10.2. Примеры расчета экономических характеристик

Пример 1. Рассчитаем некоторые экономические характерис­тики производственной функции, полученной в задаче 8.3:

у = 3,19 + 0,126*, + 0,81х₂ + 0,102х₃,

где у— плотность поголовья коров на 100 га сельхозугодий; х_х — площадь кормо­вых угодий (в % от общей площади сельхозугодий); х₂ — стоимость животноводчес­ких построек (тыс. руб. на 100 га сельхозугодий); х₃ — площадь смытых земель (в % от общей площади сельхозугодий).

Для данного примера можно получить следующие характерис­тики (см. формулы из табл. 26).

Дополнительный продукт по отдельным факторам: по площади кормовых угодий (х,):

Л =-^=0,126 гол/%;

ЭХ!

по стоимости животноводческих построек (х₂):

Б? =—^—=0,81 гол/тыс. руб.; Эх₂

по площади смытых земель (х₃):

В₃ =^-=0,102 гол/%. 0X3

Таким образом, увеличение, например, площади кормовых угодий на 1 % должно приводить к увеличению поголовья коров на 0,126 головы в расчете на 100 га сельхозугодий.

Коэффициент эластичности:

по площади кормовых угодий (Х]):

_{Е =}^_₌ 0,126x1 .

¹ #! 3,19+0,126х₁ + 0,81х₂+0,106х₃'

по стоимости животноводческих построек (х₂): _Т?_Р₂_ 0,81х₂ .

¹ П₂ 3,19+0,126х₁+0,81х₂+0,106х₃ по площади смытых земель (х₃):

_1>з__ 0,166*!

³~Лз"^-3,19+0,126х₁+0,81х₂+0,106х₃' 184

С использованием приведенных формул получим зависимость Е₂ от х₂ при х_{ = 20 %, х₃ = 20 %, приведенную в таблице 28.

28. Зависимость коэффициента эластичности Ег от стоимости животноводческих построек (х2)

л2,тыс руб/100 га	А	6	8	10	12	14	17
Е2	0,295	0,385	0,455	0,511	0,556	0,594	0,640

Согласно полученным данным, если достигнут уровень разви­тия животноводческого комплекса, соответствующий стоимости построек, например х₂ = 10 тыс. руб. на 100 га сельхозугодий при доле площади кормовых угодий 20 % и доле площади смытых зе­мель 20 %, дальнейшее расширение комплекса при увеличении стоимости построек на 1 % должно увеличивать поголовье коров примерно на 0,51 %.

Предельная норма заменяемости животноводческих построек (х₂) кормовыми угодьями (х\):

н_хьХ2=-^-=-е,ш/7ыс._шь.

Отсюда следует, что для сохранения заданного уровня поголо­вья коров, например при сокращении животноводческого комп­лекса в денежном выражении на 1 тыс. руб. на 100 га, необходи­мо увеличить долю кормовых угодий в общем объеме сельхозуго­дий примерно на 6,43 %.

Рис. 12. Изокванты линейной производственной функции

Указанная норма заменяемости постоянна во всей рассматри­ваемой области значений переменных х_ь х₂, х₃. В связи с этим понятие изоклинали для данного примера, как и вообще для слу­чаев линейных производственных функций, не имеет смысла. Изокванты в плоскости (х_ь х₂) изображены на рисунке 12.

185

В заключение подчеркнем, что все выводы, сделанные отно­сительно экономических характеристик рассматриваемой произ­водственной функции:

во-первых, справедливы в сравнительно узкой области значе­ний производственных факторов:

х, = 8...38 %; х₂ = 4...20 тыс. руб/100 га; х₃ = 8...50 %;

во-вторых, имеют смысл только как усредненные статисти­ческие выводы, полученные на основе анализа рассчитанной в задаче сглаженной зависимости у (х_ь х₂, х₃).

