8.5. Применение линейных моделей регрессии

Разумеется, решение уравнения (8.13) в реальных задачах дол­жно проводиться на ЭВМ, желательно с использованием мощ­ных профессиональных пакетов программ. В то же время после­довательное применение моделей регрессии вида (8.12) позволя­ет сделать более наглядным алгоритм получения системы нор­мальных уравнений и в простых случаях (как правило, рассматриваемых в учебном процессе). В частности, удается обойти этап непосредственного вычисления производных произ­водственных функций (см. систему 8.2).

Проиллюстрируем это на примере однофакторной зависимое -

152

ти параболического вида

у =Я%, а_ъ а₂; х) = а₀ + а\х + а₂х². Очевидно, что в этом случае

Ф1(х) ⁼ 1; ФгОО = х; ф₃(х) = х².

Пусть имеется N наблюдений за результатом производства и единственным производственным фактором: у^х,...,у^м, х^х,...,х^м; тогда введенные выше объекты будут иметь следующий вид.

Векторы-столбцы результатов производства и оцениваемых параметров:

X¹ (х¹ х² (х²)'

х^(х^}

С=(^...,^=(у\...,УУ; е = (0_ь «_2> вз)^г=(«ъ «ь «₂)^Г; матрица Ф:

^Ф=1кт||=|фт(^

Подставляя полученные выражения в матричное уравнение (8.13), получим

1 1

х¹ х²

„ЛГ

2/ л\2

_ми-кг

1х

¹ _И²

² (х²)²

1 1 •

^

х¹ х² ■ \2/ л\2

_ИУГ-И'

^У°

_л

153

Далее, перемножая матрицы и векторы, получим

1>^у' 1(^)²х(х^)^:

Х(х'У)

или в привычной элементарной алгебраической форме (сравните с системой уравнений 8.6):

У=1 У=1^{У У} У=1

N . N , _Л2 Я . _ЛЪ N , . _л

«оЕ(^) +я,х(х') +«₂Е(^) =Х[>'^уК)

Приведем еще два примера.

Если в качестве уравнения регрессионной зависимости выб­рана функция Кобба-Дугласа, соответствующие векторы и мат­рицы будут иметь вид

С= (е\ ^,...,ё^м)^т= (1пУ, ]цу*,...,1пу")^т; в = (в_ь в₂, 0₃, «₄)^г;

Ф^|фу>я||= Фт(-^^У)

и ■> и \ /

1 1пх| Ых^ 1пх] 1 Ых* Ых^ 1пх^

Уравнение (8.13) примет вид

154

Мах? Ых? Ых?

0		г*л
		02
1)		«3 ^4]

Х1п*/

N

ХШх/ ^\пх{

Х1пх/ Х(1пх/)² е(1пх/)(1пх>)е(1пх/)(1пх

2Ых{ Х(1п^/)(^1пх2 )Х(ЬХ^')² Х(1пх/)(1пх^

Х1пх₃^УХ(1пх/)(1пх₃^у')х(1пх^(1пх/)х(1п^

1пу²

лг

1пу

1 1 -1 1пх| гпх^ ■■■\пх^^г 1пх₂ 1пх₂ --Лпх^ 1пх] 1пх₃ ••■1пх₃^л'

или

N . N . N . N

., /V I 0₂ X ^1п*/ +*з X 1пх₂^у +*₄ X 1пх₃^; = Х^У;

^2

У=1 У=1 7=1 у=1

/V

#

Л'

о, V 1пх/ +й₂ X 1пх/ +в₃ X ^1пл/ ^1пл;2 ⁺*4 X ^1п*/ ^1п*з ⁼ Х1пх/ \а.у->;

/ I у=Г ^У 7=1 У=1 У=1

/V . N . . N , _л2 N . . N . .

