2.13.2. Інтерполяційний метод Адамса

Для побудови інтерполяційного многочлена для функції , яка стоїть під знаком інтеграла у формулі (2.3), візьмемо не тільки вузли , але й вузол . Для зручності порівняння інтерполяційного методу Адамса з екстраполяційним візьмемо таку ж саму кількість вузлів , тобто побудуємо інтерполяційний многочлен за вузлами . Після заміни формула (2.3) набуде вигляду:

(13.10)

В околі цих вузлів подамо у вигляді:

(13.11)

де

Підставимо (13.11) у формулу (13.10) і виконаємо необхідні інтегрування:

(13.12)

де

(13.13)

Аналогічно, як у попередньому випадку, можна одержати для інше зображення:

(13.14)

Відкинемо у формулі (13.12) залишок, отримаємо інтерполяційну формулу Адамса:

(13.15)

де коефіцієнти обчислюють за формулою (13.13). Числові значення коефіцієнтів наведемо у таблиці 31.

Таблиця 31

Коефіцієнти неявних методів Адамса

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1

Для коефіцієнтів маємо просте рекурентне співвідношення [7]:

. (13.16)

Запишемо часткові випадки формули (13.15), враховуючи, що :

У випадках і ми маємо неявний метод Ейлера і правило трапецій, відповідно. Формули (13.15) називають формулами Адамса-Мултона. Загалом на кожному кроці потрібно розв’язати нелінійне рівняння:

. (13.18)

Це можна зробити методом простої ітерації:

(13.19)

На практиці за використовують значення, отримане за явною формулою (13.7) – предиктор, а потім роблять одну ітерацію формули (13.18) – коректор.

2.13.3. Методи Мілна-Сімпсона

Розглянемо замість (2.3) інтегральне рівняння:

(13.20)

і зробимо заміну . Замість інтегрального рівняння (13.20) отримаємо:

. (13.21)

Замінимо підінтегральну функцію многочленом (13.11), використовуючи значення . Отримуємо групу неявних формул вигляду:

(13.22)

Числові значення перших коефіцієнтів приведемо в таблиці 32.

Таблиця 32

Коефіцієнти методів Мілна-Сімпсона

	0	1	2	3	4	5	6

Виразивши різниці через , отримаємо для

(13.23)

У випадку ми маємо неявний метод Ейлера з кроком . Для отримуємо явний метод, відомий як правило середньої точки. Для отримуємо метод, відомий як метод Мілна.

За початкове наближення предиктор Мілн використовував формулу:

(13.24)

а на етапі корекції – формулу Сімпсона:

Метод Мілна зачислено до методів четвертого порядку точності, так як в ньому відкидають члени, що містять у п’ятій і дещо вищих степенях.

2.13.4. Побудова багатокрокових методів, що ґрунтуються на формулах чисельного диференціювання

При побудові цих методів виходять із рівності:

(13.25)

і похідну в лівій частині заміняють похідною інтерполяційного багаточлена, обчисленого в точці . Побудуємо, наприклад, інтерполяційний багаточлен –го степеня за точками і визначимо невідомі з рівняння, яке є аналогом (13.25):

. (13.26)

Многочлен запишемо, наприклад, у формі Ньютона для системи рівновіддалених вузлів з кроком :

(13.27)

Знайдемо із (13.27) і підставимо в ліву частину (13.26). Співвідношення (13.26) можна подати у вигляді:

. (13.28)

Ми отримаємо групу багатокрокових методів, відомих як формули Гіра, або формули диференціювання назад (ФДН-методи). Ці методи широко використовують для інтегрування жорстких диференціальних рівнянь [2,7]. Запишемо часткові випадки формул (13.28):

Неважко зауважити, що при маємо неявну схему Ейлера. Для ці формули не використовують (ФДН методи нестійкі при ).