В реальных условиях любая характеристика может отличаться от приведенных выше оценок, что, однако, не исключает воз­можности использования статистических выводов при прогнози­ровании.

Пример 2. Для хозяйств одного из районов Брянской области получена (в ценах 1988 г.) следующая зависимость стоимости ва­ловой продукции растениеводства (у, руб/га) от среднего размера контура пашни (х_ь га), фондообеспеченности хозяйства (х₂, руб/га) и количества трудоспособных (х₃, чел/га):

у=70,8х₁⁰'³⁶х₂⁰'¹⁹х₃⁰'⁵³.

Область допустимых значений факторов: XI = 7... 18 га; х₂ = 600... 1000руб/га; х₃ = 0,15...0,40чел/га.

Необходимо рассчитать экономические характеристики для данной производственной функции.

Дополнительный продукт фактора трудовых ресурсов (х₃) будет равен:

^=37,5х₁⁰'³⁶х₂⁰'¹⁹х-°'⁴⁷,РУб/чел.

Для иллюстрации в таблице 29 приведены расчетные значения дополнительного продукта 1)₃ при различных значениях произ­водственных факторов.

29. Дополнительный продукт Х>₃ (руб/чел.) фактора трудовых ресурсов

Средний размер контура пашни, га	Фондообеспе­ченность, руб/га (*2)	Х>з при различных уровнях трудовых ресурсов (х3), чел/га
(*1)		0,15	0,20	0,25	0,30	0,40

7 600 621 542 489 449 392

7 800 656 573 516 473 413

7 1000 684 598 539 494 431

10 600 707 617 556 510 446

10 800 746 651 587 539 470

186

- Продолжение

Средний размер контура пашни, га

Фондообеспе­ченность, руб/га

В₃ при различных уровнях трудовых ресурсов (х₃), чел/га

0,15

0,20

0,25

0,30

0,40

10	1000	779	680	612	562	491
14	600	797	697	627	576	503
14	800	842	736	663	608	531
14	1000	879	768	691	634	554
18	600	873	763	687	630	551
18	800	922	805	725	666	581
18	1000	961	840	757	694	607

Приведенные данные показывают, в частности, что увеличе­ние среднего размера контура пашни и фондообеспеченности хозяйства приводит к увеличению дополнительного продукта фактора трудовых ресурсов (предельной производительности труда). В то же время увеличение трудоресурсов (в рассматривае­мых пределах) при фиксированных остальных факторах приво­дит к снижению производительности, что можно рассматривать как проявление «эффекта насыщения системы ресурсом» в усло­виях неизменного способа производства.

Отметим, что анализ средней производительности в данной за­даче является малоинформативным, поскольку для рассматрива­емой степенной функции средняя производительность во всей области значений факторов отличается от предельной произво­дительности только постоянным множителем, обратным показа­телю степени при соответствующей переменной (см. формулы в табл. 26). В данном случае имеем

Я₃=(0,53)^-1-^ =1,887-^.

Эластичность рассматриваемой производственной функции проиллюстрируем на примере фактора х₂ (фондообеспечен­ность). Согласно таблице 26 коэффициент эластичности для сте­пенной функции равен показателю степени при соответствую­щей переменной:

^₂ = 0,19.

Следовательно, при любых исходных значениях факторов х_х, х₂, х₃ относительный прирост валовой продукции растениевод­ства при увеличении фондообеспеченности на 1 % будет состав­лять около 0,19 %.

Предельные нормы заменяемости любых двух факторов для за­данной производственной функции являются отрицательными, что естественно, поскольку увеличение любого из факторов приводит к увеличению продукции у. Аналитические представ­ления для предельных норм заменяемости различных пар фак-

187

торов имеют вид

Н

х_{х₂-

ду_ Эх

г)

Ъу_

-0,19 *2

0,36 _х;

-0,53^-;

^х2

Я

Н

хрг₃

Х₂*3

ду

_кдх_ъ) ду

Эх?

