16. Стохасты процесс үшін корреляция коэффициенті.

Стохасты процесс дегеніміз- детерминді болып табылмайтын, яғни кездейсоқ айнымалылардан тұратын, уақыт бойынша өзгеретін мәндер,бұл жүйенің күйі болжануы мүмкін кездейсоқ процесс ретінде сипатталады.

Корреляция коэффициенті - коварацияның орташаквадратты ауытқу және кездейсоқ шамаларға x және y-ке қатынасын айтады:

Стохасты процесс үшін корреляция коэффициенті:

-стохасты процесс дисперсиясы.

Егер корреляция интервалы нөлге тең болса, стохасты процесс байланыспаған (некоррелированным) немесе ақ шуыл деп атайды. Ал қарама қарсы жағдайда, яғни егер корреляция интервалы нөлге тең болмаса, онда стохасты процесс байланысқан (коррелированным) болады.

Үстіңгі график- (коррелированный ) байланысқан стохасты процесс

Астындағысы – (некоррелированным) байланыспаған стохасты процесс

17.Стационар процестер үшін корреляциялық функция

Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары таралу моменттері болып табылады:

(1)

мұндағы n- момент реті. Кездейсоқ процестерді суреттеу үшін жеткілікті болатын моменттер саны тəуелсіз параметрлер санымен анықталады. n=1 болғанда кездейсоқ шаманың орташа мəнінің анықтамасын аламыз. Кездейсоқ процестердің корреляциялық теориясы деп аталатын теорияда тек алғашқы екі (бірінші, екінші) момент қарастырылады.

Екі əртүрлі уақыт моментінде анықталатын корреляциялық функцияның жалпы түрі (екінші момент) мына түрде жазылады:

(2)

Мына өрнек центрленген корреляциялық функция деп аталады:

(3)

Егер (ансамбль бойынша орташалағанда), немесе, (уақыт бойынша орталағанда) болса, дисперсияға (variance) тең:

Орташа квадраттық ауытқу (standard deviation) дисперсиядан квадрат түбір алғанға тең:

Корреляция (байланыс) коэффициенті мына өрнекпен анықталады:

Егер (немесе ) болса, онда , яғни процестер детерминдік түрде байланысқан. Егер процестер арасында корреляциялық (кездейсоқ) байланыс болмаса, онда ((6) алымы болғандықтан) нөлге тең болады.

Стационар эргодикалық процестер үшін корреляциялық функция мына түрде жазылады:

(7)

мұнда ансамбль бойынша орташалауды уақыт бойынша орташалауға ауыстырдық. Онда (6) дан стационарлық процестің эргодикалық болуының жеткілікті шарты мынадай болады:

(8)

18. Тура Фурье түрлендіруі

Фурье қатары - [а,b] кесіндісінде ортонормаланған φ₁(х), φ₂(х),...,φ_n(х),... функциялар жүйесі бойынша f(x) функциясының Фурье қатары деп   қатарынайтады. Мұндағы с_k Фурье коэффициенттері:

1, cosnx, sinnx, n=1,2,..., тригонометриялық жүйесіндегі Фурье қатары:

,

мұндағы a₀, a_k, b_k - Фурье коэффициенттері.^[1]

Күрделі(периодты емес, периодты) сигналдарды əртүрлі жиіліктегі

гармониялық тербелістердің(синусоидалық, косинусоидалық) жиыны

ретінде қарастыруға болады. Бұл мақсатта Фурьенің тура түрлендіруі

қолданылады:

Фурьенің кері түрлендірулері мынадай:

19. Кері Фурье түрлендіруі. S(t) синалын қарастырсақ. S(t) үшін бірнеше интегралдық теңдеу жазуға болады.

· Тура Фурье түрлендіруі:

(1)

· Кері Фурье түрлендіруі:

(2)

функциясын фурье-образды, функциясының спектрлі функциясы, спектрлі тығыздығы деп атайды. Фурьенің кері түрлендіруі функциясын оның Фурье-образы бойынша қайта қалпына келтіруге мүмкіндік береді.

Кері түрлендіру теңдеуіне комплексті амплитудасы болатын гармоникалық тербелістің шекті суммасы ретінде (2) интегралды қарастыра отырып келуге болады. кезінде бөлек гармоникалардың комплексті амплитудасы шексіз кіші бола бастайды, бірақ жиіліктің осі бойынша таралуы ( шамасы) шекті болып табылады. Гармоникалық тербелістер жиілігі жиіліктің барлық осін үздіксіз түрде толтырады, сондықтан (2) теңдеу жиілік спектрі үзіліссіз гармоникалық тербелістер жиынында тербелісіне ажырауға мүмкіндік береді.

интеграл бар болады, егер функциясы барлық остерде абсолютті интегралданған болса. Бұл мынаны береді.

(3)

Көбінесе бұл үшін кезінде болуы керек. Фурье интегралдарының теориясынан белгілі: егер функциясы абсолютті интегралданған болса ((3)шартты қанағатандырса) және сонымен қатар Дирихле шартын әр шекті интервалда қанағаттандырса, онда интеграл Фурьенің кері түрлендіру теңдеуінде (2) функциясының барлық үздіксіз нүктелерінің және ажырау нүктелерінің жоғарғы және төменгі шектерінің жарты суммасының негізгі мәнімен сәйкестенеді. Бұл төмендегіні білдіреді:

    20. Амплитудалық спектр – A_k=A(kω₀)  немесе  сигнал гармоникаларының амплитудасының гармоника номіріне немесе жиілікке тәуелділігі. Амплитудалық спектр арқашан жұп функцияболады.

Фазалық спектр - сигнал гармоникаларының бастапқы фазаларының гармоника номіріне немесе жиілікке тәуелділігі. Фазалық спектр тақ функция болады.

Гармоника дегеніміз- сызықты жүйелердің өздік функциялары.

Спектрлер сигналды толығымен сипаттайды.

1- сурет. Амплитудалық спектрдің жалпы көрінісі. kөспелі болған жағдайда X_k → 0 гармоника амплитудасы

Жиілік пен гармоника былай байланысқан:

 немесе      

2- сурет. Фазалық спектр (екі жақты фазалық спектр).