25. Корреляционные и дисперсионные характеристики демонстрационных задач

	Коэффициент корреляции			Корреляционное отношение			Коэф­фициент детер­мина­ции (В)	Стандар­тное откло­нение у
Задача	г	°>	Довери­тельный интервал	К	ал	Довери­тельный интервал		от поверх­ности регрессии

0,14 0,87...0,91 0,90 0,14 0,87...0,91 0,81

0,19 0,74...0,81 0,996 0,025 0,95...1,0 0,994

0,15 0,77...0,81 0,80 0,15 0,77...0,81 0,63

0,21 0,73...0,81 0,77 0,21 0,42...1,0 0,64

0,28 0.-0,91 0,97 0,078 0,84...1,0 0,95

№ 8.1 (линейная 0,90

регрессия)

0,84

3,16 5,0 0,33

! 8.2 (гипербо- 0,79 ппмеская рег­рессия)

№ 8.3 (линейная 0,80 регрессия)

№ 8.4 (функция 0,79 Кобба—Дугласа) № 8.5 (логариф- 0,45 мическая квад­ратичная рег­рессия)

Задача 9.1. Значение коэффициента корреляции свидетель­ствует о высокой степени линейной корреляции величин у и х. Достоверность расчета коэффициента корреляции высока. В силу линейности регрессии корреляционное отношение не дает дополнительной информации. Коэффициент детерминации по­казывает, что примерно 80 % изменений величины у вызвано со­ответствующими изменениями величины х. Остальные измене­ния, отражаемые выборкой, обусловлены действием неучтенных факторов. Несмещенная выборочная оценка з_у стандартного от­клонения величины у от линии регрессии составляет 1,88, то есть находится в пределах 5—10% от значений величины у, получае­мых из уравнения регрессии (сравните указанное значение з_у со сглаженными значениями у, приведенными в последнем столбце гибл. 14).

173

Задача 9.2. Здесь наглядно иллюстрируется ситуация, когда «большое» (по введенной выше градации) значение коэффициен­та корреляции не означает, что класс линейных функций адеква­тен сущности явления, рассматриваемого в задаче (см. рис. 6). Очень большое значение выборочного корреляционного отношения и малая погрешность его определения говорят о соответствии принятого класса уравнений регрессии (гиперболическая зависи­мость) выборочной информации. Это, однако, не должно созда­вать иллюзию, что возможно однозначное решение проблемы подбора сглаживающей зависимости только на основе корреляци­онного анализа. Суть остающейся неопределенности можно выра­зить, например, следующим образом: если потребителя результа­тов устраивает степень корреляции у и х порядка 0,8 («в сред­нем» — в рассматриваемых диапазонах их значений), то он «имеет право» воспользоваться не гиперболической, а более простой с вычислительной точки зрения линейной регрессией, пренебрегая тем, что она неадекватна сущности анализируемого явления.

Задача 9.3. Выборочная оценка коэффициента корреляции свидетельствует о приемлемости линейной регрессии. Оценка коэффициента детерминации В показывает, что изменения рас­сматриваемых производственных факторов — площадей кормо­вых угодий, стоимости животноводческих построек, площади смытых земель — определяют 63 % изменений плотности поголо­вья коров на 100 га сельскохозяйственных угодий. Остальные 37 % вариации у обусловлены действием неучтенных факторов.

Задача 9.4. Значение коэффициента множественной корреля­ции велико. Поэтому в принципе можно было бы воспользовать­ся линейной регрессией. Кроме того, тот факт, что значение кор­реляционного отношения (Л = 0,77) меньше значения коэффи­циента множественной корреляции (0,79), а также невысокая до­стоверность расчета корреляционного отношения свидетель­ствуют о том, что в данной задаче функция Кобба—Дугласа ме­нее приемлема, чем линейная зависимость.

Задача 9.5. Невысокое выборочное значение коэффициента корреляции и слабая достоверность его расчета говорят о том, что линейная регрессия в данной задаче была бы неприемлема. Исходная гипотеза о приемлемости логарифмической квадратич­ной регрессии подтверждается оценкой корреляционного отно­шения и погрешности его определения. Большое значение коэф­фициента детерминации свидетельствует о превалирующей роли изменения расстояния х от лесополосы в изменении прибавки урожая у (в рассматриваемых границах значений х). В то же вре­мя следует учесть, что на границах рассматриваемого диапазона

значений стандартное отклонение у от линии регрессии у(х) может достигать почти 20 % (ср. последний столбец табл. 24 со значением з_у для задачи 8.5 в табл. 25).

