18. Исходные данные к задаче 8.3

}	*1	*2	X]	У	1	*|	*2	X}	У
1	21,5	4,9	31,3	15,7	11	11,3	4,0	42,1	15,0
2	10,3	16,4	25,6	23,5	12	14,1 .	15,0	8,5	16,3
3	12,6	14,8	21,0	13,5	13	15,6	6,0	11,0	11,3
4	8,9	12,3	14,8	15,0	14	20,4	8,0	9,5	15,9
5	20,3	4,9	17,0	10,2	15	27,5	9,0	11,5	18,7
6	29,0	5,8	44,4	14,1	16	15,0	10,0	28,5	17,5
7	19,7	4,0	47,0	12,9	17	17,1	5,3	20,5	12,6
8	29,5	11,3	37,5	16,8	18	22,7	17,1	35,0	■ 22,3
9	34,3	6,4	27,7	17,1	19	36,7	4,0	9,0	9,6
10	23,0	7,0	35,6	10,0	20	31,6	15,6	40,5	29,0

В соответствии с условием задачи решение будем искать в виде линейного уравнения вида (8.9), коэффициенты а₀> ^аи ^а2, ^аъ которого определяются из системы нормальных уравнений вида (8.10). Промежуточные вычисления представлены в таблице 19, в которой дополнительно даны результаты расчета следующих контрольных сумм:

5 = х_{ + х₂ + х₃ + у; $1 =х^ +Х{Х2 +Х)Х₃ +Х{у;

02 ⁼-^1-^2 ~^^-₂ "^-^2^3 ~^^2У' $3 =Х)Хз +Х2Х3 +Х3 +ХзУ-

Должны выполняться условия (см. соответствующие столб­цы):

О} ⁼ Х]Л; 02⁼ -^2^: ^3 ⁼⁼ -^3^*

В каждом равенстве указанного вида числа слева и справа должны совпадать с точностью до единицы последнего разряда при условии, что расчеты ведутся при фиксированном числе зна­ков после запятой.

С учетом результатов, представленных в последней строке таблицы 19, систему нормальных уравнений (8.10) можно

144

00ГЧО^Г-СГч'^-Ч0^ОООчГ>'^,*'^-<ЛюЧ0ГЧЧ05.

т-^м>-г^оО«Г10\сэот1^.г01>-см-нчо—-сип—• ;.

оо

а-\0

щ~ о

!

^с!§

_,1

о о

е!^

зщ

~ I/-,

&

:оЧ^

5

и р.

О

*„С7\ОО О ^и⁴^ О О ^

^^^^^^^^^г-^^^эоос^^^^^-^оо _ач-

ю т*о -

.ГПОГ^'ЛГПОП-^'О^-'ОО —С^Г^У:'

Ф о а ; б о

О :

—■«г^го-^г»очог^ооач

О—^ОК-Л-^^ЧЭГ-ООС^О^ г>ок>;

гч — — ~'^<и ■

НН|%

I

Контроль	г"4
	°3, х1
С-4 г1
Контроль	о?
	^ ч"
а
5
<^1 гЧ
Контроль	оз
Номер	3 1

— ОЧ ЧО .^ (~~ С-4

— а\ чо ^ с- см _ -^_,_«-> ог

0О1Г1 *3"

-^ ОО

оЗю^-Ь-"*^1^а-\00\г-!ОООЧ1-?пГ--:П<-4

сп^с^^сч^го^'^'псчоосч^гчс'г^сч^сч^г'-!

чо д — о «-> ■* т С; -* <х а\ о чо т о — очоК о5;" го^о\югч>^гг>^;'л<огчоог-1^-чог-гч^гч^г

^^01л_огч,_гч,оо\_ао'о(-~оо'Г1_г^.-н₀₀гч₀₀ о.

1ПГ^-^51Г?1поогмг--т)-чогч>^й;осоосл^гп;

-* 35 - а -г * ^ й - ^ *■= ™ ^ ■* -¹ § 0° ^ ^ 3 ^

оо__^т|-чог~-1Г1гпо\_ет_₁-оо^-1л_гг.'*чооо? ^<~-5йчп^ч0ОЧ-Огп<-122чпм°^^^ч0??^<=^>,^⁰⁰чо „г^г-п^_Гч1_^_Сч(гч1__чоог-чо____-о>_{гч|Гч;гп}-^

—<С-4г*-|^}-»г-)ЧО(--ОООЧ

О—'С-4г*-)->3-тчОГ--ООСЛО

146

записать так:

о₀ +21,060!+9,09а₂+25,4а₃ = 15,85; 21,06а₀+507Д8а₁+183,01а₂ +556,88а₃ =336,63; 9,0900 + 183,010! +102,82о₂ +226,11а_ъ =159,05; 25,4о₀+556,88^ +226Д7а₂ +818,18а₃ =418,64.

