1. Как можно выбрать наиболее типичное для данной совокупности хозяйство с использованием аппарата производственных функций?

2. Раздел V

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ

Глава 14 общая модель линейного программирования

14.1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Наиболее разработанными, хорошо апробированными и рас­пространенными в практике землеустройства являются экономи­ко-математические модели, реализуемые с использованием ме­тодов линейного программирования. В моделях этого класса це­новая функция и условия (ограничения) задачи представлены в пиде системы линейных уравнений и неравенств (в которых все неизвестные только в первой степени).

Землеустроительные задачи, решаемые методами линейного программирования, должны обязательно удовлетворять следую­щим требованиям:

быть многовариантными (их решение не должно быть одно-шачным);

иметь точно определенную целевую функцию, для которой ищется экстремальное (максимальное или минимальное) значе­ние;

иметь определенные ограничивающие условия, формирую­щие область допустимых решений задачи.

Суммируя, можно сказать, что линейное программирование представляет собой часть математического программирования, (низанную с решением экстремальных задач, в которых целевая установка (критерий оптимальности) и условия (ограничения) и сражаются линейными функциями.

Для решения задач линейного программирования разработан ряд алгоритмов, наиболее известные из которых — алгоритмы симплексного метода и распределительного метода. Все они бази­руются на последовательном улучшении некоторого первона­чального плана и за определенное число циклически повторяю­щихся вычислений (итераций) позволяют получить оптимальное решение. После каждой из итераций значение целевой функции улучшается (или, как минимум, не становится хуже предыдуще-

261

го). Процесс повторяется до тех пор, пока не будет получен опти­мальный план. Существуют простые критерии, позволяющие на каждой итерации проверить, является ли вновь полученный план оптимальным. Если оптимум не достигнут, цикл вычислений по­вторяют и т. д.

Симплекс-метод универсален в том смысле, что позволяет ре­шать задачи, условия которых выражены в различных единицах измерения.

Распределительный метод, изначально предназначавшийся для решения транспортной задачи, является специальной разно­видностью симплекс-метода, применимой к любому случаю, где речь идет о распределении определенного количества однород­ного ресурса между потребителями. Алгоритм распределительно­го метода также позволяет, начиная с произвольного исходного плана, за определенное число итераций получить оптимальное решение задачи (оптимальный план). Он также предполагает проверку оптимальности на каждой итерации, и если решение не достигнуто, вычисления продолжаются.

Все переменные в задачах, решаемых распределительным ме­тодом, должны иметь одну и ту же единицу измерения; в земле­устройстве они возникают достаточно часто, и поэтому данный метод находит широкое применение.

14.2. СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ ОБЩЕЙ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Все модели линейного программирования имеют стандартные составные части, к которым относятся:

совокупность основных переменных, характеризующих модели­руемый объект. В землеустройстве это чаще всего размеры зем­левладений и землепользовании, площади посевов, объемы про­изводства продукции, затраты ресурсов (материальных, трудо­вых, финансовых и т.д.);

система линейных ограничений (условий), определяющая об­ласть допустимых значений основных переменных. Каждое отдель­ное условие отражает какое-либо реальное ограничение, напри­мер по наличию ресурсов (прежде всего земли), выполнению контрольных цифр бизнес-плана или госзаказа по производству растениеводческой или животноводческой продукции, нормам внесения удобрений в почву, агротехническим требованиям по размещению культур в севообороте и т. п.;

целевая функция, линейно зависящая от основных переменных и определяющая критерий оптимальности задачи. В качестве це­левой функции, как правило, выбирают какой-либо показатель, обобщенно характеризующий один из аспектов деятельности хо­зяйства, рассматриваемой в данной землеустроительной зада-

262

че, — чистый доход, валовую продукцию в целом или по отдель­ной отрасли, объем смываемой почвы (в задачах оптимизации землеустроительных мероприятий на эрозионно опасных землях) и т. д.

В качестве критерия оптимальности в задаче линейного про­граммирования выступает требование максимизации или мини­мизации целевой функции при заданных ограничениях. Иначе юворя, необходимо найти такое решение задачи, при котором целевая функция достигает максимума или минимума. Можно сказать, что основные переменные и система ограничений долж­ны давать достаточно полную количественную характеристику предметной области, в рамках которой ставится землеустрои­тельная задача, а целевая функция (критерий оптимальности) — отражать конкретную направленность соответствующей земле­устроительной деятельности, выражающую эффективность зем-меустройства.

В общем случае развернутая формализованная модель линей­ного программирования, построенная для решения землеустрои­тельной задачи, в которой выделено ./V основных переменных \_ь...,хдги Мограничений, будет иметь следующий вид:

целевая функция:

2(Х[,...,хм) = (с_{Х1 + с₂х₂ + ... + сдЛуу) —> шах (гаш); система ограничений:

^11-*Т "^12-*'2 "*"■•• ^®\.Ы^ХЫ "•" 1> 021*1+«22*2+-"+а2ЛГ*ЛГ '•' °Ъ

V

^аМ\^х\^+аМ2^х2⁺- ^{+ а}ММ^хЫ '■' Ь_м.