174

Контрольные вопросы и задания

1. Что характеризует коэффициент корреляции?

1. Запишите выражение для расчета выборочного значения коэффициента пар­ной корреляции.

1. Каков диапазон возможных значений коэффициента парной корреляции? Что характеризуют различные уровни значений модуля коэффициента парной кор­реляции? Чему соответствуют положительные и отрицательные значения коэффи­циента парной корреляции?

1. Что такое коэффициент множественной корреляции? Приведите общее вы­ражение для расчета этого коэффициента. Каков диапазон его возможных значе­ний?

1. К чему сводится выражение для расчета коэффициента множественной кор­реляции, если число производственных факторов равно одному? двум?

1. Дайте определение корреляционного отношения. Что оно характеризует? В чем заключается его отличие от коэффициента корреляции?

1. Приведите формулу связи между корреляционным соотношением и коэффи­циентами корреляции для случая линейной регрессии.

1. Как вы объясните утверждение: «Выборочные значения коэффициентов кор­реляции имеют статистический характер»?

1. Приведите формулы для расчета среднеквадратической ошибки определения выборочного значения парной и множественной корреляций при различных объе­мах выборки.

10. Что такое «правило трех сигм»?

10. Приведите формулу расчета параметров доверительного интервала для ко­эффициента корреляции /о из генеральной совокупности при больших объемах нмборки. Какое допущение лежит в основе этой формулы?

10. Приведите формулу расчета параметров доверительного интервала для коэф­фициента корреляции г₀ из генеральной совокупности при больших объемах выбор­ки. Какую роль играет при получении этой формулы статистика 2 Р. Фишера?

10. Как можно проверить достоверность гипотезы: «Коэффициент корреляции 1п генеральной совокупности с доверительной вероятностью р не отличается зна­чимо от нуля»?

10. В чем состоит смысл задачи оценки значимости представления производ­ственной функции, полученной по результатам выборочных наблюдений?

10. Опишите качественно процедуру совместного анализа корреляционного от­ношения и коэффициента множественной корреляции при оценке допустимости использования линейной регрессии или регрессии другого вида.

10. Какими показателями характеризуется степень влияния производственных факторов на результативный показатель?

10. Как определяются дисперсии:

отклонений сглаженных значений результативного показателя от среднего на­блюдаемого значения;

отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от линии рег­рессии?

18. Дайте определение коэффициента детерминации. Что он характеризует?

18. Как коэффициент детерминации связан с корреляционным отношением и коэффициентом множественной корреляции в случае линейной регрессии?

18. Приведите формулу для расчета доверительных границ зависимости у(х) для случая однофакторной линейной регрессии.

18. Как вы понимаете задачу оценки достаточности числа наблюдений?

18. Каким должен быть минимальный объем выборки Ж в зависимости от коли­чества производственных факторов А/? Можно ли определить достаточный объем выборки независимо от оцениваемой характеристики случайной величины?

18. Приведите формулы для расчета необходимого объема выборки, если оце­нивается среднее значение наблюдаемой случайной величины.

18. Проведите качественный анализ результатов из таблицы 25. Попытайтесь на основании представленных в этой таблице данных применительно к задачам 8.1, К.2, 8.4, 8.5 ответить на следующие вопросы:

175

допустимо ли использование линейной регрессии для описания статистичес­кой информации, приведенной в задаче в качестве исходных данных?

Является ли правильным выбор класса функций при построении регрессии для данной задачи?

Насколько (количественно!) существенно влияние неучтенных факторов на ре­зультативный показатель в данной задаче?

Какова (в %) несмещенная оценка стандартного отклонения результативного показателя от линии регрессии (при ответе на этот вопрос следует воспользоваться помимо таблицы 25 данными, представленными в последних столбцах табл. 14, 17, 23, 24)?

Приложение к главе 9

Р-процентное значение 1_р нормально распределенной величины ( (Р= 100/», где р — доверительная вероятность).

Для нормально распределенной со стандартным отклонением 1 случайной величины /значение (_р удовлетворяет условию «|/| не превосходит 1_р с вероятностью р» и является решением уравнения Ф(/) = р, где Ф(/) — интеграл вероятности.

0,80	1,28	0,98	2,33
0,85	1,44	0,99	2,58
0,90	1,65	0,999	2,39
0,95	1,96	0,9999	3,89

Р-процентное значение /_рЛ, величины /, распределенной по закону Стьюдента с V степенями свободы.

