1.2.3. Решение игр или

Следующие простейшие игры, которые можно решить – это игры, в которых один из игроков имеет только две стратегии Графическая интерпретация позволяет построить алгоритм их решения. Мы рассмотрим здесь - игры; аналогичный анализ может быть проведен и для - игр.

Задача игрока А состоит в максимизации Так как мы имеем: Таким образом, является минимумом линейных функций одной переменной х; можно вычертить графики этих функций, а затем максимизировать их минимум графическими методами.

Пример 1.5

Рассмотрим игру с матрицей: нетрудно построить графики функций , если заметить, что они должны проходить через точки и (рис. 4).

Жирная ломаная линия представляет собой функцию . Высшая точка этой линии Х находится на пересечении прямых, соответствующих второму и третьему столбцам, абсцисса это точки равна , а ордината . Следовательно, и Эти величины могут быть вычислены также с применением теории предыдущего пункта к - матрице, состоящей из второго и третьего столбцов исходной матрицы. Применение соответствующих формул к этой матрице дает также ; легко проверить, что это действительно оптимальные стратегии и цена игры.

Этим исчерпывается простейший тип игр; обобщения указанных методов на другие игры, если и возможны, то слишком трудоемки, чтобы принести какую-то практическую пользу. Для более сложных игр используются другие схемы, некоторые из них мы рассмотрим ниже.

Упражнение 1.12

Найти решение и цену игры с матрицей:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

Указание. Задачи (6)-(10) решаются аналогично предыдущему, но относительно игрока В. Соответственно этому строится ломаная, которая характеризует верхнюю границу проигрыша, и на которой находится точка с минимальной ординатой.

Замечание. В случае, когда графическое решение по каким-либо причинам не удается провести, можно применить простое правило для решения игры не имеющей седловой точки. Именно, выбираются произвольные две стратегии для игрока В (имеющего m стратегий) и решается игра . Полученное решение для первого игрока испытывается против любой из оставшихся стратегий игрока В. Если получаемый при этом ожидаемый выигрыш не меньше найденной цены игры , то это и будет решением первоначальной игры. Если же будет получен меньший выигрыш, то испытывается таким же образом другая игра и так далее до исчерпания всех возможных игр .

Упражнение 1.13

Пользуясь правилом, указанным в замечании, решить игры:

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

Упражнение 1.14

Радиозавод производит усилители для высококачественного воспроизведения звука. Их работа сильно зависит от параметров небольшого дефицитного конденсатора. Заводу этот конденсатор обходится в 1 руб., но он затрачивает 10 руб. при замене неисправного конденсатора у потребителя.

При решении этой задачи у завода есть несколько способов действия: во-первых, им известен метод проверки конденсаторов, который гарантирует выявление неисправности в трех случаях из четырех, но, к сожалению, применение этого метода стоит 1 руб.; во-вторых, они знают и другой весьма надежный и очень дешевый способ проверки, но в девяти случаях из десяти он приводит к порче исправных конденсаторов. Завод может, наконец, покупать конденсаторы повышенного качества по 4 руб. и с полной гарантией. Требуется помочь заводу в правильном выборе среди этих возможностей.

Указание. Доказать, что задача сводится к решению игры с матрицей:

Завод		Природа Конденсатор
		Дефектные	Исправные
	1) Без проверки	-11	-1
	2) Проверка (за 1 руб.)	-13/4	-2
	3) Надежный метод проверки	-2	-10
	4) Конденсаторы с гарантией	-4	-4

Решить игру и найти ее цену.