимых значений, то есть любая точка отрезка ВЕ соответствовала бы одному из оптимальных решений, обеспечивающих достижение одного и того же (максимально возможного) значения целевой функции.

В общем случае линейный характер целевой функции и вы­пуклость области допустимых значений позволяют сделать очень важное утверждение: оптимальному решению соответствует по крайней мере одна из вершин многогранника, описывающего область допустимых значений. Следовательно, задача сводится к направленному перебору вершин, что и реализует алгоритм сим­плекс-метода.

14.6. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

Для перехода к аналитическому описанию направленного по­иска оптимального решения общей задачи линейного програм­мирования дадим аналитическое описание вершин области допу­стимых значений. Выше мы уже отмечали, что каждой грани )гой области отвечает нулевое значение одной из переменных (дополнительной или основной). Поскольку (в рассматриваемой

281

двухмерной задаче, рис. 17) каждая вершина образуется при пе­ресечении двух граней, то в каждой вершине, как минимум, две переменные должны быть нулевыми, а остальные переменные в общем случае могут быть не равны нулю. Такого рода характери­стика вершин дана в таблице 67.