Для случайной величины /, распределенной по закону Стью­дента с V степенями свободы, значение 1_р, _ч удовлетворяет усло­вию «Ц не превосходит 1_р<у с вероятностью р» и является решени-

•Р,\!

ем уравнения 2 \з^х)с1х=р, где 5_у(х) — плотность вероятности для распределения Стьюдепта.

1„ при различных значениях;?

р=0,8

р = 0,<

р = 0,95

р = 0,9&

р = 0,99 р = 0,999

176

4	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61
5	1,48	2,01	2,57	3,37	4,03	6,86
6	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	5,96
7	1,42	1,90	2,37	3,00	3,50	5,41
8	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04
9	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78
10	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	4,59
12	1,37	1,78	2,18	2,68	3,06	4,32
14	1,35	1,76	2,15	2,62	2,98	4,14
16	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92	4,02
18	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88	3,92

Прдолжение

1_Р при различных значениях р

	/;=0,80	/> = 0,90	/> = 0,95	/> = 0,98	/> = 0,99	Р = 0,999
20	1,33	1,73	2,09	2,53	2,85	3,85
25	1,32	1,71	2,06	2,49	2,79	3,72
30	1,31	1,70	2,04	2,46	2,75	3,65
40	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70	3,55
60	1,30	1,67	2,00	2,39	2,66	3,46
120	1,29	1,66	1,98	2,36	2,62	3,37
со	1,28	1,65	1,96	2,33	2,58	3,29

Г л а в а 10

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ

10.1. ОСНОВНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Производственные функции как результат обобщения опыта, прямых наблюдений и экспериментов в землеустроительной практике служат концентрированным источником исходной ин­формации; можно выделить три основных класса задач, в кото­рых целесообразно их использовать:

задачи прогнозирования¹, в которых граничные условия либо во­обще не задаются в явном виде, либо играют чисто номинальную роль (определяют область допустимых значений аргументов фун­кции регрессии);

оптимизационные задачи, в которых эти условия играют актив­ную роль факторов, формирующих облик оптимального решения;

задачи экономического анализа состояния и использования зе­мель, изучения других процессов, существенных для землеуст­ройства.

На первый взгляд к самостоятельному классу относятся опти­мизационные задачи, в которых оптимальное решение находится в виде экстремума производственной функции внутри области допустимых значений аргументов х_и...,х_к, однако в действитель­ности в сложных задачах факт нахождения экстремума внутри области допустимых значений устанавливается после его отыска­ния, и, следовательно, такие задачи — частный случай задач вто­рого из названных классов.

¹ Независимо от того, где они возникают: при разработке проектных решений, при средне- и долгосрочном планировании или собственно прогнозировании на длительную перспективу.

177

В приводимых ниже определениях предполагается заданной функциональная зависимость результатов производства от ряда факторов у = у(х_и...,х_к), причем эта функция имеет первые про­изводные по всем аргументам. Рассматриваемые характеристики имеют по преимуществу экономический смысл, и соответствен­но основная область их применения — анализ влияния различ­ных факторов на эффективность производства. На микроэконо­мическом уровне в качестве анализируемого результата произ­водства могут выступать как обобщенные экономические показа­тели (валовой продукт, чистый доход и т. п.), так и частные (урожайность конкретной культуры, стоимость продукции расте­ниеводства и т.д.). Далее в данном разделе величина у, как пра­вило, называется показателем эффективности производства или просто показателем эффективности.

Дополнительный продукт фактора х (или иначе предельная про­изводительность) определяется частной производной:

п ^дУ

°^{1 =} дх-> <^10Л)

причем все остальные факторы считаются постоянными.

По самому смыслу производной Д она характеризует скорость (темп) изменения показателя эффективности «в данной точке» при изменении /-го фактора и заданных значениях других произ­водственных факторов¹. Приближенно Д равна приросту Ду про­дукции за счет увеличения /-го фактора на единицу (Ах,= 1).

Если известен дополнительный продукт /-го фактора, то при малых приращениях Ах,- новое значение показателя эффективно­сти может быть оценено по формуле

у(х/ + Ах,) = у(х,) + ДДх,-. (10.2)

Эта формула «предсказывает» линейное изменение показате­ля эффективности при изменении данного фактора, что в общем случае верно лишь при небольших значениях Ах,-. Исключение составляет случай линейной зависимости показателя эффектив­ности от фактора х,. Например, если однофакторная производ­ственная функция линейна: у =а₀ + а_{х, то формула (10.2), с уче­том того что

л ду справедлива при любых значениях Ах,-. В других случаях оценка

¹ По этой причине дополнительный продукт фактора относят к так называе­мым точечным оценкам.