О, V |_пх^ +^2 Х^1п^/1ПХ^+^₃ X ^1пх2 +*4Х^1п^2^1пХ3^/=Х^1п;С2^1п:,;'^/; / I У=1 У=Р ' у=1 У=1

/V . N . . N . . N , _л2 N . .

о, >; йтх/ +я5₂ X^1п*/ ^1п*₃ ⁺*з X ^1пх2^1пхз ^+1Э4 X ^1пхз ⁼ Х^1пх₃^{у 1п}-^у'^/-

После решения этой системы уравнений относительно О!,...,Ф₄ значения искомых параметров а₀,...,а₃ определятся соот­ношениями:

а₀ = ехр(60; й^ = Ь₂, а₂ = Ь₃, а₃ = 6₄-

В случае выбора в качестве однофакторной регрессионной за-иисимости логарифмически квадратичной связи вида

1§ у = а, + а₂1§ х + а₃(1§ х)²

получим линейную модель регрессии

% = -&1<Р1(Х) + -&₂<Р2(Х) + #ЗФЗ(Х), \Ж8=]ёу, О, = а,;-&₂ = о₂; в₃ = а₃; Ч>1(*) = 1; Ф2ОО = 1§*; <Рэ(*) = (1§х)².

155

Соответствующие векторы и матрицы будут иметь вид

1Щ

«МФ/и =

^{&

1 1&х¹ (1§х') 1 1§х² П§х

1 ^(^

Уравнение типа (8.13) выглядит следующим образом:

^1е*^У Е(1е^')²Е(18^') Е(18*^У')²Х(18х^У)³Х(1ех;)'

Щ>"'

или в привычной элементарной алгебраической форме

IV ■ IV I -\1 IV

а_{М+а₂ 11ёх⁷+й₃ X 1§хЛ = Х^У;

N N I _л2 N , _л3 N / . л

а_{ X \^+а₂ X 1§хЛ +а₃ X Пех^у = X 1еУ 1Е^ ;

7 = 1 У=Г ' У' = Р ' У' = 1^Х '

а_х X (1_ёхЛ +а₂ X 1е*^у +а₃ X 1е*^у = X \ёУ^у Пе^

•\2"

Линейная модель регрессии вида (8.12) была положена в осно­ву разработанной в лаборатории автоматизированного проекти­рования кафедры землеустройства ГУЗ программы расчета пара­метров производственных функций на основе выборочной ин­формации. Программа предназначена главным образом для ис­пользования в учебном процессе в ходе изучения студентами производственных функций в курсе «Экономико-математичес­кие методы и моделирование в землеустройстве». Ниже пред­ставлены результаты решения двух демонстрационных задач, по­лученные с помощью указанной программы.

156

Задача 8.4. По исходным данным, представленным в таблице ) I, рассчитать сглаженную зависимость урожайности у кукурузы па зерно (ц с 1 га) от затрат на удобрения х\ (руб. на 1 га) и на гсмена х₂ (руб. на 1 га) в предположении, что зависимость имеет

форму функции Кобба-Дугласа у=%х"^хх^-. 21. Исходные данные к задаче 8.4

]	У	Х\	*2
1	34,1	4,1	2,7
2	40,0	6,2	5,4
3	38,2	5,6	5,8
4	42,1	6,1	5,9
5	30,0	4,3	2,4
6	37,2	5,3	5,6
7	34,0	4,5	4,0
8	43,0	7,0	5,2
9	22,3	1,4	4,0
10	42,4	7,0	7Д
11	28,1	3,1	2,7
12	46,7	2,3	5,9

Задача 8.5. Для лесной полосы высотой 18 м и шириной 13 м но результатам наблюдений установлено соответствие между прибавкой у урожая зерновых культур (ц с 1 га) и расстоянием х до лесной полосы (м); соответствующие данные приведены в таблице 22. Построить регрессионную зависимость в предполо­жении, что уравнение связи имеет вид

1ёУ = а₁+ а₂\ё х + а₃(]ё х)².