ду | ₌ -0,53 *₃ Эд^^- 0,36 '_х-

ГэП -0,53*з Ч³^ 0,19 х-

=-147^-

' х₃'

=-2,79^-. х₃

Заметим, что в рассматриваемом случае норма заменяемости для любой пары факторов зависит только от этих факторов. Это характерно для многих «классических» представлений многофак­торных производственных функций (помимо функций Кобба-Дугласа, например, для линейной, кинетической и функции асимптотического роста).

Для иллюстрации в табл. 30 представлены результаты расчета нормы заменяемости фактора х₃ (трудоресурсы) фактором х\ (средний размер контура пашни).

30. Предельные нормы заменяемости Н_{х х} (чел/га) трудоресурсов (дг₃) на средний размер контура пашни (х{) при фондообеспеченности х₂ = 800 руб/га

Средний размер контура	^х^х3 при различных уровнях трудовых ресурсов (х3), чел/га
(*.)	0,15	0,20	0,25	0,30	0,40
7 10 14 18	-68,6 -98,0 -137,2 - 176,4	-51,5 -73,5 - 102,9 -132,3	-41,2 -58,8 -82,3 - 105,8	-34,3 -49,0 -68,6 -88,2	-25,7 -36,8 -51,5 -66,2

Изокванты рассматриваемой производственной функции в плоскости (х_ь х₃) при фиксированной фондообеспеченности хо­зяйства х₂ = 800 руб/га приведены на рисунке13. Их уравнения получены из общего уравнения изокванты:

■у(х_и...,х_к)=^:соп$1;

подставив в него выражение для данной производственной фун­кции, полагая х₂ = 800 и проводя соответствующие преобразова­ния, получим следующую зависимость х₃ от х_ь в которой величи­на у предполагается фиксированной:

х₃=2,9.10-5./89_хГ0,68.

188

6 8 10 12 14 16

Рис. 13. Изокванты и изоклинали степенной произ­водственной функции

Меняя у в пределах 200...500, получим набор кривых, изобра­женных на рисунке 13.

Уравнение изоклинали в плоскости (х_ь х₃) имеет вид

Х[ ₌ ^Х1,ДЗ

х₃ 147 '

где норма заменяемости Н_хьхъ рассматривается как варьируемая константа. Для рассматриваемой производственной функции графически изоклинали изображаются прямыми линиями, про­ходящими через начало координат (см. рис. 13).

Пример 3. Для сельскохозяйственных предприятий Московс­кой области, территория которых подвержена водной эрозии, была получена следующая зависимость стоимости валовой про­дукции растениеводства (у, руб/га) от различных факторов (сто­имостные показатели даны в ценах 1990 г.):

у=1,624-х^^2Пх^х^^т,

где *! — эродированность пашни, % сильносмытых земель (5 < х_х < 40); х_г — фон­дообеспеченность хозяйства (стоимость основных фондов растениеводства), руб/га (500 <х₂< 1500); щ — затраты труда, чел.-дн/га (5 <х_ъ < 25).

В соответствии с формулой для расчета дополнительных про­дуктов получим

А^-О^З^¹'²¹^⁵⁶³*⁰-⁷⁷³;

189

О₂₌^₌0,914.хГ°'²¹¹х-⁰'⁴³⁷х⁰'⁷⁷³; ¹ дх₂ ^{1 2} з '

³ Эх₃ ' ² з

Численные оценки дополнительного продукта фактора х₂ (фондообеспеченность хозяйства) при различных уровнях эроди­рованное™ пашни и затратах труда приведены в таблице 31.