178

изменения у по формуле (10.2) при больших значениях Ах,- может приводить к неприемлемо большим погрешностям.

Если известно, что рассматриваемый показатель эффективно­сти у достигает максимума внутри области допустимых значений производственных факторов х_ъ...,х_к, то максимальное значение у и соответствующие ему оптимальные значения фактора могут быть определены путем решения системы уравнений:

А(*1.-.*лг)=0 '

В_к(х_ь...,х_к)=0

где зависимости предельных продуктов от производственных факторов определяются по формуле (10.1) при заданной зависи­мости у(х_и...,х_к).

Средняя производительность

Д-=^7 (Ю-3)

отражает средний темп изменения показателя эффективности при увеличении /-го фактора в диапазоне от нуля до заданного значения х,-.

Если под у понимать не показатель эффективности производ­ства, а производственные затраты на выпуск продукции, то рас­сматриваемое отношение 77,- следует интерпретировать как себе­стоимость единицы продукции.

Если у(х) — линейная функция, у = а₀ + а_{х, в которой величи­на а₀ интерпретируется как постоянная составляющая затрат, а коэффициент регрессии а_х — как текущий расход на единицу продукции, то себестоимость единицы продукции, рассчитанная по формуле (10.3), будет убывать с ростом производства за счет уменьшения доли постоянных расходов а₀ по сравнению с пере­менной составляющей а_хх.

Коэффициент эластичности

Е> =

К^Х1

'$уу Эх. У

(10.4)

характеризует относительное изменение результата производства на единицу относительного изменения /-го производственного фактора. Численно он равен отношению дополнительного про­дукта данного фактора (предельной производительности) к сред­ней производительности:

179

у)

дх^

К^Х1

ду_ Эх,-

Ч)

Приближенно коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результат производства при изме­нении /-го фактора на 1 % при неизменной величине других фак­торов.

Предельная норма заменяемости может рассчитываться, когда число факторов более единицы. Здесь необходимо ввести новое понятие — изокванты производственной функции. В общем слу­чае она определяется как поверхность в А'-мерном пространстве производственных факторов х_х,...,х_к, на которой показатель эф­фективности производства постоянен; таким образом, уравнение изокванты имеет вид

у(х_и...,Х_к) = СОП51.

(10.5)

Если число факторов равно двум (или когда при К> 2 анали­зируются только два фактора /, /), то геометрически изокванта может быть изображена как линия на плоскости (х_ь х_у). Задавая различные значения константы в уравнении (10.5), можно полу­чить набор изоквант.

Рассмотрим ситуацию, когда все факторы, за исключением двух указанных, фиксированы. В этом случае дифференциал (приращение) у определяется соотношением

йу=~-йх₁+—^—йх:. Эх,- Эху

На изокванте (у - сопз1) приращение йу, по определению, должно быть равно нулю; следовательно,

йу=-^- их; + —— их 1 = 0. Эх,- дx^ '

Преобразовывая это равенство, получим

^1=Н_х._х.{х_ь...,х_к)йх_], (Ю.6)

где

^Нх,,хМ-"^хк)=-

ду_

Эх,-

Б

Щ

(10.7)

180

Величина Н_х._х.(х_{,...,х^) называется предельной нормой заме­няемости фактора X] фактором х,-. Смысл этого названия раскры­вается следующей приближенной экономической интерпретаци­ей соотношения (10.6):

для сохранения заданного уровня производства у = сопз! в случае изменения фактора х₁- на единицу (Л,- = 1) изменение фак­тора х,- должно быть равно предельной норме заменяемости

Из (10.6) следует, что для любой пары факторов норма заме­няемости фактора х_] фактором х,- связана с нормой заменяемости фактора х,- фактором х^ соотношением

Н_Х1,_Х]{х1,...,х_ку\/Н_х._х.(х_ъ...,х_к). (Ю.8)

Если связь обоих факторов с результатом такова, что их из­менение действует на у в одном направлении (например, рост как х,-, так и х^ либо увеличивает, либо уменьшает у), иначе гово­ря, дополнительные продукты по обоим факторам имеют оди­наковый знак, норма заменяемости будет отрицательной. Это значит, что для сохранения постоянного уровня у уменьшение одного фактора должно компенсироваться ростом другого фак­тора и обратно — при увеличении одного фактора допустимо уменьшение другого. Это «естественное» поведение зависимос­тей при правильной организации производства, если оба факто-

Рис. П. Изокванты:

а — убывающие: б — возрастающие

181