где знак «•.•>> означает или « <», или «>», или «=»; константы Ь_Ь...,Ь_М в правых час­тях ограничений предполагаются неотрицательными.

Требование неотрицательности основных переменных: х_х >0, х₂>0,...,хд,>0.

С математической точки зрения совокупность ограничений и требований неотрицательности основных переменных определя­ет область допустимых значений задачи (этот аспект ниже будет рассмотрен подробнее).

Для краткости вместо развернутой может использоваться обобщенная запись модели:

N N

2= X С]Х] —>тах(гшп); '^а^^x^ ■:Ъ₁\ 1=\,...,М\х^ >0,у'=1,...,^У.

У=1 7=1

263

Содержание модели определяется числовыми значениями и смысловой интерпретацией коэффициентов с_и...,с_м, а_и,...,а_мм, Ь_Ь...,Ь_М, а также конкретным типом («<», «>» или «=») каждого ограничения. В свою очередь, указанные числовые значения и смысл коэффициентов модели определяются решаемой землеус­троительной задачей. Рассмотрим несколько примеров, иллюст­рирующих возможность постановки таких задач.

Задача 14.1. В хозяйстве имеется 200 га неиспользуемых зе­мель, пригодных для освоения под пашню и сенокос. Затраты труда на освоение 1 га земель под пашню составляют 200 чел.-ч, в сенокос — 50 чел.-ч. Для вовлечения земель в сельскохозяйствен­ный оборот предприятие может затратить не более 15 тыс. чел.-ч механизированного труда. Стоимость продукции, получаемой с 1 га пашни, составляет 600 руб., с 1 га сенокосов — 200 руб. В за­дании на проектирование установлено, что площадь земель, ос­ваиваемых под пашню, не должна превышать ²/з площади сено­косов. Требуется определить, какую площадь необходимо осво­ить под пашню и сенокосы, чтобы получить максимальное коли­чество продукции в стоимостном выражении.

Введем следующие основные переменные:

х_х — площадь, трансформируемая в пашню, га;

х₂ — площадь, трансформируемая в сенокосы, га.

Исходя из условий задачи, запишем целевую функцию (сто­имость произведенной продукции):

2^г=600х₁ + 200х₂->тах. (14.1)

В данной задаче имеется три ограничения:

по общему количеству земли, выделяемой для освоения:

х,+х₂<200; (14.2)

по использованию трудовых ресурсов:

200х! + 50х₂< 15 000; (14.3)

по соотношению площадей пашни и сенокосов:

2 ^

что равнозначно х^ < 0,667х₂, или в окончательном виде

х_{- 0,667x2 <0. (14.4)

Дополнительно к приведенным ограничениям зададим усло­вия неотрицательности основных переменных:

Х!>0, х₂>0. (14.5)

264

Таким образом, проблема сводится к решению задачи линей­ного программирования, задаваемой соотношениями (14.1)— (14.5).

Следует иметь в виду, что ограничения всегда преобразуются к стандартной форме: слева стоят переменные с коэффициента­ми, справа — константы.

В приведенной задаче существенную роль играют оба ресурс­ных ограничения — как по площади земель, пригодных для осво­ения, так и по механизированному труду. Это приводит к тому, что оптимальное решение задачи будет следующим:

площадь земель, осваиваемых под пашню (х_{), — 33 га;

площадь земель, осваиваемых под сенокос (х₂), — 167 га.

При этом максимальное значение целевой функции (стоимость производимой продукции) составляет 2_тях = 53,3 тыс. руб., что не совпадает с тривиальным решением (х₍ = 80га; х₂ = 120га; ^_Ш1Х = 72,0 тыс. руб.), которое получается без учета ограничений на затраты механизированного труда и фактически определяется рекомендуемым соотношением пашни и сенокосов.

Ввиду важности учета ресурсных ограничений приведем еще один пример.

Задача 14.2. Для производства трех видов сельскохозяйствен­ной продукции, например, с пастбищ, сенокосов и пашни (Щ, Иг, Щ) требуется четыре вида ресурса (Р_и Р₂, Рз, Ра), например, 1\ — площадь сельскохозяйственных угодий, Рг — трудовые ре­сурсы, Р₃ ^— минеральные удобрения, Р₄ — оросительная вода. Необходимо составить такой план производства указанных видов продукции, который обеспечит получение ее максимального ко­личества в стоимостном выражении в условиях ограниченности ресурсов. Конкретные числовые данные, необходимые для реше­ния задачи, приведены в таблице 63.