31. Дополнительный продукт фактора х₂ (фондообеспеченность)

Стоимость фондов, руб/га *2	0-1 при различных уровнях затрат труда *3, чел				-дн/га
	5	,0 |	15	20	I «
		х, = 5%
. 500 1000 1500	0,149 0,110 0,092	0,225 0,189 0,158 х{ = 20 %	0,349 0,258 0,216	0,437 0,322 0,269	0,519 0,383 0,321
500 1000 . 1500	0,112 0,083 0,069	0,191 0,142 0,118 х, = 40 %	0,261 0,194 0,161	0,326 0,242 0,201	0,388 0,288 0,239
500 1000 1500	0,096 0,071 0,060	0,165 0,120 0,102	0,225 0,166 0,139	0,281 0,208 0,174	0,334 0,247 0,207

Представленные в таблице данные показывают, что при­рост валовой продукции за счет увеличения основных фондов на 1 руб/га при исходном уровне фондообеспеченности 500 руб/га и уровне эрозии 5 % возрастает с 0,149 до 0,519 при увеличении обеспеченности хозяйств трудовыми ресурсами в заданных пределах. С увеличением фондообеспеченности хо­зяйств и эродированности пахотных земель указанный при­рост уменьшается.

Поскольку в данном случае выбрана функция Кобба-Дугла-са, то коэффициент эластичности по любому производственно­му фактору численно равен соответствующему показателю сте­пени. Так, например, по фактору фондообеспеченности коэф­фициент эластичности ^2 = 0,563. Следовательно, при любом заданном уровне фондообеспеченности ее приращение на 1 % приведет к повышению выхода продукции примерно на 0,563%.

Предельные нормы заменяемости производственных факторов определяются по формулам (10.7). В рассматриваемом примере они задаются соотношениями

190

Н_Х1Х2=2,67^; Я_ад=3,66^Ц Я_хз,₂=-0,73^.

^х2 ^х3 ^х2

Для иллюстрации в таблице 32 приведены значения Н_Х]Хг ■

32. Предельные нормы ^х_г,х₃ заменяемости трудозатрат (лг₃) эродированностью

пашни (х,)

Затраты труда,		-"*!, л"з при различных уровнях эродированности
чел.-дн/га			пашни (XI),	"/О
(*э)	5	10	20		30	40
5	3,66	7,32	14,64		21,96	29,28
10	1,83	3,66	7,32		10,98	14,64
15	1,22	2,44	4,88		7,32	9,76
20	0,92	1,83	3,66		5,49	7,32
25	0,73	1,46	2,94		4,39	5,86

Положительные значения нормы заменяемости показывают, что один и тот же выход продукции может быть получен в усло­виях более сильной эрозии за счет увеличения затрат труда. Так, например, при х_] = 20 % и х₂= 15 чел.-дн/га предельная норма ■заменяемости составляет 4,88.

Напомним, что величина, обратная 4,88, является нормой

Нх_ъх_х заменяемости эродированности пашни трудозатратами (см. формулу 10.8 и предшествующее ей пояснение). Таким обра­зом, в соответствии с полученными соотношениями можно ут­верждать, что при увеличении эродированности пашни на 1 % для сохранения выхода продукции на прежнем уровне потребует­ся увеличение трудозатрат на 0,205 чел.-дн/га.

Подчеркнем, что если норма заменяемости непостоянна (как, например, в данном случае), то рассуждения, аналогичные про­веденному выше, справедливы только при малых приращениях (факторов.

Для получения аналогичных результатов при изменении про­изводственных факторов во всей области их допустимых значе­ний необходимо использование изоквант, определяемых из урав­нений типа (10.5). Для заданной производственной функции при фиксированной фондообеспеченности хозяйства х₂ = 950 руб/га уравнение изокванты примет вид

1/0,773

*з^:

У

77,0978-х,

-0,211

гО.ООЗ?-/²⁹*,⁰'²⁷,

где у предполагается фиксированной величиной.