(8.11)

Решение ее проведем по простейшей схеме метода исключе­ний Гаусса. Вся последовательность вычислений дана в стандар­тной таблице; она разбивается на несколько прямых и обратных ходов метода Гаусса, а прямой ход, в свою очередь, разбивается на несколько разделов — по количеству неизвестных. В каждом разделе прямого хода, начиная со второго, происходит исключе­ние одной переменной и соответственно одного уравнения. Кро­ме того, по ходу вычислений определяют несколько вспомога­тельных величин, позволяющих контролировать правильность расчетов (Сборник задач по методам вычислений/Под ред. П. И. Монастырского. — М.: Физматлит, 1994. — С. 27—31).

20. Ведомость вычисления параметров уравнения регрессии для задачи					8.3
Раздел | I	*„	К,г \*п	К14 Кц	Къ	2;
1 1 2	3	_ | _	6 | 7	8	9

Прямой ход метода Гаусса

II

ИГ IV V

1,00 21,06 9,09 25,40

1,00

а₀

21,06 507,18 183,01 556,88 21,06 63,66 -8,43 21,96 1,00

9,09 183,01 102,82 226,17

9,09 -8,43

20,19 -4,72 -0,13

19,08 -1,81

1,00

25,40 556,88 226,17 818,81 25,40 21,96 -4,72 173,65 0,34 -1,81 166,08 -0,09 165,91

Обратный ход метода Гаусса

а.

«1

15,85

336,63

159,05

418,64

15,85

2,83

14,97

16,05

0,04

15,35

15,07

0,80

16,53

0,10 0,81 0,12 3,44

72,40 1604,76 680,14 2045,90 72,40 80,02 22,02 206,94

1,26 32,61 179,34

1,71 182,44

72,40 80,02 22,02 206,94

1,26 32,61 179,34

1,71 182,44

Рассмотрим структуру таблицы (см. табл. 20).

Структура первых 4 строк I раздела: 1-й столбец — номер раз­дела; 2-й — номер уравнения; 3—6-й столбцы — коэффициенты при неизвестных системы (8.11), обозначаемые символами Кц, г, /= 1,..., 4; 7-й —правые части уравнений (обозначим их Кц); 8-й

147

5

столбец — сумма К& = ^Ку; 9-й столбец в первом разделе не за-

7=1 полняется.

5-я строка I раздела (заполняется начиная с 3-го столбца): 3—

' 5 ^

8-й столбцы — числа 2?,,-= Ку/К_п, } = 1,...,6; 9-й — 5₁₇ =

1+ ЪВу

Проверка: числа В₁₆м В₁₇ должны совпадать с точностью до еди­ницы последнего разряда при условии, что расчеты ведутся при фиксированном числе знаков после запятой.

Первые 3 строки II раздела содержат коэффициенты преобра­зованной системы уравнений: из первого уравнения неизвестная а₀ выражается через другие неизвестные и подставляется в другие уравнения. Соответственно новые значения коэффициентов оп­ределяются по формулам (верхний индекс — номер раздела)

К®=К_&-К_пВц, 1 = 2, 3, 4,; = 2,...,6; К$=ЪК®, / = 2,3,4.

7 = 2

Проверка: с указанной выше точностью должно выполняться

равенство К^'=Ку-

Элементы последней строки раздела II:

^=*М,7 = 2,..,6;^

1+ 1В_и

7 = 2

Проверка осуществляется так же, как в разделе I. Следующие (III и IV) разделы таблицы заполняются по аналогичной схеме.

Обратный ход метода Гаусса осуществляется следующим об­разом.

Вносим в раздел V обозначения переменных (см. табл. 20); значения переменных заносим в 7-й столбец, рассчитывая их по следующим формулам:

а_х=В®-В®а_ъ-В®_а1\ аь=В®-В§а_ъ-в!§а₂-В§а_х.

Согласно полученным результатам уравнение регрессии для рассматриваемой задачи будет иметь вид

^=3,44+0,126х, + 0,8 \х₂ +0,1х₃. 148

На рисунке 7 полученная аналитическая зависимость иллюстрируется графически.

