Глава 6 итерационные методы

6.1. Постановка и математическая формулировка

ЗАДАЧ

При составлении проектов землеустройства часто приходится решать задачи, связанные с размещением на территории различ­ных объектов производственной инфраструктуры, которые свя-•1аны с определенной сырьевой базой. Например, животновод­ческие комплексы и фермы располагают таким образом, чтобы они были как можно ближе к участкам с грузоемкими, малотран­спортабельными культурами: орошаемыми культурными пастби­щами (ОКП), кормовыми прифермскими севооборотами и т.д. Пункты переработки сельскохозяйственной продукции (сахар­ные, спиртовые, эфиромасличные и другие заводы, хлопкоочис­тительные пункты) размещают, как правило, в центре сырьевой юны или ближе к сельскохозяйственным предприятиям, кото­рые дают максимальное количество сырья.

Основное правило заключается в том, что пункты потребле­ния (переработки) продукции размещают в центре тяжести об­служиваемого массива. Если грузоемкость всех участков одина­кова, то необходимо смещение этих пунктов в сторону тех участ­ков (пунктов отправления продукции), которые дают наиболь­шее количество сырья, кормов и т.д.

Для решения такой задачи применяется итерационный метод, или метод последовательных приближений; в ходе расчетов по­степенно приближают первоначально выбранное местоположе­ние к оптимальному.

Рассмотрим методику таких расчетов на примере оптимально­го размещения животноводческой фермы на территории произ­водственного подразделения сельскохозяйственного предприя­тия. Задача заключается в следующем: установить координаты местоположения фермы, при которых затраты на транспорти­ровку кормов будут минимальными.

Объем работы 2 по перемещению грузов Р, от заданных точек М(х_ь у,)(/ = \,2,...,т) до точки И{Х, У) можно выразить формулой

т

/=1 Где Л, — расстояние перевозки; Р/ — масса перевозимых грузов.

Выразив значение Л через координаты, получим 2=^Р^(Х-_Х1)²+(Г-_У1)² ->тт,

1 = 1

109

где X и У— координаты фермы; х,- и у,— координаты пунктов отправления про­дукции.

Таким образом, требуется определить координаты точки N (X, У), при которых значение Сбудет минимальным.

В данном случае за точки отправления М-, {х„ у^ можно при­нять центры тяжести комовых угодий и севооборотов. Величины грузов Р-, определяют с учетом площадей, отведенных в данном севообороте под каждую кормовую культуру, с учетом неодно­родности грузов, намечаемых к перевозке.

Для простоты допустим, что т - 3. Тогда в развернутом виде нужная нам формула примет вид

2=Р₁у1(Х-х₁)² + (У-Ух)² +Р2^Х-х_г)²₊{У-у₂)² +

+ Р^(Х-х_ъ)² + (У-у_ъ)² ->шт.

Задачу можно решить, пользуясь методом классического экст­ремума; для этого необходимо взять частные производные от 2 по X и 7 и приравнять их к нулю:

<И.₌Р ^Х~^х1 +р ^Х~^х2 ₊

^дХ ^(Х-х^ЧУ-уО^{2 2}^(х-х₂)²цу-_У2)² ₊р₃ , ^Х~^Хъ =0;

4(Х-х_ъ)²₊(У~Уг)²

Ж___?{ У-У1 ,р, У-У2 ,

^{дУ 1} ^Х-х_х)²+{У-Ух)² т1(Х-х₂)²+(У-у₂)²

₊Р₃ , ^У~^УЪ =0-

4(Х-х₃)²₊(У-уъ)²

Исследование этих уравнений показывает, что функция имеет

минимум. Учитывая, что Л,=д/(Т-х₁-²)+(У-)>,)² и что расстоя­ния К, от данных точек до искомой неотрицательны, после не­больших преобразований получим

_{х= Х1}р_{к₂ к₂+%₂р₂ад+*з^ад .

Р[Я₂Яз +Р₂Р\Рз+РзК\Р2 по

_у_у₁Р₁Я₂Я₃₊у₂Р₂Я₁Я₃₊у,Р₃Я₁Я₂

Р\Я₂Я₃ + Р₂Я\Я₃ + Р$ЩЛ₂

Для простоты вычислений числитель и знаменатель вышепри-иеденных уравнений разделим на произведение К_[Я₂Рз:

Р\ Рг ?з х\-^+х₂-^+х₃-^

к_{ к₂ к₃

Р\ Рг Ръ Я^ Я₂ Я₃

К{ К₂ К₃

Л Рг Рз У =

Р\ Рг Рз Я\ Я₂ Я₃

Поскольку расстояния Я,- нам неизвестны, задачу приходится решать методом последовательных приближений (итераций). В общем случае, когда число точек равно т, формулы для вычисле­ния координат оптимальной точки можно представить в следую­щем виде:

: т р

2>,- ^Г[

X^м =-

т р.

(у-1)

X ^А

/ = 1 К,

т р.