191

При у = 200 руб/га получаем для плоскости (х_ь х₃):

0,27

х₃ =3,44x1

Аналогично могут быть получены уравнения изоквант для других пар факторов (рис. 14). Их анализ позволяет сделать сле­дующие выводы:

при фиксированной фондообеспеченности х₂ = 950 руб/га один и тот же выход продукции в денежном выражении у = = 250 руб/га может быть получен при следующих сочетаниях эро­дированное™ пашни (х{) и трудозатрат (х₃):

X! = 10 %, х₃ = 8,5 чел.-дн/га; X] = 20 %, х₃= 10,6 чел.-дн/га; х_{ = 30 %, х₃ = 11,8 чел.-дн/га;

X]

40 30 20 10

о

			/42
у	=200125дУ/		!350/^^]
		]331г		1
				—\Н*1ХГ1\
				/ I

0 5 10 15 20 25 х₃

а) Эродированность (а-/) и трудозатраты (хд);

Л'2=950 руб. на 1 га

			,^{0?	, щт
		///		/>
у=2Шу		'250/	зод^/	'350 .	щщ
				^НХ]ХГ0,01\

50 40 30 20 10 О

О 250 500 750 1000 1250 х₂

б) Эродированность (х/) и фондообеспечен-

ность (х?); х?=15 чел.-дн. на 1 га

		л	и 1 \-0,01		■7*^—
			■\-0,005г—Ч^-
у=200*	у2^Х	к^>		нХ}Хз=-о,оз
				=»-«=г-4^
^^

Х2

2000

1500

1000

500

О

0 5 10 15 20 25 х₃ в) Фондообеспеченность(Х2> и трудозатраты (Х})\ х,=2Ь%

192

Рис. 14. Изокванты и изоклинали для различных пар переменных

при фиксированной эродированности пашни х_{ = 25 % один и тот же выход продукции в денежном выражении у = 300 руб/га может быть получен при следующих сочетаниях фондообеспе­ченности (х₂) и трудозатрат (х₃):

х₂ = 500 руб/га, х₃ ⁼ 20,6 чел.-дн/га;

х₂ = 1000 руб/га, х₃ = 13,5 чел.-дн/га;

х₂ = 1500 руб/га, х₃ = 10 чел.-дн/га.

На рисунке 14 показаны также изоклинали. Для рассматривае­мой производственной функции графически они изображаются прямыми, выходящими из начала координат. Каждая изоклиналь определяет множество точек, в которых норма заменяемости со­ответствующих производственных факторов постоянна.

Пример 4. Для условий Латвии была построена следующая производственная функция:

у = 3,0 + 0,2бх, + 0,036х₂ + 0,01х₃,

где у — урожайность ячменя, ц/га; х\ — качество земли, баллы; х₂ — количество вне­сенных минеральных удобрений, кг д. в. на 1 га пашни; х₃ — обеспеченность основ­ными производственными фондами, руб. на 1 га пашни (в ценах 1988 г.)

Покажем, как можно использовать данную производственную функцию для целей прогнозирования. В частности, оценим ожи­даемый прирост урожайности ячменя в случае повышения каче­ства земли (х_{) с 90 до 100 баллов при условии, что фондообеспе­ченность сохраняется на уровне х₃ = 400 руб/га, а количество вносимых минеральных удобрений уменьшается с 200 кг д. в/га до 150 кг д.в/ га. Используя приведенную зависимость, получим:

существующая урожайность:

у_х = 3,0 + 0,26 • 90 + 0,036 • 200 + 0,01 ■ 400 = 37,6 ц/га;

прогнозируемая урожайность:

у₂ = 3,0 + 0,26 ■ 100 + 0,036 ■ 150 + 0,01 • 400 = 38,4 ц/га;

прирост урожайности:

Ьу = Уг-34 = 0,8 ц/га.

Очевидно, что в силу линейности производственной функции то же значение Ау можно получить прямым расчетом:

Ау =0,26 • Ах_х + 0,036 ■ Ах₂ = 0,26 • 10 + 0,036 ■ 50 = 0,8 ц/га.