Относительно рассмот­ренной схемы решения за­дачи необходимо сделать ряд оговорок. Дело в том, что для эффективной рабо­ты использованной здесь простейшей разновидности метода Гаусса необходимо выполнение двух условий:

Рис. 7. Результаты решения задачи 8.3. Сглаженная зависимость у от х\, х_г, х$

на каждом этапе (разде­ле) прямого хода метода первый коэффициент пер­вой строки не должен быть пулевым;

все коэффициенты не должны сильно различаться по абсо­лютной величине.

При нарушении первого условия схема вообще неприменима, а при нарушении второго ошибки округления могут стать непри­емлемо большими. Обойти указанные трудности можно, приме­нив метод Гаусса с выбором главного элемента. Суть его заключа­ется в том, что на каждом этапе расчета (в каждом разделе табли­цы) отыскивают наибольший по модулю коэффициент (называе­мый главным или ведущим), а переменные и уравнения переставляют так, чтобы указанный коэффициент был первым в первой строке данного раздела. В остальном все операции подоб­ны рассмотренным выше. При решении задачи 8.3 применение такого метода не оправдано, так как ошибки округления и без того малы, а выделение главного элемента требует выполнения большого числа трудоемких комбинаторных операций. Однако в общем случае при разработке программного обеспечения эконо­мико-статистических моделей требуется применение сложных модификаций метода Гаусса. Именно с использованием таких модификаций реализован разработанный в ГУЗ программный комплекс, предназначенный для расчета параметров производ­ственных функций.

В заключение отметим, что при решении практических задач расчеты следует проводить на компьютере с использованием со­временного программного обеспечения (в частности, упомянуто­го программного комплекса, разработанного в ГУЗ). Вместе с тем при освоении материала данной главы полезно несколько за­дач просчитать вручную. При этом, естественно, можно восполь­зоваться вспомогательными программными средствами, напри­мер редактором электронных таблиц Мкго$о/1 Ехсе1. Именно с помощью такого редактора были подготовлены таблицы 19 и 20.

149

8.4. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

Приведенные выше примеры определения средней квадратичес-кой регрессии у на (х_ь...,х_к), иначе говоря сглаженного представле­ния зависимости результата производства у от производственных факторов Х[,...,х_к, достаточно наглядно иллюстрируют тот факт, что процесс расчета неизвестных параметров а_и...,а_м сглаживающей функции из заданного класса существенно упрощается, если систе­ма нормальных уравнений в дифференциальной форме (8.2) сво­дится к системе линейных алгебраических уравнений. Те же примеры показывают, что в некоторых случаях параметры а_и...,а_м входят в искомую функцию линейно. Зачастую путем соответствующей за­мены переменной у и параметров а_и...,а_м эта функция может быть преобразована к форме, в которую неизвестные параметры либо их функции вида д^),...,®^^ входят линейно. Очевидно, что в та­ких случаях дифференциальные уравнения автоматически преобра­зуются в линейные алгебраические уравнения.

Как только указанное преобразование проведено, дальнейшая процедура определения параметров а_и...,а_м, а точнее Ъ_и...,Ъ_м, может быть жестко алгоритмизирована на основе стандартных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, что существенно упрощает разработку программного обеспече­ния для решения задач, связанных с использованием производ­ственных функций. Таким образом, целесообразно исходить из общего представления линейной модели регрессии в виде

^=*1Ч»1(А) + Ь_т{Х) + - + ЪаА>м(Х), (8-12)

где # =§(у) — взаимно однозначное преобразование результативного показателя (замена переменной у на §); Х= (х_ь...,х^) — вектор факторов производственной функции; ф1(А),...,фдДА) — известные функции вектора X; в,-(а₍), / = \,...,М— взаим­но однозначное преобразование параметра а,- (замена параметра а,- на д,).

Подчеркнем, что на вид функций ф₁(Х),...,ф_ЛХЛ) не накладыва­ется никаких ограничений, кроме независимости от параметров а_и...а_ми однозначности в рассматриваемой области значений X. Важна только линейность зависимости # от Ь_ь...,Ьм-

Рассмотрим интерпретацию функций ф₁(А),...,ф_А<(А) и пара­метров -&1,...,Ъ_М из уравнения (8.12) для некоторых конкретных примеров.

1. Пусть задана функция Кобба-Дугласа:

у=/(ао, а_ьа₂, ау, х_их₂, х^а^х^ху'.