г=1 Л,-

т Д

у ^г'

где V — номер итерации; Л, — расстояния от данных точек до искомой с координа­тами ХМ. УМ.

\с

Чтобы сократить число итераций, А. А. Старковым и Е. Г. Лар-нко (Старков А. А. Применение математических методов при размещении животноводческих ферм//Труды МИИЗ. — Вып. ? 1. — М., 1965; Ларченко Е. Г. Вычислительная техника и эконо­мико-математические методы в землеустройстве. •—М.: Недра,

111

1973. — С. 267) были предложены следующие формулы для при­ближенного определения центра тяжести массива с учетом массы перевозимой продукции, в котором и следует размещать живот­новодческую ферму:

т ~ т

_х(о) ₌!^1 • у(0) ₌Ы

т ' т

1Р? 1^

/=1 ;=1

Эти формулы удобно использовать для начального (нулевого) приближения.

6.2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИТЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

Рассмотрим порядок решения задачи на конкретном примере.

1. Определяют потребность в кормах для поголовья скота, раз­мещаемого на ферме.

1. Устанавливают источники покрытия этой потребности и места производства кормов.

1. Вычисляют объемы перевозок кормов в переводе на 1-й класс грузов. Коэффициенты перевода составляют для 2-го клас­са 1,25, 3-го —1,68, 4-го —2,0. Отнесение грузов к различным классам проводится по известным методикам (Волков С. Н. Эко­номика землеустройства. — М.: Колос, 1996. — С. 230).

1. Вычисляют координаты центров тяжести угодий и массивов пашни, с которых поставляют корма (соответствующие данные приведены в табл. 6).

6. Исходные данные для решения задачи по оптимальному размещению фермы

						Координаты
\Лс тлч ни \с\л			Коэффи- НИЙНТ	Объем	груза, т	центра тяжести угодий, км
поступления	Вид кормов	Класс груза	перевода	в нату-	в пере-
кормов			груза в	ральных	воде на	х{	У'1
			1-й класс	едини­цах	1 -й класс (Л)
Сенокосы	Сено	4	2,00	1500	3000	0,0 0,0
Пастбища	Зеленые корма	3	1,68	4000	6720	9,0 0,0
Пашня (близ-	Корнеплоды	2	1,25	1480	1850
лежащий	Силос	3	1,68	3000	5040
массив)	Зеленые корма	3	1,68	3000	5040
Итого					11930	10,0 1,5
Пашня (уда-	Сено	4	2,00	500	1000
ленные	Концентраты	1	1,00	1500	1500
земли)	Солома	4	2,00	1500	3000
Всего					5500	12,0	5,0

112

5. Рассчитывают приближенные координаты расположения животноводческой фермы Х⁽⁰⁾, 7⁽⁰⁾ по формулам А. А. Старкова

( I лбЛ. 7).

7. Расчет приближенных координат оптимального размещения фермы

Источники	Объем перево­зимого груза в переводе на 1-й класс, тыс. т(/',)	*	Координаты центра тяжести угодий, км			V,'	уР2
кормов			X,		У/		У14
' '('ПОКОСЫ Пастбища Пашня (близ-	3,00 6,72 11,93	9,00 45,16 142,32	0,0 9,0 10,0		0,0 0,0 1,5	0,0 406,44 1423,20	0,0 0,0 213,48
лежащий
массив) Пашня (уда­ленные земли) Итого	5,5	30,25 226,73	12,0		5,0	363,00 2192,64 А-<°> = 9,7	151,25 364,73 У<°>=1,6

6. Методом последовательных приближений (итераций) опре­деляют координаты оптимального размещения животноводчес­кого комплекса (табл. 8).

6. С учетом уже существующих животноводческих построек и возможностями их переоборудования, других экономических, строительно-планировочных и санитарно-гигиенических требо­ваний в пределах точности проведенных расчетов (до 0,5 км) окончательно устанавливают место расположения животновод­ческой фермы (в данном примере Х= 9,9, У= 1,5) и определяют ■ жономическую эффективность принятого решения по значению целевой функции задачи (2= 65,42).

В общий объем перевозок при наличии соответствующих дан­ных включают также перевозки навоза, минеральных удобрений, нефтепродуктов, а также возможный объем несельскохозяй­ственных перевозок. При необходимости в расчетах может учи­тываться перевозка людей к месту работы и обратно.

При проведении практических вычислений с использованием данной методики всегда следует сравнивать результаты, получен­ные экономико-математическими и традиционными методами с целью приблизить математический оптимум к реальному.

Рассмотрим еще один пример. В одном из производственных объединений «Сяглицы» Ленинградской области решалась задача о размещении трех крупных животноводческих комплексов. Ра­бота осуществлялась в такой последовательности.

1. Сначала проводился примерный расчет координат местопо­ложения комплексов по упрощенной методике (табл. 9).

1. Проводилось уточнение координат итерационным методом (в табл. 10 даны расчеты по комплексу на 3200 коров при селении 1>олыная Вруда). В данном случае координаты, полученные уп­рощенным способом и итерационным методом, совпали.

113