Пример 5. Для зерновых хозяйств Кокчетавской области Ка-•ахстана найдена зависимость выхода валовой продукции от пло­щади сельскохозяйственных угодий:

193

.у = 0,34+ 0,31л:-0,0045л:²,

где у — стоимость валовой продукции, тыс. руб. на 100 га (в ценах 1988 г.); х— пло­щадь сельскохозяйственных угодий, тыс. га.

Приведенную зависимость можно использовать для оценки максимально возможного объема валовой продукции у при изме­нении х в пределах 20...50 га. График функции у(х) является вы­пуклой вверх параболой, так как коэффициент при х² отрицате­лен. Следовательно, если максимум у реализуется в пределах об­ласти допустимых значений х, то он может быть определен из уравнения

ад) = о,

где О — предельный продукт рассматриваемого производственного фактора. Для параболической зависимости у = а₀ + а_{х + а₂х² предельный продукт равен а_х + 2а₂х (см. табл. 26). Подставляя это выражение в указанное выше уравнение и решая его, получим, что значение х, при котором у достигает максимума, равно

Хо —

Л.

2йн

Используя заданную числовую информацию, получим

0,31

^хо-~-

-20,0045

=34,4 тыс. га.

Поскольку найденное значение х₀ находится в области допус­тимых значений х, то рассмотренная процедура определения у_тах правомерна. Подставляя полученное значение х₀ в выражение для производственной функции, получим

Утах ⁼ 5,68 тыс. руб. на 100 га.

Графическая интерпретация проведенного расчета дана на рисунке 15.

5,5

5,0

4,5

20 194

\УшиГ5&\
^-"•^^
	.	^х&4А\\

40

30

Рис. 15. Зависимость валовой продук­ции у от площади сельскохозяйствен­ных угодий х

Контрольные вопросы и задания

1. Назовите основные классы задач, при решении которых используют произ­водственные функции.

1. Что такое дополнительный продукт фактора? Приведите общую формулу для расчета дополнительного продукта.

1. Каков экономический смысл дополнительного продукта фактора? Как с по­мощью этого показателя могут быть определены изменения эффективности при малых изменениях фактора?

1. Каким образом дополнительные продукты могут быть использованы для оп­ределения экстремального значения показателя эффективности? Какие условия при этом должны соблюдаться?

1. Что такое средняя производительность по данному фактору? Приведите об­щую формулу для расчета средней производительности. Каков ее экономический смысл?

1. Что такое коэффициент эластичности? Приведите общую формулу для его расчета. Каков его экономический смысл? Как он связан с дополнительным про­дуктом фактора и средней производительностью?

1. Что такое изокванта? Запишите уравнение изокванты в общем виде.

1. Дайте определение предельной нормы заменяемости фактора х/ фактором х,. Каков экономический смысл этой характеристики? Какой знак имеет предельная порма заменяемости для двух факторов, если увеличение обоих факторов приводит к росту результативного показателя?

1. Дайте качественное изображение изоквант в плоскости {х_ь х,), если факторы х„ х₁ имеют ресурсный характер, если фактор х₁ имеет ресурсный характер, а фактор *} характеризует негативные воздействия на результативный показатель?

10. Дайте определение изоклинали и запишите общее уравнение для этой ли­нии.

10. Попытайтесь вывести (или запишите готовые выражения) для экономичес­ких характеристик основных однофакторных и двухфакторных производственных функций, в представлениях которых коэффициенты заданы в общем виде.

10. Выведите формулы экономических характеристик для следующих произ-иодственных функций:

у =3,19 + 0,126*! + 0,8Ьс₂ + 0,102х₃; у=10,^⁶_Х°/⁹х}⁵³; ^1,624х,-⁰'²¹¹х₂⁰'⁵⁶³^⁷⁷³;

у = 3,0 + 0,26х_; + 0,036*2 + 0,01*₃; у = 0,34 + 0,31х-0,0045х².