Математичне моделювання дисперсії й розсіювання пружних хвиль у тріщинуватому геологічному середовищі

Геологічне середовище неоднорідне й дискретне. У ньому присутні неоднорідності з широким спектром характерних розмірів. Якщо в акустичному й ультразвуковому діапазонах розсіювання пружних хвиль спричиняють мікротріщини, зерна мінералів, мікрошаруватість, то в сейсмічному діапазоні це – мікротріщини, зони подрібнення, тонкошаруватість.

Численні методи математичного моделювання дисперсії й розсіювання пружних хвиль на структурних неоднорідностях геологічного середовища в реальному середовищі обмежуються невеликими концентраціями мікротріщин.

Метод моделює дисперсію та розсіювання пружних хвиль на неоднорідностях без будь-яких обмежень на їхню форму, властивості, концентрацію й базується на теорії статистичного усереднення з використанням методу умовних імовірностей.

Статичні ефективні модулі пружності

Геологічне середовище розглядатимемо як частково неперервне, пружні властивості структурних неоднорідностей якого є випадковими функціями просторових координат. Рівняння руху запишемо з урахуванням тензора напруги Коші лінійної теорії пружності

(1)

де – тензор напруги,  – щільність, – вектор зміщень. Тут індекс після коми означає диференціювання за відповідною просторовою змінною, а точки над буквою – диференціювання за змінною часу.

Дослідимо гармонічний хвильовий рух типу

(2)

– діюча амплітуда пружних зміщень,  – кругова частота.

Використаємо закон зв'язку між напругами і деформаціями в формі

(3)

де – тензор пружних сталих геологічного середовища. Деформації пов'язані з вектором пружних зміщень як

(4)

Підставляючи вирази (3), (4) в (1), одержимо

(5)

Якщо геологічне середовище, в якому розповсюджується хвиля, неоднорідне, то тензор пружних сталих і щільність  є випадковими функціями просторових координат. Припустимо, що ці функції статистично однорідні в межах деякого об'єму V, лінійні розміри якого значно менші від довжини хвилі.

Якщо – модулі об'ємного стиснення і зсуву r-компо­ненти, а включення мають сфероїдальну форму із співвідношенням півосей æ і рівномірно розорієнтованих в просторі, то для розрахунку статичних ефективних пружних сталих геологічного середовища із сфероїдальними включеннями одержимо формули

(6)

Тут прийнято позначення:

			(7)

Вирази (7) можна використовувати як у випадку твердих включень сфероїдальної форми, так і при обчисленнях ефективних пружних сталих геологічного середовища, які мають пори та мікротріщини.

Ефективні динамічні пружні модулі

Для визначення ефективних динамічних пружних модулів геологічного середовища в довгохвильовому наближенні розвинемо функцію Гріна в ряд за параметром, що пов'язаний з круговою частотою, і збережемо перші чотири члени

(8)

Використовуючи співвідношення між тензорами напруг і деформацій (3), одержимо

(9)

де – ефективний динамічний тензор пружних сталих, що у випадку довільно розорієнтованих включень має вигляд

(10)

ν_і – компоненти орту хвильового вектора.

Ефективні динамічні модулі пружності ізотропного неоднорідного геологічного середовища є функціями частоти розповсюдженої хвилі. Наведені формули (10) одержано без будь-яких обмежень на величину флуктуацій пружних властивостей компонент геологічного середовища. Вони справедливі для дослідження динамічної поведінки таких середовищ з пустотами й тріщинами.