2.13.5. Деякі загальні зауваження про методи розв’язування задач Коші

Вибір чисельного методу залежить від багатьох обставин: обсягу обчислень, порядку точності, стійкості до похибок заокруглень і т. п.

При виборі методу треба брати до уваги і особливості задачі, яку розв’язують, і особливості кожного з методів, але навіть з урахуванням цих обставин дістати точну відповідь часто не вдається. Тоді критерієм істини має стати практика.

Зробимо деякі загальні зауваження про методи розв’язування задач Коші.

1. Переваги багатьох методів Рунге-Кутта такі:

а) вони є явні, тобто значення обчислюють за раніше визначеними значеннями скінченною кількістю дій за відомими формулами;

б) всі схеми допускають обчислення зі змінним кроком, і тому неважко зменшити крок там, де розв’язок швидко змінюється, і збільшити там, де він змінюється поволі;

в) для початку розрахунків досить вибрати сітку і задати значення (воно відоме з початкової умови);

г) методи мають високу точність; якщо права частина диференціального рівняння неперервна та обмежена разом зі своїми четвертими похідними, то формули Рунге-Кутта четвертого порядку точності даватимуть хороші результати, і їхня точність при зменшенні кроку швидко зростає.

2. Досягти необхідної точності можна за рахунок зменшення кроку у формулах Рунге-Кутта.

3. У деяких задачах функції є досить гладкими, проте швидко змінюються. Тоді схеми Рунге-Кутта як низького, так і високого порядку точності вимагають занадто малого кроку для знаходження доброго результату. Такі задачі є жорсткими і вимагають розробки спеціальних методів, орієнтованих на цей вузький клас задач. Загалом успіху досягають при використанні неявних методів.

4. Щоб почати розрахунки багатокроковими методами, наприклад методом Адамса -го порядку точності, треба знати розв’язок у точках, який обчислюється будь-яким іншим методом. Ця обставина збільшує об’єм програми. Крім того, формули методу Адамса для змінного кроку досить громіздкі, а простіші формули для сталого кроку потребують нестандартних дій за умови зміни кроку.

Перевагою його є те, що, наприклад, у методі четвертого порядку точності за один крок доводиться лише один раз обчислювати функцію . У формулі Рунге-Кутта такого ж порядку точності функцію на кожному кроці обчислюють чотири рази.

Часто використовують програми з комбінацією методів Рунге-Кутта і багатокрокових методів. За допомогою методу Рунге-Кутта обчислюють початкові значення для відповідного багатокрокового методу.

5. Якщо застосовується чисто неявний метод – неявний метод Ейлера, методи Гіра та інші, то на кожному кроці треба розв’язувати нелінійне рівняння щодо .

6. Багатокрокові методи є ефективними при розв’язуванні задач Коші для диференціальних рівнянь із запізнюючим аргументом.

7. Оскільки алгоритми з використання багатокрокових методів порівняно з тими, що використовують однокрокові методи, є складнішими, тому їх доцільно застосовувати тоді, коли треба мати розв’язок з високою точністю. Зазначимо, що багатокрокові методи є чутливішими до сильних змін розв’язку (в них використовують значення функції на більшому інтервалі зміни ), тому їх доцільно застосовувати, коли функція є досить гладкою в усій області інтегрування.