Вариант 3

21.Упро­сти­те вы­ра­же­ние:    .

Ре­ше­ние.

Имеем:

 

Ответ: 2,4.

22. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 40%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же соли, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 48%, по­лу­чил­ся рас­твор с кон­цен­тра­ци­ей 42%. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве x грамм, тогда он со­дер­жит 0,4x грамм соли, а вто­рой рас­твор взят в ко­ли­че­стве y грамм, тогда он со­дер­жит 0,48y грамм соли. При сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой x + y грамм, по усло­вию за­да­чи, он со­дер­жит 0,42(x + y) соли. Сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

 

 

Вы­ра­зим x через y:

 

Сле­до­ва­тель­но, от­но­ше­ние, в ко­то­ром были взяты рас­тво­ры:

 

 

Ответ:

23. При каком зна­че­нии пря­мая имеет с па­ра­бо­лой ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат дан­ную па­ра­бо­лу и пря­мую при най­ден­ном зна­че­нии .

Ре­ше­ние.

Гра­фик функ­ции изоб­ражён на ри­сун­ке.

За­пи­шем усло­вие общей точки:

Пря­мая будет иметь с па­ра­бо­лой един­ствен­ную общую точку при усло­вии, что дис­кри­ми­нант по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния равен нулю:  от­ку­да  Под­ста­вив зна­че­ние па­ра­мет­ра в урав­не­ние, на­хо­дим

 

Ответ: (-2;0).

24. В тре­уголь­ни­ке угол равен 56°, угол равен 64°, . Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

Угол тре­уголь­ни­ка равен  = 180° − −  = 60°. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен .

Ответ: 3.

25. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­сто­рон­ний.

Ре­ше­ние.

Так как точки M, N, K - се­ре­ди­ны сто­рон и тре­уголь­ник ABC- рав­но­сто­рон­ний, то от­рез­ки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны, таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки AMK, NMB, CNK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, зна­чит тре­уголь­ник MNK- рав­но­сто­рон­ний.

26.Три окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁, O₂ и O₃ ра­ди­у­са­ми 1, 2 и 6 со­от­вет­ствен­но по­пар­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те угол O₁O₂O₃.

Ре­ше­ние.

Из усло­вия ка­са­ния окруж­но­стей на­хо­дим сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

 

 

 

от­ку­да Тогда угол

 

Ответ: 60°.

Вариант 4

21. Упро­сти­те вы­ра­же­ние:    .

Ре­ше­ние.

Имеем:

.

 

Ответ: 4.

22. Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 34 км, вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Од­но­вре­мен­но с ним из В в А вышел пе­ше­ход. Ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 24 км от пунк­та А.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да — x км/ч, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна (x + 8) км/ч. Пе­ше­ход прошёл свою часть пути за , а ве­ло­си­пе­дист про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим урав­не­ние:

 

 

Ко­рень −40 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость пе­ше­хо­да равна 4 км/ч.

 

Ответ: 4 км/ч.

23.Из­вест­но, что гра­фи­ки функ­ций и имеют ровно одну общую точку. Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те гра­фи­ки за­дан­ных функ­ций в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

 

 

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

 

 

Под­ста­вив па­ра­метр в урав­не­ние, найдём ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

 

 

Ко­ор­ди­на­та на­хо­дит­ся от­ту­да же путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты в любое из урав­не­ний, на­при­мер, во вто­рое:

 

 

Те­перь, зная можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

 

 

 

Ответ: (2; -3).

24. Сто­ро­на ромба равна 38, а ост­рый угол равен 60° . Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ник ABH — пря­мо­уголь­ный, в нём угол A равен 60°. Тогда от­ре­зок AH можно найти по фор­му­ле:

 

 

Найдём от­ре­зок HD:

 

 

Ответ: 19,19.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка CKD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту так, чтобы она про­хо­ди­ла через точку Углы и равны друг другу как вер­ти­каль­ные. Вспом­ним также, что диа­го­на­ли де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, сле­до­ва­тель­но, Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и , они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы и рав­ные ги­по­те­ну­зы, сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны, а зна­чит равны от­рез­ки и . Таким об­ра­зом,

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грамм равна а пло­щадь тре­уголь­ни­ка

 

 

26. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 80. Бис­сек­три­са AD пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка EDCK.

Ре­ше­ние.

 

 

Пусть AK=KC=3x, тогда AB=2x, так как по свой­ству бис­сек­три­сы. Зна­чит,

Пусть S - пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

 

 

Таким об­ра­зом,