Глава 9

ОЦЕНКА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

9.1. ПОНЯТИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ

О практической ценности построенных производственных функций можно судить только после оценки ее статистической достоверности. Такая оценка производится путем вычисления коэффициентов корреляции, корреляционных отношений и раз­личных статистических величин, характеризующих тесноту связи результативного и факторного показателей.

Регрессионную зависимость, используемую в качестве функ­ционального представления производственной функции, мож­но построить практически по любой выборке. В то же время, как уже отмечалось, функциональное (однозначное) представ­ление — это идеализация. В действительности зависимости не­однозначны и имеют статистическую природу, то есть связь ре­зультатов с производственными факторами не абсолютная. По­этому наряду с функциональным представлением производ­ственной функции полезно ввести ряд показателей, характе­ризующих реальную тесноту связи результата у с факторами

161

В качестве одной из указанных характеристик может исполь­зоваться коэффициент корреляции, показывающий, насколько за­висимость, выраженная выборкой, близка к линейной.

Как было принято ранее, результативный показатель и произ­водственные факторы рассматриваются в качестве случайных ве­личин. В то же время законы распределения этих величин неиз­вестны. Следовательно, при определении всех характеристик, в том числе и коэффициентов корреляции, мы будем оперировать соответствующими выборками.

Для парной (однофакторной) зависимости (К=\) выборочное значение коэффициента парной корреляции по определению за­дается соотношением

г=г_ух

Е((х^-х)(У-]

(9.1)

где х = /У"

7=1

у = /У

1 N .

¹ ху.

7 = 1

Для расчетов более удобна следующая формула, полученная преобразованием предыдущей:

N I . _Л

уу;е(х^ух^у|-

( N .У ТУ Л

2х^у

7 = 1

0 = 1 .

В геометрической интерпретации коэффициент г показывает, насколько геометрическое место точек, определяемое выборкой, близко к прямой линии. Подчеркнем это обстоятельство еще раз: величина коэффициента корреляции отражает не тесноту связи у и х вообще, а только близость этой связи с линейной. Далее будут приведены примеры, когда коэффициент корреляции по абсо­лютной величине мал (линейная связь слабая), а реальная связь результата производства с производственными факторами доста­точно тесна.

В соответствии с определением коэффициента парной кор­реляции его значения находятся в интервале [— 1,1]. На прак­тике принято считать, что если модуль коэффициента г нахо-

162

дится в пределах 0...0Д5, то линейная связь отсутствует. При |г| = 0,1б...0,2 связь плохая, при |г| = 0,21...0,3— слабая, при г\ = = 0,31...0,4 —умеренная, при \г\ = 0,41...0,6 — средняя, при г\ = = 0,61...0,8— высокая, при \г\ = 0,81...0,9 — очень высокая, при \г\ = 0,91... 1 —полная. При положительных значениях коэффи­циента парной корреляции говорят о прямой связи, при отрица­тельных — об обратной.

В случае, когда мы имеем дело с множественной зависимос­тью (К> 1), используют коэффициенты парной корреляции для пар

отдельных факторов— ^гх[х2'^гхт ^{и т}-^д-> ^котоРые отражают кор-релированность соответствующих факторов (но только в смысле линейной связи!). Формула для выборочных оценок таких коэф­фициентов подобна (9.1).

Введем матрицу коэффициентов парной корреляции:

УУ УХ\ 'ух₂

Г У V

'х\у х\х\ х\Х2

УХ К ^гх\хк

^гх_ку ^гх_кх_х ^гх_кх₂

'хкхк

Тогда коэффициент множественной корреляции (иногда ис­пользуют термин «свободный коэффициент корреляции») между у и совокупностью факторов х[,...,х% определяется следующим образом:

^гу;х\,...,х_к |1"

¹уу

где Р— определитель матрицы Р; Руу — алгебраическое дополнение первого эле­мента матрицы Р.

Область значений коэффициента множественной корреля­ции — [0,1]. Этот коэффициент показывает, насколько в (К + 1)-мерном пространстве переменных (у, х_ь...,х_х) геометрическое место точек, определяемое выборкой, близко к гиперплоскости.

В случае парной зависимости формула для коэффициента множественной корреляции сводится к (9.1), а в случае зависи­мости результата производства от двух факторов может быть пре­образована к виду

'у;х[,х₂

' ^Гух\ ^{+ Г}ух2 ^2гх\Х2 ^Гух\ ^гух₂

х\х₂

Х-г¹

163

Как уже отмечалось, коэффициенты корреляции отражают не тесноту связи у с Х\,...,х^ вообще, а близость этой связи к линей­ной. Тесноту нелинейных связей можно характеризовать выбороч­ным корреляционным отношением:

N , . _Л2

X [у^]-уЛ

I ДМ

где у' =/\х{,...,х'Л —значение результативного показателя, определяемое в соот­ветствии с построенной регрессионной (сглаженной) зависимостью в точках, зада­ваемых анализируемой выборкой.

Область значений корреляционного отношения — [0,1]. Корреляционное отношение показывает, насколько принятая

регрессионная зависимость у=/(х],...,х^), ^гДе функция / отно­сится к определенному классу (необязательно линейных функ­ций), соответствует реальной статистической картине.

Для случая линейной регрессии (когда функция / линейна) выполняются соотношения:

К=г_{ух Хк} (случай множественной связи); К =|г^| (случай парной связи).

Очевидно, что если связь у с х_и...,х_ктесная и близкая к линей­ной, то как К, так и г_{у;хь >хк} будут близки к 1.

Подчеркнем, что хотя в случае линейной регрессии значения коэффициентов К и г_у.^_Хх^_Хк совпадают, в общем случае они ха­рактеризуют различные аспекты исходной статистической ин­формации (выборки), в связи с чем на практике целесообразно совместное их использование.