Глава 8 расчет параметров производственных функций

8.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим следующую простую задачу.

Задача 8.1. Для 12 участков хозяйства имеются оценка каче­ства земли и средняя урожайность озимой пшеницы (табл. 13). По этим данным нужно установить функциональную зависи­мость урожайности (у) озимой пшеницы от балла оценки каче­ства земли (х).

13. Исходные данные к задаче 8.1

Номера участков (/)

Балл оценки земли (х')

Урожайность пшеницы, ц с 1 га (у1)

1	30	23,5
2	35	23,7
3	35	24,0
4	38	26,7
5	29	24,3
6	40	28,8
7	45	33,5
8	37	27,6
9	35	23,0
10	40	29,4
11	50	30,5
12	52	35,0

На рисунке 5 в двухмерной системе координат нанесены точ­ки, координатами которых являются пары (*/, У) из таблицы 13. Очевидно, что по имеющимся оценкам по крайней мере пробле­матично построить однозначную зависимость у = у{х). Так, на­пример, трем точкам }= 2, 3, 9, в которых оценки качества земли совпадают (х = 35), соответствуют разные значения урожайности. Сравнение 4-й и 8-й точек показывает, что участку с большей оценкой качества земли необязательно соответствует большая

133

25 30 35 40 45 50 :

Рис. 5. Графическое представление оценок качества земли (х, баллы) и урожайности пшеницы (у, ц с 1 га), получен­ные по результатам наблюдений на 12 участках

урожайность культуры и т. д. В то же время на рисунке явно про­слеживается тенденция роста урожайности с ростом качества земли.

Причиной неоднозначности зависимости у — у(х), «непра­вильного» изменения урожайности в ряде случаев является влия­ние на результативный показатель помимо качества земли мно­жества других факторов. Это могут быть эродированность участ­ков, экспозиция, длина и форма склонов, качество обработки почвы, микроклиматические условия и т. д. В принципе невоз­можен столь полный учет всех факторов, при котором зависи­мость от них результата станет однозначной. Биологические и производственные процессы слишком сложны для достижения такой однозначности.

В действительности мы всегда имеем дело с той или иной сте­пенью неопределенности при изучении зависимости результата производства от производственных факторов. Однозначные фун­кциональные зависимости у = у(х) являются идеализацией, мате­матической абстракцией, а реальная связь прослеживается лишь в среднем, то есть является корреляционной и стохастической. Это значит, что изменения факторов и результативного показа­теля коррелированы, но при этом можно указать только тенден­цию изменения у при изменении х_и..., х_к, а не однозначную за­висимость. Даже если такая тенденция четко прослеживается, одному и тому же значению факторов могут соответствовать раз­личные значения результата.

Латинское слово соггеШю означает соотношение, соответ-

134

ствие. Особенность изучения корреляционных взаимосвязей заключается в том, что никогда нельзя изолировать влияние по­сторонних факторов — либо потому, что эти факторы неизвест­ны, либо потому, что их изоляция невозможна. Метод корреля­ции нужен как раз для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить, какова была бы зависимость между результатом и фактором, если бы эти посторонние факто­ры не искажали основную зависимость, что вполне достижимо при большом числе наблюдений.

Первая задача корреляционного анализа заключается в выяв­лении того, как изменяется в среднем результативный признак при изменении данного фактора, вторая — в определении степе­ни влияния искажающих факторов.

С этой целью сначала находится уравнение связи, а затем оп­ределяется степень тесноты связи изучаемых переменных.

Рассмотрим еще раз приведенное на рисунке 5 представление имеющихся данных (точки .на графике) и попытаемся построить непрерывную линию у=Л^х), отражающую общую тенденцию свя­зи переменных. Для решения этой задачи необходимо на основе изучения природы рассматриваемого явления задать характер за­висимости урожайности пшеницы от качества почвы. Она может быть линейной, квадратичной или какой-то другой; это значит, что нужно задать класс функций Дх). При отсутствии необходи­мых знаний о природе явления «подходящий» класс функций можно попытаться установить на основе визуального анализа графика или оценки выборочных коэффициентов корреляции, однако такие приемы можно рассматривать только как вспомога­тельные. Статистический анализ выборки, каким бы обстоятель­ным он ни был, не может заменить изучения самой природы яв­ления.

Следующий шаг решения поставленной задачи (замены ре­альной картины идеализированной функциональной зависимос­тью) заключается в подборе конкретной функции из заданного класса. Подобранную должным образом функциональную зави­симость естественно назвать сглаженным представлением зависи­мости результирующего показателя от производственных факто­ров:

5М4

Как видно на рисунке 5, величина у (точка на прямой, соот­ветствующая данному значению х) может значительно отличать­ся от фактически наблюдаемого значения у.

Для более строгого изложения последующего материала не­обходимо ввести ряд понятий и обозначений.

135

Возможны различные способы статистического описания рассматриваемого явления. Например, можно полагать, что про­изводственные факторы х_и...,х_к — яе случайные величины; слу­чайной является только величина у, имеющая, вообще говоря, различные распределения при различных фиксированных набо­рах значений величин х_ь...,х_к Более адекватным реальности яв­ляется описание, согласно которому все рассматриваемые вели­чины у, х_ь...,х_к случайные и соответственно наборы, подобные представленному в таблице 13, являются результатами наблюде­ний случайных значений этих величин из генеральной совокуп­ности. Далее, если не оговорено противное, мы в основном при­держиваемся второго представления.

Примем следующие обозначения. Набор значений \у^] ,х^,...,х^\

будем называть ./-наблюдением значений рассматриваемых слу­чайных величин из генеральной совокупности. При этом, как правило, верхний индекс (номер наблюдения) будем обозначать через у, общее число наблюдений — /V; нижний индекс величин х (номер производственного фактора) — через /; общее число фак­торов — К. В случае парной зависимости (один производствен­ный фактор К= 1) нижний индекс не указывается. При таком понимании каждая строка таблицы 13 представляет результаты наблюдения за случайными величинами у (урожайность) и х (балльная оценка качества почвы). В общем случае мы имеем дело с К факторами и 7У-выборкой, то есть выборкой, включаю­щей N наблюдений:

У , Х|, Х2,...,Х/ ,...,Х^

(•

/222 2 2 \

\У > ^Х\ > ^Х2'"-'^Х1 г"-1^ХК I

[У ; ^Х[ ; ^Х2 т"1^Х1 ;---!^ХК ]

М- выборка