Тогда после логарифмирования и соответствующей замены переменной у и параметров а₀, а_ь а₂, а₃, получим следующую ли­нейную модель регрессии:

8= в1Ф1(А) + Ь₂ц>₂(Х) + дзФзО) + Ъ₄щ(Х),

где$=1ёу; &_{ =/§а₀; ^₂ ^{= 0}\', в₃ = а₂; в4 ^{= а}з; <Р\ ⁼ 1; <Р2 ⁼ 'ё*ь Фз ^{= |}ё^л2,' Ф4 ⁼ 'ё*з-

150

2. Пусть задана кинетическая зависимость:

к у=/(о₀,а_ь...,а_л:,/₁,...,/_А:;х_ь...₎х^)=о₀П^^а'е^хР(--^//^х/)-

Логарифмируя эту зависимость, получим следующую линей­ную модель регрессии:

2=Ъ₁<р₁(Х) + Ъ₂(р₂(Х)+...+ -&_мср_м(Х) при М=2К+1,

где #=1пу; в, = 1п о₀; в₂ = а_{; ... Ь_{1 + К}=а_к; а_{1 + л}-+, = -/,; ... *ц-₂л;⁼ -^ Ф1 = 1; Ф₂ = 1пл;₁;...ф_{1 + лг}=1пх_лг;ф,_+лг+1 = х,; ... фц-глг = **•

3. Пусть для представления производственной функции ис­ пользуется полином 2-й степени X переменных (производствен­ ных факторов):

>>=А<г₀, а_и...,ак, Ъ_и...,Ь_к, с_и2,-,Ск-ъ к, ^х\,-,^хк) =

= о₀+ X а_]Ь^а_]х_}+ 2 а_]8^/}х]+ X с_1]Ц_]х₁х_], У=1 7=1 /<у

где 8°, 8у, 8, ■ —заданные параметры, причем каждый данный параметр равен О,

если по физическим, биологическим, экономическим и т.д. соображениям соот-метствующий компонент не может входить в приведенное выражение (пусть, на­пример, «по физике» результативный показатель у не должен зависеть от произве­дения х,х₄, тогда 8^4=0, в противном случае 8^₄=1).

Для этого примера линейная модель регрессии будет иметь вид

М О 1

8= 2>тФ„,(*)при _{М = 1+}±_К+±_К^М_{Ь = 0}, т=\ ^{1 1}

где Л/₅₌₀ — общее число символов типа 8у, 8_у, 8^-, равных нулю.

В случае, когда все величины 8у,8у,8^у равны 1, получим

2 = У, Ъ\ = ао; т^2 = ^ь - #1+ *=«*; ®\ + к+\⁼⁼Ьй - Ъ\ + гк⁼Ъ_к; ^и-г/г+^с^г; ••• ®м⁼ с_К-\, к, Ф1 = 1; Ф2 = *ь ••• 4>1 + к ^{= х}к,

2 2 _ _

Ф1+/Г + 1=^хр---;Ф1 + 2АГ^=х^; Ч>1 + 2К+{~^Х1^Х2> ■■■ ФЛ/~ ^ХК- \^ХК-

Если некоторые из величин 5°, 6*,5/у равны нулю, то соот­ветствующие коэффициенты Ь_т и функции ф_т должны быть ис­ключены из приведенного списка.

Рассмотрим теперь принцип наименьших квадратов для слу­чая линейной модели регрессии.

151

Пусть имеется N наблюдений за результатом производства у и производственными факторами х_{,...,х_к. Тогда выражение (8.1), формализующее принцип наименьших квадратов, примет следу­ющий вид:

->щ

^'-2*™ф_и(^')

2

ТУ С ч \^г

Л/

2

т = 1 где &¹⁼^у¹), У= 1,...,^— преобразованный результат наблюдений; ЛТ-Ь

=(^,..,4).

Соответственно система нормальных уравнений в матричной форме будет иметь вид

ф7"*ф*0 = ф'* о, (8.13)

где 0= (?',...,я")^г— вектор-столбец преобразованных результатов наблюдений; 0 = (в₁,...,д_Л/)^г — вектор-столбец оцениваемых параметров модели; Ф = ||ф/Л, Ф>1 = Фт(Л'-0, 7 = 1,--,Л^г, т = 1,...,Л/; Ф^т— транспонированная по отношению к Ф матрица.

Решение уравнения (8.13) в матричной форме имеет вид

в = (Ф^г*Ф)-¹*Ф^г* С.

После решения уравнения (8.13) значения первоначальных параметров а_ъ...,а_м производственной функции из выбранного класса восстанавливаются из соотношений г},(а,), /,...,М (см. при­веденные выше примеры).